Kwantumfysika Schrödinger

In 1926 ontwikkelde Erwin Schrödinger de golfmechanica, gebaseerd op Planck's kwantum-hypothese en de ideeen van de Broglie over het golfkarakter van materie. Een golfvergelijking is een zeer algemene bewerking van de wetten van de mechanica, maar nu ontworpen om het gedrag van deeltjes op atomaire schaal mee te beschijven. De golfvergelijking beschrijft het verloop van een golf in tijd en ruimte; de kwantummechanica is een van de succesvolste natuurkundige theorieën aller tijden geworden.

Golfmechanica

De Deense natuurkundige Bohr stelde in 1913 dat het atoom slechts kan bestaan in een beperkt aantal toestanden, de zogenaamde stationaire toestanden. Hierbij circelt het elektron in een baan om de kern, zonder dat het daarbij straling uitzendt.
Het gedrag en eigenschappen dat een systeem van één of meerdere deeltjes onder bepaalde condities vertoont, blijkt op atomaire schaal door de zogenaamde (tijdsafhankelijke) Schrödingervergelijking beschreven te kunnen worden. Hieruit is de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking af te leiden. De oplossingen van deze vergelijking blijken de stationaire toestanden van het systeem weer te geven. Vaak blijkt slechts een beperkt aantal oplossingen aan de zogenaamde randvoorwaarden te voldoen, hetgeen ertoe blijkt te leiden dat de energie van het systeem slechts bepaalde waarden kan aannemen. Voor maar enkele systemen is de Schrödingervergelijking exact oplosbaar.
Schrödinger formuleerde de kwantummechanica met daarin de complexe grootheid Ψ, de golffunctie. Deze grootheid is een functie van de drie plaatscoordinaten van het deeltje (x, y, z) en de tijd t. Het dynamisch gedrag van een deeltje wordt vastgelegd door Ψ. Voor een systeem met één enkel deeltje deed Schrödinger vijf veronderstellingen:

• Bij het deeltje hoort de golfvergelijking Ψ(x,y,z,t)
• De klassieke uitdrukking voor de totale energie ε van het systeem, wordt gegeven door: p² / 2m + V(x,y,z) = ε

Hierin is p de impuls van het deeltje, m de massa, en V de potentiële energie. De totale energie van het systeem is de som van de kinetische en potentiële energie. Deze expressie kan worden omgezet in een golfvergelijking door de volgende operatoren te definiëren:
x,y,z → x,y,z
f(x,y,z) → f(x,y,z)
p → h / i (d/dx + d/dy + d/dz) = h / i Ð
ε → - h / i d/dt

Passen we deze operatoren toe, dan ontstaat de Schrödingervergelijking:


Vaak wordt Hamilton operator Η gebruikt:

H (Ψ) = - h/i dΨ/dt

• De grootheden Ψ(x,y,z,t) en Ð Ψ zijn eindig, continu, en eenduidig voor alle waarden van x, y, z, en t.
• De grootheid Ψ*Ψ, met Ψ* de complex geconjugeerde van Ψ, is de waarschijnlijkheidsdichtheid.

Ψ*Ψdv stelt waarschijnlijkheid voor, waarmee het deeltje te vinden is in volume v. Wanneer we de integraal van deze waarschijnlijkheid nemen over de oneindige ruimte dan moet het deeltje aangetroffen worden, dus daarvoor geldt:

∫ Ψ*Ψdv = 1

• De gemiddelde of verwachtignswaarde <α> van een willekeurige variabele α is gedefiniëerd als: <α> = ∫ Ψ* α Ψdv

Om de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking te vinden wordt Ψ = Ψ(x,y,,z) Ψ(t) ingevuld voor Ψ. Na een aantal vereenvoudigingen vinden we:

Potentiaalsprong

We kunnen nu de golffunctie Ψ van een deeltje bepalen, dat in een gebied beweegt, waarin de potentiaal plotseling oplloopt (zie figuur). De potentiêle energie is nul voor x < 0, en heeft een constante waarde W0 voor x > 0. Stel het deeltje bezit een potentiêle energie van W < W0. Om de oplossing te vinden moeten we de Schrödingervergelijking apart opschrijven voor de gebieden x < 0 (I) en x > 0 (II). In gebied I zal dan gelden:

d²/dx² Ψ1 + 2mW / h² Ψ1 = 0

De algemene oplossing van deze vergelijking heeft de vorm:

Ψ1(x) = A exp (ikx) + B exp (-ikx)

De waarden van A en B laten we buiten beschouwing. In gebied II geldt:

d²/dx² Ψ2 + 2m(W - W0) / h² Ψ2 = 0

Wanneer we α = 2m(W - W0) / h² nemen, wordt de oplossing:

Ψ2(x) = C exp (-αx) + D exp (αx)

De term D exp (αx) vervalt, want een stijgende golffunctie is niet aanvaardbaar: dit zou een met x toenemende waarschijnlijkheidsdichtheid opleveren. Het feit dat Ψ2(x) niet nul is, betekent dat er een zekere waarschijnlijkheid is om het deeltje in gebied II aan te treffen. Deze waarschijnlijkheid wordt uitgedrukt door: Ψ2(x) Ψ2*(x) dx. Ψ2(x) is een dalende functie; het is steeds onwaarschijnlijker om het deeltje aan te treffen in het gebied x > x0, naamate x tioeneemt.

Lees verder

• Kwantumfysica introductie
• Kwantumfysica Foto-elektrisch effect
• Kwantumfysica het golfkarakter van materie