Modellen in de natuurkunde

In de natuurkunde en alle aanverwante vakgebieden willen ontwerpers graag werken met ideale modellen. Dit zijn wiskundige constructies die het gedrag van de werkelijkheid zo goed mogelijk beschrijven. Sinds het tijdperk van de stoommachine is er behoefte aan modelvormen die complexe multidisciplinaire systemen transparant kunnen beschrijven. In de robotica, mechatronica, en thermodynamica gebruikt men ook wel het bondgraafmodel.

Domeinen

Wanneer we autorijden moet de auto op hoge snelheid alle oneffenheden en klappen kunnen opvangen die worden veroorzaakt doordat een weg niet helemaal vlak is. Ideaal gesproken zal een weg mooi vlak en gelijkmatig zijn; in werkelijkheid is dat natuurlijk niet zo. Daarom is de auto via een schokdemper-systeem verbonden met de wielen die het contact met de weg maken. Dit schokdemper-systeem zorgt ervoor dat ernstige oneffenheden niet zullen resulteren in een 'harde klap' voor de automobilist. Het schokdemper-systeem veert mee met de oneffenheid en zorgt er daarna voor dat de auto snel weer stabiel wordt, dus niet lang blijft nabewegen. Deze techniek noemt men demping.

Demping is een techniek die ook in de elektrotechniek gebruikt wordt; zeer snelle signaalveranderingen kunnen ongewenst zijn en moeten daarom gedempt worden. Het is algemeen bekend dat een mechanisch massa-veer-demper systeem op precies dezelfde wijze beschreven kan worden als een RLC-circuit in de elektrotechniek. In het mechanische domein hebben we te maken met krachten, snelheden, en verplaatsing; in het elektrische domein hebben we te maken met elektrische spanning, stroom, en lading.

Deze analogie gaat voor meerdere domeinen op. We kunnen dus een systeem bedenken dat hetzelfde type wiskundige beschrijvingen (modellen) maakt voor verschillende domeinen. Men kan onderscheid maken tussen de volgende domeinen:

• mechanisch (translatie- en rotatie-domein)
• elektrisch
• hydraulisch
• akoestisch
• thermodynamisch

Basiselementen

Om de verschillende basiselementen van het beschrijvende systeem vast te stellen kijken we naar de grootheden die in de verschillende domeinen van toepassing zijn. In het mechanische domein kennen we natuurlijk kracht, snelheid, versnelling, en verplaatsing. Daarnaast kunnen we in dit domein onderscheid maken tussen rechtlijnige en draaiende bewegingen. In het elektrische domein kennen we elektische spanning, stroom, vermogen, lading etc... In het thermodynamische domein hebben we warmte, temperatuur, druk, volume, etc...

De eerste stap in het vinden van de analogie is het vaststellen van de zogenaamde effort e(t) en de flow f(t). Een effort duidt een soort kracht aan en een flow een soort stromende grootheid; beiden zijn gedefinieerd als functie van de tijd. Voor het mechanische domein zal een effort e(t) een kracht voorstellen. In het elektrische domein staat de effort e(t) voor een elektrische spanning. Een mechanische flow f(t) beschrijft een snelheid en een elektrische flow f(t) een stroom.

Daarnaast kennen we de verschillende eigenschappen van systemen die we in de natuur tegenkomen: een elektrische weerstand verbruikt stroom en geeft warmte af (=dissipatie). Een mechanische weerstand levert een soort wrijving tegen beweging en geeft ook warmte af. Bepaalde grootheden kunnen ook worden opgeslagen: een elektrische capaciteit slaat lading op. Deze lading wordt opgeslagen als men een stroom aan een capaciteit toevoert. In het mechanische domein zien we hetzelfde fenomeen: wanneer een mechanische veer wordt ingedrukt, zal deze verplaatsing worden omgezet in energie. De veer die ingedrukt is, heeft een soort potentiele energie: de veer wil weer in de oorspronkelijke stand terugkomen en drukt met elastische kracht terug.

Een massa slaat bewegingsenergie op. Wanneer een hele zware vrachtwagen of een zwaar vrachtschip eenmaal beweegt, is er heel veel energie nodig om deze beweging weer af te remmen (de bewegingsenergie is dus als het ware opgeslagen door de massa). In het elektrische domein kennen we eenzelfde fenomeen: een spoel die wordt toegevoerd met een elektrische stroom. De stroom zal een magnetisch veld (magnetische flux) veroorzaken die als het ware opgeslagen blijft; de magnetische energie wordt vastgehouden.

De dissipatie-eigenschap noemt men weerstand, de opslag van een stromende grootheid een capaciteit, en de opslag van bewegingenergie of magnetische energie een inertie. Zodoende komen we tot de volgende tabel waarin voor de verschillende domeinen de efforts, flows, en weerstand/capaciteit/inertie te zien zijn:

domein	effort	flow	weerstand	capaciteit	inertie
elektrisch	spanning	stroom	weerstand	condensator	spoel
mechanisch	kracht	snelheid	demper/wrijving	veer	massa
hydraulisch	druk	volumesnelheid	hydr. weerstand	hydr. reservoir	hydr. inertie
thermodynamisch	temperatuur	entropiestroom	-	-	-

Bondgraaf

Stel we willen het hiernaast afgebeelde elektrische schemaatje omzetten naar een soort algemeen wiskundig model. We zouden met zo'n soort beschrijving het equivalent van dit schema kunnen vinden in een ander domein, bijvoorbeeld in het mechanische domein. Om dit te kunnen doen stellen we alle efforts e(t) en flows i(t) vast, en vervolgens alle wiskundige relatie's die het gedrag van het syteem beschrijven. Vervolgens kan men via een grafisch model eenvoudig de samenhang tussen efforts, flows, weerstanden, capaciteiten, en inerties weergeven. Zo'n grafische voorstelling noemt men een bondgraaf.
Het equivalent in het mechanische domein vinden we dan door de efforts, flows, weerstanden, capaciteiten, en inerties van het mechanische domein in te vullen. We zullen dan dus een krachtbron met een massa-veer-demper systeem vinden.
Eens kijken:

• spanningsbron : e(t) = U(t)
• weerstand Ur(t) = i(t) * R, of i(t) = U(t) / R
• capaciteit i(t) = C * dU(t)/dt
• spoel i(t) = 1/L ∫ U(t)dt

We zien in het schema dat de stroom i(t) door elk van de componenten gelijk is. Hiervoor kan een speciale bondgraaf gebruikt worden, de zogenaamde 1-junctie. Voor de 1-junctie geldt dat alle verbonden componenten een gelijke flow f(t) (in dit geval een elektrische stroom i(t)) delen.

De domein-onafhankelijke beschrijving is nu klaar. Het is een zeer eenvoudig model met allemaal ideale componenten. Wat is nu het mechanische equivalent?
Voor de effort e(t) zal een krachtbron gebruikt worden, en voor de andere componenten een demper, veer, en een massa. We weten dat de flow f(t) in elke component gelijk is. Een flow in het mechanische domein stelt een snelheid voor of de afgeleide van de verplaatsing (v = dx/dt). Zowel de demper als de veer en massa zullen met dezelfde snelheid bewegen. Voor een mechanische demper mogen we de wrijving van het systeem met de omgeving rekenen. Zodoende komen we uit op een krachtbron die een massa-veer systeem in beweging zet. Laten we voor deze krachtbron de zwaartekracht Fz nemen. In de figuur hiernaast is afgebeeld dat de verplaatsing dx gemeten kan worden door een meetlat naast het systeem op te stellen.

Stel we houden de massa vast terwijl de veer niet uitgerekt is; daarna laten we de massa los. De zwaartekracht zal de massa naar beneden doen bewegen. Een vallend voorwerp slaat bewegingsenergie op omdat het massa heeft (inertie). De massa valt naar beneden en de veer zal worden uitgerekt. Wanneer de veer ver uitgerekt wordt, zal de veer de massa terug willen trekken; de beweging naar beneden heeft elastische energie in de veer opgeslagen. Het gevolg is dat de massa op zeker moment het laagste punt bereikt heeft, en daarna door de veer weer omhooggetrokken zal worden. Dit is een beweging omhoog, wat betekent dat de massa opnieuw deze bewegingsenergie gaat opslaan. De zwaartekracht blijft echter de massa continu naar omlaag trekken. Op zeker moment zal de beweging naar omhoog stoppen, en de massa zal weer opnieuw naar omlaag vallen. Dit proces zal zich herhalen totdat het hele systeem uitgeveerd is. Tijdens het op en neer bewegen ondervindt het systeem ook wrijving (bijvoorbeeld met de omringende lucht); dit is gemodelleerd door de mechanische weerstand.

oplossen met Laplace

Wat kunnen we met dit model? We zouden het gedrag van het massa-veer systeem in de tijd kunnen bekijken door de hierboven beschreven vering eens uit te schrijven met wiskundige formules. We stellen dan dat vanaf zeker moment (t=0) de massa losgelaten wordt; een andere manier om dit te beschrijven is stellen dat de krachtbron (zwaartekracht) vanaf t=0 continu aan de massa trekt met constante kracht.
De Laplace-methode stelt ons in staat om gedrag dat als een functie van de tijd f(t) beschreven wordt, om te zetten naar een andere functie met een complexe variabele. De complexe variabele s is een complex getal, dat wil zeggen s bestaat uit een reeel gedeelte (a) en een imaginair gedeelte (b):

• s = a + j * b

Veel voorkomende/gebruikte wiskundige functies kunnen omgezet worden via een Laplace-transformatie. Eenmaal omgezet, kan men eenvoudig het gedrag van een bepaald systeem als gevolg van ingangsfuncties bepalen. Als ingangsfunctie gebruiken we hier de krachtbron die vanaf t=0 aan de massa trekt met constante kracht. De Laplace beschrijving voor zo'n stapfunctie is 1/s.

We kunnen voorhet gehele systeem alle Laplace functies opstellen:

• zwaartekracht : F(t) = Fz (stap) ---> F(s) = Fz * 1/s
• weerstand : v(t) = F(t) / R ---> v(s) = F(s) / R
• capaciteit : v(t) = C * dF(t)/dt ---> v(s) = C * s * F(s)
• massa : v(t) = 1/m * ∫ F(t)dt ---> v(s) = 1/m * 1/s * F(s)

Deze 4 vergelijkingen kunnen worden herschreven als een differentiaalvergelijking met een zekere oplossing. De oplossing zal weer een Laplace-functie zijn; vervolgens kan deze Laplace-functie weer worden omgeschreven naar het tijd-domein. We krijgen dan als oplossing het gedrag van het systeem als functie van de tijd g(t). Deze oplossing is hiernaast afgebeeld. Het is eigenlijk precies wat we hebben voorspeld; zodra op t=0 de zwaartekracht werkzaam wordt (stapfunctie Fz) zal de uitwijking van het massa-veer systeem in het begin groot zijn. De massa en veer bewegen flink op en neer, en langzamerhand 'dempt' het systeem zichzelf. De uitwijkingen worden steeds kleiner en uiteindelijk nul.
Wanneer we in dit model parameters gaan veranderen ('tweaken') kunnen we invloed uitoefenen op het gedrag van het systeem. Dus door de juiste waarden voor R, C, en m te vinden, kunnen we een massa-veer systeem ontwerpen dat de ideale dempingsmethode voor ons uitvoert.

Lees verder

• Differentiaalvergelijkingen en Laplace
• Complexe getallen
• Elektrische capaciteit