Elektromagnetisme: Maxwell elektrisch veld

In dit artikel wordt de eerste vergelijking van Maxwell uitgelegd; het blijkt een zeer eenvoudige wijze om het elektrisch veld te bepalen. We behandelen een geladen bol, stroomdraad, en een geladen plaat. De Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell vond in de 19e eeuw 4 differentiaalvergelijkingen die het verband tussen lading, elektrisch veld, elektrische stroom, en het magnetisch veld beschrijven. Met deze briljante vinding legde hij de basis voor de theorie van het elektromagnetisme.

De eerste Maxwell vergelijking

In de vorige artikelen hebben we gezien hoe vanuit Coulomb het elektrisch veld voor een puntlading, een oneindig lange geladen draad, en een geladen plaat kan worden afgeleid. De potentiaal is op zijn beurt daarvan af te leiden.

We vonden:
Puntlading
Oneindig lange geladen draad
Geladen plaat

De Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell leefde van 1831 tot 1879. Hij vond 4 differentiaalvergelijkkingen die het verband tussen lading, elektrische veldsterkte, stroom, en magnetsiche veldsterkte beschrijven. Deze vinding mag gerust briljant genoemd worden. De eerste Maxwell vergelijking geeft het verband tussen het elektrisch veld en lading:

Ο∫∫ D en dS = ∫∫∫ ρv dV = Qv

Wat staat hier nu eigenlijk? De gesloten oppervlakte-integraal over S van het vector-inproduct D en is gelijk aan de volume-integraal (volume V) van de omvatte lading. In plaats van D gebruiken we vaak de elektrische veldsterkte E. De herschreven vergelijking wodt dan:

---

Geladen bol

We passen deze vergelijking toe op een geladen bol. Stel in een bolvormige ruimte met straal R[m] ligt een homogeen verdeelde lading Q. Zie de figuur hiernaast. We kunnen nu als gevolg van de symmetrie een aantal gevolgtrekkingen doen. De gehele lading is te verdelen in paren, puntladingen dq, aan weerszijden en op gelijke afstanden van PM. Uit de tekening blijkt dat (via Coulomb) op de gehele bol met straal r[m] geldt: E = E er = E(r) er. Voor het oppervlak kiezen we S, r > R, een bol die de bolvormige ruimte met straal R volledig omsluit. Het inproduct E en zal overal op deze bol gelijk zijn aan E, omdat en overal loodrecht op de bol staat. Voor Qv mogen we de door S omvatte lading nemen.

Ο∫∫ E en dS = Qv / ε , dus

Ο∫∫ | | | | cos α dS = E Ο∫∫ dS = E 4πr² = Qv / ε, dus

E = Q / (4πεr²) er, voor r > R.

De uitkomst van het vraagstuk is gelijk aan de berekening via Coulomb, zij het met veel minder rekenwerk.

---

Geladen draad

Stel een oneindig lange draad is belegd met homogeen verdeelde lading λ [C/m]. We gaan over op cilindercoordinaten r, φ, en z. Vanwege de symmetrie (zie vorig artikel) kunnen we de draad verdelen in symmetrisch gelegen paren dq. Voor elke puntlading geldt dE1 sin α = dE2 sin α, hetgeen elkaar opheft in de richting evenwijdig aan de draad. Per puntlading draagt dus slechts bij dE cos α er. Dit maakt het E-veld cilindersymmetrisch, met 0 < φ < 2π. Op elke concentrische cilinder is E konstant. Er geldt dus E = E(r) er. Om Maxwell toe te kunnen passen hoeven we alleen maar een geschikt oppervlak S te vinden.

Als oppervlak S kiezen we nu een concentrsiche cilinder, met als middellijn de draad. Voor de bodem en deksel geldt dat en loodrecht op E staat. Het inproduct E en voor bodem en deksel is dus nul (cos 1/2π = 0). Voor de mantel geldt dat overal het inproduct E en gelijk is aan E(r), want beide vectoren wijzen precies in dezelfde richting. We kunnen dus stellen:

Ο∫∫ E en dS = Qv / ε , dus

Ο∫∫ | | | | cos α dS = E Ο∫∫ dS = E 2πr L = Qv / ε, dus

E 2πr L = λ L / ε

E = λ / (2πεr) er, voor r > R.

De uitkomst van het vraagstuk is weer gelijk aan de berekening via Coulomb, opnieuw met veel minder rekenwerk.

---

Geladen plaat

Voor de geladen plaat geldt eveneens symmetrie. De lading is verdeeld met dichtheid σ [C/m²]. We kunnen de homogeen verdeelde lading opvatten als paren dq. Nu zullen de bijdragen dE1 sin α = dE2 sin α elkaar opheffen in de richting evenwijdig aan de plaat. Per puntlading draagt dus slechts bij dE cos α ex. Met ex loodrecht op de plaat. We moeten nu een geschikt oppervlak S kiezen, zodanig dat Maxwell kan worden toegepast. We kiezen voor S een cilinder, met bodem en deksel evenwijdig aan de plaat. Nu geldt:
Ο∫∫ E en dS = Qv / ε , dus

Mantel: E loodrecht en, dus inproduct E en = 0 (cos 1/2π = 0)
Bodem en deksel:

Ο∫∫ | | | | cos α dS = E Ο∫∫ dS = E 2 ΔS = Qv / ε, dus

E 2 ΔS = ΔS σ / ε

E = σ / (2ε) ex

Opnieuw gelijk aan Coulomb.

Lees verder

• De wet van Ohm en Maxwell
• Elektromagnetisme: Maxwell magnetisch veld
• Elektromagnetisme: Coulomb en potentiaal