Elektromagnetisme: Biot en Savart magnetisch veld

In dit artikel wordt het verband tussen het magnetisch veld en elektrische stroom uitgelegd; de gebruikte wetten zijn van Biot en Savart. Een elektrische stroom wekt een magnetische veld op. De richting van het veld hangt af van de richting van de stroom. Bovendien kan de stroomkring gewikkeld zijn, zoals bij een spoel; ook dit veld is te berekenen met Biot en Savart. In volgende artikelen doen we hetzelfde met de vergelijking van Maxwell.

Biot en Savart

Bewegende lading veroorzaakt een magnetisch veld (het B veld). Het magnetisch veld ten gevolge van een puntlading wordt niet beschouwd. Bewegende ruimtelijk verdeelde lading is hier meestal te beschouwen als een verzameling zeer dunne stroomdraden. Is het B-veld van één zeer dunne stroomdraad bekend, dan verkrijgen we het werkelijke B-veld door een vectorieel sommatieproces.

Evenals bij E-velden geldt het superpositie-beginsel:


De wet van Biot en Savart beschrijft het magnetisch veld ten gevolge van een zeer dunne stroomdraad, gesloten of oneindig lang:


Met:

• B = totale B-veld in een punt P tgv de zeer dunne stroomdraad [T]
• μ0 = permeabiliteit vacuum [Vs/Am]
• Ο∫ = gesloten kringintegraal
• I = stroomsterkte [A]
• dl = infinitesimaal lengtestukje draad
• et = eenheidsvector, rakend in dl, richting volgens I
• er = eenheidsvector, gericht vanuit dl naar P
• x = uitproduct van 2 vectoren

De richting van de in de figuur getekende dB is loodrecht op het vlak van tekening, en van de lezer af gericht. Dit wordt aangegeven door een rondje met een kruis erin. De tegengestelde richting geeft men aan door een rondje met een punt in het midden.
De stroomdraad in de B & S fomule dient gesloten of oneindig lang te zijn. Dit hangt samen met het mogelijk optreden van de afgeleide van het elektrsich veld dD / dt ; deze factor is van invloed op het B-veld. Door de stroomdraad gesloten of oneindig lang te kiezen wordt deze factor verwaarloosbaar.

De oneindig lange stroomdraad

Voor de oneindig lange stroomdrad is de factor dD / dt verwaarloosbaar. Voor de integraal nemen we dus Ο∫ = ∫ (-∞ ---> +∞).
We kiezen een willekeurig meetpunt P en leggen het vlak van tekening door de draad en P. Ten gevolge van elk stroomelement Idl staat de bijdrage dB in P loodrecht op het vlak van tekening. Tekenen voor meerdere stroomelementen levert:

dB = |dB| eφ

Omdat B = Σ Bi, mogen de dB's nu scalair worden opgeteld.
De figuur kan geroteerd en getransleerd worden. Dan blijkt dat op een concentrische cilinder (met als as de draad):
B = konstant = | B | (+eφ)

B = μ0 / (4π) Ο∫ I dl et x er / r²

dB = μ0 I dl et x er / (4π k²)

= μ0 I dl sin α / (4π k²) eφ

Er staan nu meerdere variabelen. Omzetten in één varabele (hoekvariabele; we nemen de hoek bij het meetpunt) levert:
l = r tg β ; dl = r / cos² β ; sin α = cos β ; k = r / cos β

B = ∫ dB (voor φ -π/2 ------> +π/2)
= μ0 I / (4π r) ∫ cos β dβ eφ =

Circelvormige stroomdraad

Voor een circelvormige draad is de factor dD / dt verwaarloosbaar. We kunnen opnieuw Biot en Savart gebruiken samen met het superpositiebeginsel.
We bepalen het magnetisch veld op de as van de circel. Het vlak van de stroomdraad plaatsen we loodrecht op het vlak van tekening. De dB's ten gevolge van de respectievelijke I dl 's liggen langs de mantel van een kegel met top punt P. In principe moet elke dB ontbonden worden in 3 richtingen. Door de symmetrie echter kunnen er vereenvoudigingen worden toegepast. Voor het ' rondje met kruis' geldt dat de stroom door het vlak van tekening gaat; het rondje met stip betekent een stroomrichting 'naar de lezer toe'.
Symmetrie:
Het willekeurige stukje dl1 doorsnijdt het tekenvlak loodrecht.
et1 x er1 bepaalt de richting van dB1.
Het diametraal gelegen dl2 levert dB2.
Voor elke dB draagt slechts dB cos α bij (dB sin α heffen elkaar op).
B is te bepalen door scalair te integreren.
dB = μ0 I dl et x er / (4π r²) ez
B = Ο∫ dB cos α
Variabelen omzetten naar hoekvariabele α en integreren levert:

---

Zie ook

Elektromagnetisme: Coulmb en potentiaal
Elektromagnetisme: Coulomb geladen draad
Elektromagnetisme: Mawell elektrisch veld
Elektromagnetisme: Maxwell magnetisch veld
Elektromagnetisme: Lorentz