Elektromagnetisme: Coulomb geladen draad

In het midden van negentiende eeuw vond natuurkundige James Clerk Maxwell 4 vergelijkingen die het verband tussen lading, elektrisch veld, elektrische stroom, en het magnetisch veld beschrijven. Samen met Albert Einstein en Isaac Newton wordt hij tot de grootste natuurkundigen gerekend. Dit artikel behandelt het elektrisch veld ten gevolge van een oneindig lange geladen draad. De Wet van Coulomb wordt gebruikt om de veldsterkte en potentiaal af te leiden. Maxwell volgt in volgende artikelen.

Geladen draad

Uit het vorig artikel (zie ook Elektromagnetisme: Coulmb en potentiaal) is gebleken:



Elektrisch veld tgv geladen draad:
Stel een oneindig lange draad is belegd met homogeen verdeelde lading λ [C/m]. Nu kunnen we Coulomb gebruiken om de elektrische veldsterkte te berekenen. Een stukje dz1 van de draad bevat een puntlading dq1= λdz1. Deze lading levert een veldsterkte:
dE1 = λdz1 / (4πεr²)
Elke andere weg van dq geeft een anders gerichte dE (zie figuur hiernaast). Om Etot te vinden moeten we in principe al deze vectoren E vectorieel optellen, dat wil zeggen elke E ontbinden in 3 richtingen en in elke richting scalair optellen (scalair integreren). Dit levert dan de componenten Er, EΦ, en Ez.
De symmetrie van de figuur maakt vereenvoudigt een aantal optellingen. Elke E ligt in het vlak van tekening, dus E heeft geen component loodrecht op het vlak van tekening (EΦ=0).
Vervolgens zal gelden, vanwege de symmetrie, dat elke ten gevolge van dq1 en dq2 dE1 sin α = dE2 sin α . Deze heffen elkaar dus op. De gehele draad is te verdelen in zulke tweetallen. Het veld heeft in het snijpunt dus geen component in de richting evenwijdig aan de draad (Ez = 0).
Van elke dE draagt slechts E cos α bij in de er richting. Scalair integreren in de er richting levert E in het snijpunt P:

E = ∫ dE cos α er = ∫ λdz / (4πεk²) cos α er

Er staan nu meerdere afhankelijke variabelen. Alle omzetten in 1 variabele (hoekvariabele is vaak het handigst):
z= rtg(α) ; dz = r / cos² α dα ; k = r / cos α
Levert:

E = ∫ λdz / (4πεk²) cos α er

= ∫ λ rdα cos²α / (4πε cos²α r²) cos α er (α π/2 -----> -π/2)


Potentiaal tgv geladen draad:
Het potentiaalveld V is te bepalen via:
dV = λdz / (4πε k)
V = ∫ dV = ∫ λdz / (4πε k) = λ / (4πε ) log tg (1/2α + π/4) (α π/2 -----> -π/2) = ∞ - 0 = ∞

Met dit resultaat valt niet te werken.
Bij de berekening zijn we uitgegaan van de potentiaal van een puntlading met de referentie V = 0 in r = ∞. Als we nu een ander referentiepunt kiezen, bijvoorbeeld punt B met Vb = 0, dan:

Vp - Vb = Vp = ∫ E dl = ∫ λdz / (4πε r) er dr (B----->P)
= ∫ |λ / (2πε r)| |dr| cos 0 = λ / (2πε ) ∫ dr/r =


Als voorbeeld nemen we de coax-kabel waar voor de buitenmantel V = 0 gekozen kan worden.

---

Geladen plaat

Voor een plaat belegd met homogeen verdeelde lading σ [C/m²] geldt een soortgelijke symmetrie als bij de geladen draad. Voor de lading geldt nu echter dq = σ dydz. Deze lading levert een veldsterkte:
dE1 = λdy1dz1 / (4πεr²)
Symmetrie toepassen, en alles integreren over hoekvariabele α levert:

---

Zie ook

Elektromagnetisme: Coulmb en potentiaal
Elektromagnetisme: Maxwell elektrisch veld
Elektromagnetisme: Biot en Savart magnetisch veld
Elektromagnetisme: Maxwell magnetisch veld
Elektromagnetisme: Lorentz