De wet van Ohm en Maxwell

De Schotse natuurkundige Maxwell stelde in 1871 4 differentiaalvergelijkingen op die het verband tussen lading, elektrisch veld en magnetisch veld beschreven. Deze briljante ontdekking vormde de basis voor het denken van Lorentz, en -later- Einstein met zijn relativiteitstheorie. In 1826 was reeds het verband tussen spanning en stroom in een geleider vastgelegd in de wet van Ohm (Georg Ohm). Dit artikel probeert het verband te leggen tussen de 1e Maxwellvergelijking en de wet van Ohm.

Begrippen

Weerstand
De in 1826 opgestelde wet van Ohm legt vast: het verband tussen elektrische spanning en stroom in een geleider. De stroom door een geleider bleek recht evenredig te zijn met de aangelegde spanning, mits men de temperatuur als constant veronderstelt. Wat zegt deze vergelijking nu eigenlijk?
De aangelegde spanning hangt samen met het elektrische veld. Spanning en elektrisch veld zijn beiden een uitdrukking van een ladingsverschil tussen twee punten. Het elektrische veld is een vector-grootheid; dit wil zeggen de grootheid heeft -net zoals een kracht- een grootte en een richting, en daarom wordt het in modellen afgebeeld door een pijl. We kunnen op grond van de wet van Coulomb of de 1e vergelijking van Maxwell de grootte en de richting van zo'n veld bepalen.

Elektrisch veld
Uit de wet van Coulomb kunnen we afleiden dat wanneer een puntlading q in een buurt van een andere lading Q wordt gebracht, de puntlading een kracht zal ondervinden als gevolg van die lading. Deze (Coulomb)kracht wil de puntlading versnellen, of een beweging geven. De grootte en de richting van het elektrisch veld rondom de lading is niets anders dan de Coulombkracht gedeeld door deze lading.
De elektrische veldsterkte wordt gedefinieerd als:
E = F / Q [N/C] = [V/m]
dus:
Het streepje onder de kracht F en veldsterkte E betekent dat het hier om een vector gaat. De vector er geeft de richting aan: radiaal, oftewel in alle richtingen van de lading afgericht. De grootheid r geeft de afstand tot de lading in meters aan.

De potentiaal tgv een puntlading
Als gevolg van een elektrisch veld E kunnen we arbeid verrichten door een puntlading in zo'n veld te 'duwen' langs een veldlijn. We weten dat de verrichte arbeid zal zijn: W = ∫ Fdr. De grootheid spanning is gedefinieerd als de verrichte arbeid per eenheidslading:
Va - Vb = ∫ F / q dl = ∫ E dl
Voor het bepalen van de spanning tgv een puntlading gaan we over een bolcoordinatenstelsel: dr, dΘ, dΦ.
Va - Vb = | ∫ q er / (4πεr²)| |dr| cos(0) = -|q| / (4πεr) (b'-->a) = q / (4πε) (1/ra - 1/rb')
De spanning in het punt oneindig wordt gelijk aan nul veronderstelt. Wanneer we B' oneindig ver weg beschouwen, dan blijft over: q / (4πεra). Dus:


1e Maxwell vergelijking
In bovenstaande is het elektrisch veld afgeleid van de wet van Coulomb. De afleiding kan echter ook gedaan worden via de 1e vergelijking van Maxwell. Deze vergelijking stelt het volgende:
De gesloten oppervlakte-integraal over S van het vector-inproduct D en is gelijk aan de volume-integraal (volume V) van de omvatte lading. Oftewel, we kunnen een integraal opstellen van alle vectoren D die loodrecht op het oppervlak S staan, en deze integraal is gelijk aan de totaal omvatte lading door het oppervlak S. De vector D is niets anders dan de elektrische verldsterkte E, alleen gedeeld door de factor ε die de gevoeligheid van het materiaal aangeeft voor een elektrisch veld (het maakt dus verschil dat een veld aangelegd is in hout, plastic, of in een metaal).
In de figuur hiernaast is een geladen draad afgebeeld. De draad wordt oneindig lang veronderstelt; dit maakt het elektrisch veld homogeen. Dit betekent dat alle bijdragen van stukjes dQ lading op de draad samen zullen resulteren in een veld dat gelijk aan nul in de richting van de draad. Deze bijdragen hebben namenlijk allemaal twee richtingcomponenten: eentje langs de draad naar boven en eentje langs de draad naar beneden. De bijdragen van alle stukjes dQ in alle andere richtingen zorgen ervoor dat de elektrisch veld radiaal van de de draad afgericht zal zijn. Als we alle bijdragen zouden optellen, mogen we veronderstellen dat het elektrisch veld zelfs overal loodrecht op de draad staat.
Nu gaan we Maxwell toepassen:
Ο∫∫ D en dS = ∫∫∫ ρv dV = Qv
Voor het oppervlak S nemen we een cilinder met twee deksels. Alle bijdragen D en loodrecht op de deksels zijn nul (zie boven). Om alle bijdragen loodrecht op de cilinder te berekenen doen we de volgende veronderstelling:
De grootte van het elektrisch veld loodrecht op de cilinder hangt af van de afstand r tot de draad. Dit kan niet anders; want de figuur is symmetrisch. Dan wordt de vergelijking gelijk aan:
linkerzijde : Ο∫∫ D en dS = 2*deksel + cilinder = 0 + D en dS (cilinder) = D * 2πr * L
rechterzijde : ∫∫∫ ρv dV = L * λ = de omvatte lading door de cilinder

Hierin stelt l de lengte van de draad voor, en λ de lading per lengte-eenheid.
Aan elkaar gelijk stellen levert op:

Ohm en Maxwell

Bewegende lading is stroom
Een elektrische stroom is op te vatten als de hoeveelheid lading die per seconde een zeker oppervlak passeert. We kunnen dus stellen:
i(t) = dq / dt (door S)
Stel het we proberen het bovenstaande model om te zetten in een dynamische model: de lading op de draad staat niet stil, maar beweegt. We gaan nu de 1e Maxwell-vergelijking differentieren naar de tijd. Met andere woorden, we willen een uitdrukking vinden voor de verandering in de tijd van de lading op de draad. Op de draad ligt immers een bewegende lading (dq / dt), oftewel een stroom.
Wat stelt de uitdrukking aan de linkerzijde van het = teken voor? Om dit te verduidelijken moeten we het model omzetten naar een draad met een zekere lengte L. In de praktijk komt een oneindig lange stroomdraad namenlijk niet voor. Zie de figuur hiernaast. Het veld loodrecht op de deksel zal afbuigen naar boven en beneden. Vanwege symmetrie mogen we stellen dat ook bij de deksels geldt dat het elektrisch veld op gelijke afstand van de begin- en eindpunt van de draad overal even groot is. We kunnen een denkbeeldige halve cirkel denken met als middelpunt het einde van de draad. Op deze halve cirkel is het veld overal even groot.
Nu we dit weten, stellen we de lading op de draad voor als een puntlading. Dit maakt het model wat eenvoudiger om te bekijken. De lading beweegt of wordt in beweging gebracht door een elektrisch veld, of een spanningsverschil. We moeten dus een bewegende lading in een extern elektrisch veld modelleren.

Lading in extern elektrisch veld
Stel een extern elektrisch veld D1 wordt aangelegd door 2 ladingen +Q1 en -Q1 tegenover elkaar leggen (zie figuur hiernaast). Het veld D1 is eenvoudig af te leiden met Maxwell. In het veld brengen we de puntlading q2 aan; de puntlading zal in beweging worden gebracht door het veld D1. Dit vatten we op als een elektrische stroom. De puntlading q2 zelf veroorzaakt een tweede elektrisch veld D2. We brengen -om het geheel met Maxwell te modelleren- weer een opppervlak S in de vorm van een cilinder aan.
Dit lijkt op de werkelijkheid: het veld D1 veroorzaakt een elektrische stroom. De stroom i(t) is gelijk aan dq2 / dt. We kunnen ook zeggen het veld D1 veroorzaakt een verschil in spanning tussen beide deksels van de cilinder. De spanning ter plaatse van de rechter deksel is afgebeeld als Ur.
We stellen nu Maxwell op:
Ο∫∫ D en dS = ∫∫∫ ρv dV = Qv
Differentieren naar de tijd:
d/dt [ Ο∫∫ D en dS ] = d/dt [ Qv ] = i(t)

Het totale veld wordt veroorzaakt door Q1 en q2 dus D = D1 + D2 :

d/dt [ Ο∫∫ D1 en + D2 en dS ] = d/dt [ Qv ] = i(t)

Het veld D1 verandert niet in de tijd dus d/dt [ Ο∫∫ D1 en dS ] = 0
Blijft over : d/dt [ Ο∫∫ D2 en dS ]
Wat staat hier : de afgeleide naar de tijd van het veld loodrecht op de cilinder ten gevolge van de bewegende lading q2.
Stel de lading beweegt naar rechts; de afgeleide is ook op te vatten als lading die stilstaat met dS bewegend naar links, oftewel:

d/dt [ Ο∫∫ D2 en dS ] = | D2 en | d/dt [ Ο∫∫ dS ]

Het veld ter plaatse van de deksel is overal even groot op een halve bol, dus

d/dt [ Ο∫∫ dS ] = d/dt [ 1/2 *4π r² ] = 2π r dr/dt

Wat is dr/dt precies? Laten we stellen dat de lading q2 kan bewegen, maar als q2 onderdeel is van een geleider dan zal q2 natuurlijk bewegen in een atoomstructuur (bijvoorbeeld valentie-elektronen in metaalatomen). We voeren een grootheid 'beweeglijkheid' in die uitdrukt in hoeverre de lading vrij kan bewegen:

beweeglijkheid μ = dr/dt

dan vinden we:
d/dt [ Ο∫∫ dS ] = d/dt [ 2π r² ] = 2π r dr/dt = 2 π r μ

dus:

| D2 en | d/dt [ Ο∫∫ dS ] = D2 (2π r μ) = q2 / 4πr² (2π r μ) = q2 / r 2μ

We weten dat de uitdrukking voor spanning is U(r) = q / 4π ε r

dus:

U(r) * 2π ε * μ = i(t)

Ziedaar het verband tussen spanning en stroom:

Geldigheid van deze afleiding

Voor de afleiding heb ik nogal wat aannames gedaan. Of alles klopt weet ik niet; de uitkomst is echter wel ongeveer wat ik zou verwachten. De elektrische weerstand binnen een materiaal hangt omgekeerd evenredig samen met de beweeglijkheid of de mate waarin de lading 'vast' zit in de atoomstructuur.
Iedereen die fouten ziet in de berekening of commentaar heeft, is van harte uitgenodigd om de afleiding te verbeteren.

Lees verder

• De wet van Ohm en ohmse weerstand
• Elektromagnetisme: Maxwell elektrisch veld
• Elektromagnetisme: Coulomb en potentiaal
• Elektrische capaciteit
• Elektromagnetisme: Coulomb geladen draad