Elektromagnetisme: Coulomb en potentiaal

In het midden van negentiende eeuw vond natuurkundige James Clerk Maxwell 4 vergelijkingen die het verband tussen lading, elektrisch veld, elektrische stroom, en het magnetisch veld beschrijven. Samen met Albert Einstein en Isaac Newton wordt hij tot de grootste natuurkundigen gerekend. In dit eerste artikel wordt het verband tussen het elektrisch veld en lading uitgelegd; in volgende artikelen wordt Maxwell behandeld. Uit de Wet van Coulomb is de veldsterkte en potentiaal af te leiden.

Coulomb en het elektrisch veld

Voor 2 puntladingen in vacuum geldt de wet van Coulomb:
(zie ook De Wet van Coulomb)


Met:

• F = kracht welke q en Q op elkaar uitoefenen [N]
• ε = permittiviteit vacuum = 8,854 x 10E-12 [C²/Nm²]
• r = afstand tussen de puntladingen [m]
• er = eenheidsrichtingsvector

Voor q en Q nemen we puntladingen. In de natuur treden slechts ruimtelijk verdeelde ladingen op.; q en Q beschouwen als puntladingen betekent dat de afemtingen van de 2 ruimtes waarin q en Q verdeeld liggen, zeer klein zijn ten opzichte van r.

De elektrische veldsterkte wordt gedefinieerd als:
E = F/q [N/C] = [V/m]
dus:


Deze formule geeft de elektrische veldsterkte weer in vacuum ten gevolge van een puntlading. De afstand r[m] staat hier voor de afstand tussen de puntlading en het beschouwde punt in het vacuum. We kunnen dus concluderen dat:
+ als Q = positief, dan E van Q afgericht
+ als Q = negatief, dan E naar Q toegericht

In een ruimte is E homogeen als daarin E overal in grootte en richting konstant is.
Via Coulomb en F = Σ Fi is in te zien dat ook voor E dit superpositiebeginsel moet gelden, dus:


Dit betekent dus vectorieel optellen. Wanneer men een kontinue ladingsverdeling beschouwt als een limietgeval van een groot aantal discrete ladingen, kan men ook schrijven:

E = 1/4πε ∫ dq/r² er

---

Elektrostatisch veld

In een elektrostatisch veld zijn de elektrsiche ladingen konstant en liggen onbeweeglijk op hun plaats. Voor een eindig aantal verspreide puntladingen zal, als gevolg van het superpositiebeginsel, gelden:
o∫ E dl = 0 (met o∫ = gesloten kringintegraal)

---

Potentiaal

We stellen ons een elektrostatisch veld voor, en we bewegen een positieve puntlading (komende vanuit ∞) van punt naar punt. De snelheid en massa van de lading zijn verwaarlossbaar klein. We willen nu de hoeveelheid arbeid bepalen, verricht door de veldkracht F, wanneer q wordt verplaatst van punt A naar punt B.

Arbeid = ∫ F dl

De arbeid per eenheidspading is 1/q ∫ F dl = 1/q ∫ qE dl = ∫ E dl

De hierboven staande arbeid per eenheid van lading [J/C] noemt men potentiaalverschil.


Het potentiaalverschil drukt altijd een verschil uit ten opzichte van een referentiepunt. De potentiaal van het referentiepunt is in principe willkeurig, maar wordt vaak in ∞ (of op 'aarde') gekozen, zijnde 0 [V].

---

De potentiaal tgv een puntlading

We kunnen nu de potentiaal ten gevolge van een puntlading in een elektrostatisch veld berekenen.
Va - Vb = ∫ E dl = ∫ (A-->B') + ∫ (B'-->B) = ∫ (A-->B')
We kunnen nu overgaan op een bolcoordinatenstelsel: dr, dΘ, dΦ.

Va - Vb = | ∫ Qer / (4πεr²)| |dr| cos(0) =
-|Q| / (4πεr) (b'-->a) = Q / (4πε) (1/ra - 1/rb')

Wanneer we B' oneindig ver weg beschouwen, dan blijft over: Q / (4πεra)
De potentiaal in oneindig wordt gelijk aan nul veronderstelt.
Dus:

---

Zie ook

Elektromagnetisme: Coulmb geladen draad
Elektromagnetisme: Maxwell elektrisch veld
Elektromagnetisme: Biot en Savart magnetisch veld
Elektromagnetisme: Maxwell magnetisch veld
Elektromagnetisme: Lorentz

Lees verder

• De wet van Coulomb en straling
• Elektromagnetisme: Maxwell elektrisch veld
• De wet van Ohm en Maxwell