Elektrische capaciteit

Elektrische capaciteit is een grootheid die aangeeft hoeveel lading een materiaal kan vasthouden per eenheid van spanning. In principe bestaat een capaciteit uit twee geladen platen. Een grote capaciteit kan veel lading vasthouden en fungeert een beetje als een grote badkuip. Wanneer een capaciteit bij een zekere spanning overloopt, kan er doorslag optreden; de lading springt dan als vanzelf over. Elektrische geleiders met isolatoren vormen een capaciteit.

Hoogspanningsdraden

In ons hoogspanningsnet worden zeer hoge spanningen gevoerd; dit net dat zorgt voor de transport van elektrische energie heeft vaak een spanning van 110 kiloVolt tot en met 380 kiloVolt. U begrijpt dat een dergelijke hoge spanning direct dodelijk is, wanneer een mens het zou aanraken. Daarom zijn deze draden voorzien van een kunststof isolator; dit is het 'plastic' omhulsel die rond de elektriciteitsdraad is aangebracht.
Normaal gesproken beschouwt men de spanning van de aarde (onder onze voeten) als zijnde 0 Volt. Het spanningsverschil tussen een hoogspanningsdraad en de aarde bedraagt dus enkele honderden kiloVolt. Hoeveel bedraagt de spanning in het gebied (in de lucht) tussen de hoogspanningsdraad en de grond?

Om deze vraag te kunnen beantwoorden, modelleren we de hoogspanningsdraad als een elektrische capaciteit. Een capaciteit bestaat in principe uit twee geladen platen die tegenover elkaar geplaatst zijn. Als gevolg van het ladingsverschil zal er een elektrisch veld E ontstaan. De grootte van dit elektrische veld hangt af van de afstand dL tussen de twee platen en het type materiaal dat tussen de platen zit. Dit materiaal kan lucht, glas, mica, of een andere kunststof zijn (we noemen dit een dielektricum) . Omdat er een elektrisch veld bestaat tussen de twee platen, zal er ook een spanningsverschil U zijn, volgens
De elektrische capaciteit wordt als volgt bepaald:
Hier staat dat de capaciteit gelijk is aan de hoeveelheid lading per eenheid van spanning. We nemen de hoogspanningsdraad als voorbeeld. De draad zien we als een geladen plaat; voor de andere plaat nemen we de grond (elektrisch gezien aarde is nul Volt). Stel dat rond de geleidende draad een dielektrikum ε1 is aangebracht (kunststof isolator), de lucht -het materiaal tussen de isolator en de grond- beschouwen we als dielektrikum ε2. Via de vergelijking van Maxwell kunnen we het elektrisch veld rond deze geladen draad berekenen. De lading op de draad noemen we Q. Het veld D gebruiken we als tussenstap; dit is niets anders dan het elektrisch veld E met de factor ε niet meegerekend. We brengen een opppervlak S (cilindertje) rondom de geleider aan, omdat we weten dat het elektrisch veld overal rondom de draad loodrecht op de draad staat. De afstand (in loodrechte richting) tot de draad noemen we r. Daarna passen we de vergelijking van Maxwell toe:
(1) Ο ∫∫ D en dS = Q
(2) E = D / ε
Dan vinden we : op de deksels van de cilinder geldt dat D en is nul, want het veld D staat loodrecht op de draad. Het oppervlak van de cilinder (zonder deksels) is 2π r dus D 2π r = Q, of
E = Q / (2π ε r)
Voor het stuk isolatiemateriaal geldt : E = Q / (2π ε1 r)
Voor de lucht geldt : E = Q / (2π ε2 r)

We kunnen nu de spanning U als functie van de afstand r tot de draad bekijken:
U(r) = ∫ E dL
= ∫ Q / (2π ε r) dr
= -Q / (2π ε) *ln(r)

Aha, nu weten we meer. Voor het gebiedje ter hoogte van de isolator moeten we voor het dielektrikum ε1 invullen en voor het gebied van de lucht (tot en met de grond) ε2. We krijgen dan U(r) als functie van r (en de factor ε). Zie figuur hiernaast. Vlakbij de geleider (de draad zelf) is r heel erg klein, dus U(r) groot. Voor de isolator geldt dat ε1 groot is, dus de spanning neemt heel erg snel af, naarmate men zich verder van de draad af bevindt. Op de grens van de isolator en de lucht (r = r1), verandert de factor ε1 in ε2; dit is te zien als de 'knik' in de grafiek bij r = r1. Naarmate r groter wordt, komen we dichter bij de grond, en we zien dat de grafiek naar een spanning van nul Volt gaat.
We kunnen dus stellen dat de isolator rondom de geleidende draad ervoor zorgt dat de spanning erg snel daalt, naarmate men zich verder van de draad af bevindt. Dit is nodig, want extreem hoge spanningen zijn gevaarlijk voor de mens. Bij aanraking zal er een dermate grote stroom door het lichaam lopen dat onmiddelijk de dood erop volgt. Het fungeert dus als bescherming tegen de hoge spanningen.

Vliegtuig

Een ander mooi voorbeeld van een capaciteit is een vliegtuig. Wanneer een vliegtuig klaar is met een vliegen (aan de grond staat na een vlucht) moet eerst de elektrische lading, die op de buitenkant van het vliegtuig (metaal) is gaan zitten, worden verwijderd. Door bepaalde natuurkundige processen is er elektrische lading ontstaan op de buitenkant van het vliegtuig tijdens de vlucht. Omdat hier sprake is van (gevaarlijke) hoogspanning, wordt het na de vlucht direct verwijderd door het te laten wegvloeien naar aarde.
Het model van een elektrische capaciteit bestaat uit 2 metalen platen die lading kunnen bevatten. Ook in dit geval beschouwen we de aarde als de 2e plaat die de lading kan bevatten.

Capaciteit

In het bovenstaande voorbeeld wordt uitgelegd wat het veband is tussen de elektrische veldsterkte met een dielektricum en de elektrische spanning. De elektrische lading die op de draad ligt, veroorzaakt de veldsterkte en de spanning. We kunnen een andere grootheid opstellen: de hoeveelheid lading die per eenheid van spanning kan worden vastgehouden.
De elektrische capaciteit wordt als volgt bepaald:
Hier staat dus een uitdrukking voor de hoeveelheid lading die per eenheid van spanning kan worden vastgehouden, uitgedrukt in de eenheid Farad. Materialen met een hoge capaciteit kunnen veel lading vasthouden (bevatten). Capaciteiten komen overal voor; in principe is elke draad die een lading bevat een capaciteit. In het bovenstaande voorbeeld is de hoogspanningsdraad gemodelleerd (er is een model van gemaakt) als een capaciteit. Dit doet men, omdat men er daarna mee rekenen kan. Voor de hoogspanningsdraad vinden we voor C = Q / U = Q / ( -Q / (2π ε) *ln(r)) = 2π ε / ln(r).
Er zijn ook capaciteiten die door de mens zelf gemaakt zijn; zo'n capaciteit heet een condensator. Ze worden gebruikt in de elektronica, vanwege hun elektrische eigenschappen. Wanneer we naar de bovenstaande formule kjken, kunnen we dan het verband tussen spanning en stroom in een capaciteit afleiden?

Ja dat kan: elektrische stroom is niets anders dan de hoeveelheid lading die per seconde een zeker oppervlak passeert, dus we kunnen om de stroom i(t) te vinden de vergelijking differentieren naar de tijd:

C = Q / U
C * U = Q
nu differentieren, levert
d / dt ( C * U = Q)
C * d / dt U = d / dt Q = i(t)
dus
Hier staat : de elektrische stroom in een capaciteit is gelijk aan de factor C maal de afgeleide van de elektrische spanning. Dit is het typische gedrag van een capaciteit. Wanneer we aan beide kanten integreren, ontstaat de volgende vergelijking:
∫ i(t) = C * ∫ d/dt U(t) = C * U(t)
Na deze integratie is makkelijker in te zien hoe een capaciteit zich gedraagt : het integreren van de stroom i(t) betekent dat de capaciteit gemakkelijk als opslagplaats voor deze stroom fungeert. De stroom loopt ahw de capaciteit in, en daar wordt het opgeslagen als lading. Dit heeft tot gevolg dat er een spanning U(t) ontstaat.
Loopt er wel een stroom door een capaciteit? Ja en nee; de stroom kan er niet dwars doorheen (zoals bij een weerstand), maar de bovenstaande formule geeft wel aan dat er een direct verband is tussen de afgeleide van de spanning en stroom. We moeten dus vooral kijken naar het dynamisch gedrag in de tijd.

Capaciteit in elektronica

Zoals gezegd gebruikt men in de elektronica 'zelf gemaakte' capaciteiten, de zogenaamde condensatoren. Een condensator als component wordt afgebeeld zoals in de figuur hiernaast. Ze zijn er in allerlei soorten en maten. De eenheid die voor een capaciteit wordt gebruikt is Farad. De waarde van 1 Farad is in werkelijkheid een erg grote capaciteit. In de elektronica zijn veel kleinere waarden gangbaar zoals:

• picoFarad [pF]
• nanoFarad [nF]
• micoFarad [uF]
• milliFarad [mF]

Vanwege de bovengenoemde formule tussen spanning en stroom (i(t) = C * d/dt U(t)) worden capaciteiten vooral ingezet op plaatsen waar men bepaalde bewerkingen (truukjes) wil uitvoeren op signalen. Een capaciteit fungeert dan als tijdafhankelijke component. De stroom door een capaciteit is immers niet rechtstreeks van de spanning afhankelijk, maar van de afgeleide van de spanning.

Lees verder

• Elektromagnetisme: Maxwell elektrisch veld
• Modellen in de natuurkunde
• Differentiaalvergelijkingen en Laplace