Bindingsenergie van atoomkernen

De kern van een atoom is lichter dan de som van de massa's van de deeltjes waaruit deze bestaat. De verklaring voor dit verlies van massa ligt in de bindingsenergie in de kern; het kost namelijk energie om de deeltjes in de kern vrij te maken. In dit artikel wordt duidelijk wat de bindingsenergie van een kern precies is, en welke factoren invloed hebben op de grootte ervan.

Inhoud

• Bindingsenergie van een kern
  
• Verzadiging van kernkrachten
  
• Het kernoppervlak
  
• Coulombafstoting tussen protonen
  
• De asymmetrieterm
  
• De waarden van de constanten
  

Bindingsenergie van een kern

Massadefect
Een deuteron (de kern van een deuteriumatoom) bestaat uit een proton en een neutron, met een massa van respectievelijk m_p=1,007825 u en m_n=1,008665 u. De massa van een deuteron is m_d=2,014102 u, wat 0,002388 u kleiner is dan de som van de massa's (m_p+m_n) van de twee nucleonen (verzamelnaam voor protonen en neutronen) in het deuteron. Dit verschil in massa wordt het massadefect, of de bindingsenergie (W_b) van de kern genoemd. De bindingsenergie is de hoeveelheid energie die moet worden toegevoegd om de nucleonen in een kern te scheiden.



Gemiddelde bindingsenergie per nucleon
Een goede maat voor de stabiliteit van een atoomkern is de gemiddelde bindingsenergie per nucleon. Deze energie wordt gevonden door simpelweg de totale bindsingsenergie van een nuclide (atoomkern) te delen door het aantal nucleonen (A) waaruit deze bestaat: W_b/A.

Factoren die meespelen bij de grootte van de bindingsenergie

Verzadiging van de kernkrachten
In figuur 1 is te zien dat de bindingsenergie per nucleon (voorbij A=10) vrijwel constant is; het verschil is maximaal 10%. Dit komt omdat de nucleonen in een kern alleen met zijn directe buren in wisselwerking treedt. Om deze reden is de bindingsenergie per nucleon bij kernen die weinig deeltjes bevatten zo laag; de nucleonen hebben hier simpelweg minder buren. Maar in nucliden met meer dan tien nucleonen is het maximaal aantal 'buren' per nucleon bereikt, waardoor de gemiddelde bindingsenergie per nucleon niet verder toeneemt. Dit effect wordt verzadiging van de kernkrachten genoemd. Omdat de bindingsenergie per nucleon vrij constant is, is de totale bindingsenergie als volgt te benaderen:

W_b=a₁A. Waarin a₁ een constante is.

Het kernoppervlak
Nucliden met meer dan tien nucleonen hebben per kerndeeltje het maximale aantal 'buren' ongeveer bereikt, maar de nucleonen aan het oppervlak van de kern (het kernoppervlak), zullen natuurlijk minder buren hebben dan de nucleonen dieper in de kern. Naarmate het kernoppervlak van een nuclide groter wordt, zal dit oppervlakte-effect ook groter worden. Er zal dus een correctieterm moeten worden toegevoegd aan de vergelijking voor de totale bindingsenergie.

Het kernoppervlak (O_k) van een nuclide is evenredig met het kwadraat van de straal (O_k=4πr²) en de straal is weer evenredig met de derdemachtswortel van het aantal nucleonen in de kern (dit wordt toegelicht in het artikel over atoomkernen). Hierdoor is het kernoppervlak dus evenredig met het kwadraat van de derdemachtswortel van het aantal nucleonen in de kern. Met deze informatie kan de correctieterm voor de totale bindingsenergie worden gedefinieerd:

W_b=a₁A - a₂A^⅔. Waarin a₂ een constante is.

Coulombafstoting tussen de protonen
De protonen binnen een nuclide zijn positief geladen en stoten elkaar dus af. Dit verminderd de bindingsenergie van de kern, waardoor er nog een correctieterm moet worden toegevoegd. De coulombenergie in een nuclide is evenredig met het kwadraat van het aantal protonen (Z) en omgekeerd evenredig met de kernstraal. De vergelijking voor de totale bindingsenergie wordt nu:

W_b=a₁A - a₂A^⅔ - a₃Z²A^-⅓. Waarin a₃ een constante is.

De asymmetrieterm
Een volgende correctieterm die moet worden aangebracht is een nogal complex effect dat wordt veroorzaakt door het verschil tussen het aantal neutronen (N) en het aantal protonen (Z) in een atoomkern. Het zogenaamde uitsluitingsprincipe van Pauli stelt dat twee identieke fermionen (deeltjes met een halftallige spin, zoals protonen, neutronen en elektronen) nooit dezelfde kwantumtoestand mogen bezetten. Dit principe is bijvoorbeeld de reden dat twee elektronen nooit dezelfde baan in een atoom bezetten.

Protonen en neutronen in een kern hebben dus allemaal een andere toestand (er bestaan aparte toestanden voor protonen en neutronen). Ook zal een proton/neutron altijd de laagste kwantumtoestand (de toestand met de minste energie) proberen te bezetten. Als deze al bezet is door een ander proton/neutron, zal deze dus naar een hogere toestand moeten gaan. Stel nu dat er in een kern tien protonen en vijf neutronen zitten. Als er een extra proton wordt toegevoegd aan deze kern, gaat deze naar de tien na laagste toestand. Maar als er een neutron bijkomt, gaat deze naar de vijf na laagste toestand; een minder energetische toestand dan die van het extra proton.

De totale energie is dus het laagst als precies de helft van de nucleonen in een kern neutronen zijn, en de andere helft protonen. De correctieterm die hieruit volgt is erg ingewikkeld af te leiden, maar men kan aan tonen dat deze neerkomt op: a₄(N - Z)²A^-1. Waarin a₄ een constante is. De vergelijking voor de totale bindingsenergie wordt nu:

W_b=a₁A - a₂A^⅔ - a₃Z²A^-⅓ - a₄(N - Z)²A^-1.

De waarden van de constanten in de vergelijking voor de bindingsenergie

Experimentele waarden van W_b
De waarden van de constanten a₁, a₂, a₃ en a₄ zijn geen getallen die theoretisch gevonden zijn. De waarden zijn verkregen door ze af te stemmen op de experimenteel bepaalde waarden van de bindingsenergieën (W_b) van de tot nu toe bekende nucliden. De waarden (uitgedrukt in MeV, oftewel mega elektronvolt) zijn momenteel op:

a1	15,760 MeV
a2	17,810 MeV
a3	0,711 MeV
a4	23,702 MeV