Differentiaalvergelijkingen en Laplace

Veel verschijnselen in de natuurkunde en elektrotechniek worden beschreven met differentiaalvergelijkingen. Dit zijn vergelijkingen die als uitkomst een functie hebben. De spanning over een capaciteit die wordt opgeladen via een weerstand met een constante ingangspanning, hangt af van de mate waarin deze al opgeladen is. Dit soort gedrag wordt beschreven met een differentiaalvergelijking. Met de Laplace-methode kan men eenvoudig dit soort vergelijkingen oplossen.

Differentiaalvergelijking

Stel willen weten hoe een mechanische veer zich gedraagt (in een zekere tijdsperiode) wanneer we de veer gaan blootstellen aan een kracht. De wet van Hooke stelt dat de kracht die men uitoefent op de veer en de uitrekking van de veer recht evenredig zijn. UItgedrukt in een formule ziet dat er zo uit:


In deze vergelijking staat F voor kracht (Newton), x voor de uitrekking (meter), en c voor de constante die het lineaire verband aangeeft tussen deze 2 grootheden. Met deze uitdrukking weten we altijd de grootte van de uitrekking (in meters) als de waarde van de kracht F op de veer bekend is. Wanneer op een veer direct een zekere kracht werkt die altijd bekend is, weten we ook alijd de grootte van de uitrekking.

Meestal is een veer echter opgehangen in een mechanische constructie en verbonden met voorwerpen die een massa bezitten en/of een zekere wrijving met de omgeving hebben. Vaak weten we alleen de grootte van een kracht die op een zeker punt inwerkt op het systeem. Het gedrag van de veer en het gehele systeem wordt nu afhankelijk van de tijd of voorgeschiedenis van het systeem. Wanneer een kracht inwerkt op het systeem en de veer is net uitgerekt of ingedrukt, zal de uitrekking zich anders gedragen dan wanneer de veer vanuit de begintoestand onuitgerekt/niet ingedrukt was.

Een veer slaat elastische energie op; dat wil zeggen wanneer een veer uitgerekt of ingedrukt is, de mechanische eigenschap van de veer ervoor zorgt dat de veer 'terugduwt' met een zekere kracht om weer in de originele toestand terug te keren. Om dit (tijdsafhankelijke gedrag) te kunnen beschrijven gaan we bovenstaande vergelijking een beetje omschrijven:
F / x = c, oftewel
F = c * x, nu gaan we differentieren
d/dt F = c * dx / dt

De uitdrukking dx/dt is niets anders dan de uitrekking per tijdseenheid, ofttewel de snelheid v(t).


Nu hebben we een vergelijking gevonden die beschrijft: de afgeleide van de kracht (als functie van de tijd) is recht evenredig met de snelheid van de uitrekking. Dit is een differentiaalvergeljiking.

Differentiaalvergelijkingen oplossen

De grap van een differentiaalvergelijking is dat de oplossing van zo'n vergelijking een functie is. Een differentiaalvergelijking heeft meestal de volgende vorm:


Hierin staat f(x) voor een zekere functie en f '(x) voor de afgeleide van deze functie. De termen f ''(x ) en f '''(x) staan respectievelijk voor de tweede en derde afgeleide van deze functie. Voor de afgeleide van f(x) schrijft men ook wel f '(x) of d/dx f(x). De hoogste afgeleide die in de vergelijking voorkomt bepaalt de orde van de differentiaalvergelijking. Het geval hierboven is dus een 3e orde differentiaalvergelijking.

Differentiaalvergelijkingen zijn niet altijd zomaar eenvoudig op te lossen. Daarom heeft men een methode bedacht die het oplossen vergemakkelijkt: de methode van Laplace. Deze methode zet een functie die bijvoorbeeld als variabele x of t heeft, om naar een andere functie met een complexe variabele s. De complexe variabele s is een complex getal, dat wil zeggen s bestaat uit een reeel gedeelte (a) en een imaginair gedeelte (b):

s = a + j * b

Veel voorkomende/gebruikte wiskundige functies kunnen omgezet worden via deze zogenaamde Laplace-transformatie. Eenmaal omgezet, kan men eenvoudig oplossingen vinden door eerst de oplossing in het s-domein te bepalen en vervolgens de uitkomstfunctie Y(s) om te zetten naar het oorspronkelijke domein; we krijgen dan weer een functie y(x) of y(t).

Enkele veel voorkomende Laplace-transformaties zijn:

functie f(t)	Laplace-functie F(s)
stapfunctie a(t) [ f(t) = a, vanaf t=0 ]	a/s
afgeleide functie d/dt f(t)	s F(s)
integraal functie ∫ f(t) dt	1/s F(s)
a*t	a/s²
exp(at)	1/(s-a)
exp(-at)	1/(s+a)
sin(at)	a/(s²+a²)
cos(at)	s/(s²+a²)

Via wiskundige methodes zoals breuksplitsen, de Taylor-reeks, en algemene wiskundige eigenschappen van Laplace-functies kunnen we veel vergelijkingen omzetten naar functies die geconstrueerd zijn uit bovenstaande standaardfuncties. Het is daarna vrij eenvoudig om de omzetting naar het domein van de oorspronkelijke variabele weer te doen. De oplossing van het systeem wordt uitgedrukt in het domein van de tijd t of plaats x.

Voorbeeld

Stel de mechanische veer uit het begin van dit artikel wordt ingedrukt met een constante kracht. We willen graag weten hoe de uitrekking van de veer zich gedraagt als functie van de tijd. De veer zit vast aan de grond en heeft ook wat wrijving met de omringende lucht of andere mechanische onderdelen. We weten dat het totale systeem uit 2 onderdelen bestaat: de veer die elastische energie kan opslaan en de wrijving die het systeem heeft met de omgeving.
Voor de veer zal gelden: d/dt F(t) = c * v(t).
Voor de wrijving geldt: F(t) / v(t) = w.

We mogen aannemen dat de snelheid van de veer-uitrekking gelijk is aan de snelheid waarmee de wrijving langs de omgeving beweegt (deze onderdelen zijn namelijk dezelfde). De uitdrukking w stelt de wrijving voor.

Wanneer we vanaf zeker moment (bijvoorbeeld t = 0 seconden) een constante kracht gaan uitoefenen, kunnen we dit opvatten als een stapfunctie:
Fa(t) = Fa , vanaf t = 0.

We gaan het hele zaakje omschrijven naar Laplace:

• veer ---------------- s * Fv(s) = c * v(s)
• wrijving ----------- Fw(s) / v(s) = w
• krachtbron ------- F(s) = Fa / s

We stellen nu dat de kracht afkomstig van de krachtbron zich verdeelt over de veer enerzijds, en de wrijvingsdelen anderszijds. Dan geldt:
Fa / s = Fv(s) + Fw(s) (1)

Nu gaan we toewerken naar een beschrijving in het Laplace-domein voor de kracht op de veer Fv(s).
s * Fv(s) = c * v(s), dus v(s) = s * Fv(s) / c (2)
Fw(s) / v(s) = w, dus v(s) = Fw(s) / w (3)
(2) en (3) aan elkaar gelijkstellen levert:
Fw(s) / w = s * Fv(s) / c
vanwege (1) kunnen we alles uitdrukken in Fv(s):
Fa / s = Fv(s) + Fw(s) (1), dus
Fw(s) = Fa / s - Fv(s), dus
[ (Fa / s) - Fv(s) ] / w = s * Fv(s) / v , omschrijven levert:
Fv (s) = Fa / (s * (1 + s * w/c))

Nu hebben we wat we zochten: een volledige uitdrukking in het s-domein voor de kracht Fv(s) op de veer. We kunnen door een techniek -genaamd breuksplitsen- deze uitdruking zodanig omschrijven dat het een som wordt van een aantal standaard Laplace-uitdrukkingen.

We gaan een uitdrukking zoeken voor:
Y(s) = A1 / s + A2 / (1 + s * w/c)
We kunnen A1 en A2 zodanig bepalen dat A1 / s + A2 / (1 + s * w/c) = Fa / (s * (1 + s * w/c))

Hiervoor halen we de volgende truc uit:
A1 = 1 / (1 + s * w/c), voor s=0
A2 = 1 / s, voor s = -c/w

Je kunt dit narekenen, het klopt.
A1 = 1 / (1 + s * w/c) Ι [s=0] = 1
A2 = 1 / s Ι [s = -c/w] = -w/c

Uiteindelijk vinden we dan:
Y(s) = Fv(s) = Fa * [ 1 / s + (-w/c) / (1 + s * w/c) ] = Fa * [ 1 / s - 1 / (s + c/w) ]

Eventjes kijken in de tabel hierboven levert de transformatie naar het tijddomein:


In de figuur hiernaast zijn zowel de stapfunctie Fa(t) als de kracht op de veer y(t) te zien. De stapfunctie Fa(t) stelt de krachtbron voor die vanaf zeker tijdstip (in dit geval vanaf t = 0,2, deze verschuiving is verder niet van belang in dit artikel) met constante kracht werkzaam is. De functie y(t) laat zien hoe de elastische kracht van de veer zich gedraagt. Vanaf het moment dat de kracht de veer indrukt, stijgt de opgeslagen kracht eerst snel en na enige tijd nadert het met steeds minder toename de waarde van de krachtbron Fa.

We waren eigenlijk geinteresseerd in de uitrekking als functie van de tijd. We weten dat voor de uitrekking geldt:
F / x = c, of x(t) = F(t) / c = y(t) / c

De uitrekking (of indrukking in dit geval) van de veer heeft dezelfde gedaante als y(t); het verschilt alleen in waarde met een factor 1/c. Het indrukken of de verplaatsing van de veer zal dus aanvankelijk snel gaan, de veer is makkelijk in te drukken vanuit de begintoestand. Daarna wordt de toename van de indrukking steeds minder. Dit is logisch want de veer 'duwt terug', omdat het elastische energie opslaat. Hoe verder de veer ingedrukt is, des te meer energie opgeslagen zal zijn, en des te harder de tegenwerking.

Een speciaal moment is in de figuur aangeduid door de stippellijn. Wanneer t = w/c zal de e-macht exp(- t * c/w) precies gelijk zijn aan exp(-1) = 1/e = 0,369. De factor ( 1 - exp(- t * c/w) ) is dan precies gelijk aan 0,63, oftewel de veerkracht heeft 63% bereikt van de waarde van de constante kracht Fa. De waarde van (c/w) legt vast wanneer dit punt bereikt wordt. We kunnen ook stellen dat het gedrag van het veersysteem door deze 2 parameters wordt bepaald.

Lees verder

• Modellen in de natuurkunde
• Elektrische capaciteit
• Complexe getallen