Elektromagnetisme: Maxwell magnetisch veld

In dit artikel wordt de vergelijking van Maxwell uitgelegd die het verband beschrijft tussen elektrische stroom en het magnetisch veld. De Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell legde in de 19e eeuw de basis voor de theorie van het elektromagnetisme. Met vier differentiaalvergelijkingen beschreef hij zeer eenvoudig het verband tussen lading, elektrische stroom, het elektrisch veld, en magnetisme. Men plaatst Maxwell ook wel op gelijke hoogte met Newton en Einstein.

De Maxwell vergelijking

In het vorig artikel werd het magnetisch veld afgeleid van Biot en Savart. Het veld voor een oneindig lange stroomdraad en een circelvormige stroomdraad werden afgeleid:

Oneindig lange stroomdraad:
Circelvormige stroomdraad:

De Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell leefde van 1831 tot 1879. Een van zijn 4 differentiaalvergelijkingen beschrijft het verband tussen elektrische stroom en magnetisch veld. Met behulp van Biot en Savart was in te zien, dat voor de meeste stroomkringen geldt:

Ο∫ B dl = μ0 I

Wat staat hier? De gesloten lijn-integraal over L van het vector-inproduct B dl is gelijk aan stroom I die het oppervlak omsloten 'door L loopt. Meestal wordt voor de stroom I de stroomdichtheid genomen: de vector j stelt de stroom per oppervlak S voor.

I = ∫∫ j en dS

Voor de vector B neemt wel ook wel de magentische veldsterkte H:

B = μ0μr H

De volledige Maxwellvergelijking voor de magnetische veldsterkte luidt:


De laatste term (∫∫ d D / dt ......) drukt de relatie uit met tijdafhankelijke velden. Men neemt ter vereenvoudiging deze term meestal geljk aan nul.

---

Oneindig lange stroomdraad

Het veld ten gevolge van de oneindig lange stroomdraad is vrij eenvoudig met Maxwell te bepalen. Symmetrie leert ons dat ten gevolge van elke I dl de dB gelijkgericht is. Er geldt bovendien superpositie: B = Σ Bi = Σ dBi. De figuur kan geroteerd en getransleerd worden. Dit betekent: B is gelijk en gelijkgericht (eφ) op concentrische cilinders.
We dienen dus Maxwell toe te passen op een concentrische cilinder.

Ο∫ H dl = ∫∫ j en dS
Ο∫ B dl= μ0 ∫∫ j en dS

Ο∫ |B| |dl| cos 0 = μ0 ∫∫ |j| |en| cos 0 dS
B 2πr = μ0 I , dus

---

Oneindig lange stroombus of spoel

Een spoel heeft altijd een spoed (draad niet loodrecht op de as) en vanwege de ronde doorsnede van de draad een niet-homogene stroomverdeling; de wikkeling kan meerdere lagen bevatten. In ons geval vervangen we de spoel door een theoretisch model, de stroombus. De stroombus heeft de eigenschap dat j loodrecht op de as staat en dat de stroom homogeen verdeeld is.

Voor het eerste gedeelte van de afleiding hebben we Biot en Savart nodig. De gehele stroombus wordt opgedeeld gedacht in zeer smalle (dk, infinitesimaal) ringen. Is de wanddikte van de stroombus zeer klein ten opzichte van a, dan de ringen op te vatten als zeer dunne stroomdraden, waarvan het B-veld op de as in een voorgaand artikel (Elektromagnetisme Biot en Savart) is afgeleid. We vonden daar voor B:

B = μ0 I a² / (2 r³) ez [T]

De stroom door de stroombus geven we hier eerst aan met de stroomdichtheid j [A/m²]. Door één ring loopt een stroom van j da dk. Ten gevolge van één ring is de bijdrage in het snijpunt P op de as:

dB = μ0 j da dk a² / (2 r³) ez

Variabelen omzetten naar hoekvariabele α, en integreren levert:

B = μ0 j da ez , in P op de as.

De volgende stap is vast te stellen hoe de B-lijnen binnen de bus lopen. We beschouwen een willkeurig punt Q binnen de bus met aan weerszijden op gelijke afstanden een stroomring dk. Uit de tekening blijkt dat 2 ringen samen een B-veld veroorzaken evenwijdig aan de as. De stroombus is oneindig lang, dus de beschouwing is geldig voor elk willkeurig punt binnen de bus. Het veld is cilinder-symmetrisch, de B-lijnen zijn recht, en evenwijdig aan de as.

Nu kunnen we Maxwell toe passen; we kiezen contour L2:

Ο∫ B dl = μ0 I

Bas b - Bbuiten b + 0 = μ0 j da b

μ0 j da b b - Bbuiten b + 0 = μ0 j da b

dus Bbuiten = 0

Samengevat:


In werkelijkheid is een stoombus (spoel) niet ideaal en niet oneindig lang. Dit betekent dat het veld binnen en buiten de spoel niet recht is en niet homogeen. Maxwell is dan niet te gebruiken. Het veld buiten de spoel is niet gelijk nul, en binnen de bus vertoont het wel symmetrie, zodat men Biot en Savart kan gebruiken en het superpositiebeginsel.

---

ZIe ook

Elektromagnetisme: Coulmb en potentiaal
Elektromagnetisme: Coulomb geladen draad
Elektromagnetisme: Mawell elektrisch veld
Elektromagnetisme: Biiot en Savart magnetisch veld
Elektromagnetisme: Lorentz

Lees verder

• Elektromagnetisme: Maxwell elektrisch veld
• Elektromagnetisme: Lorentz
• Elektromagnetisme: Biot en Savart magnetisch veld