InfoNu.nl > Wetenschap > Techniek > Hoe reken je het M-k diagram voor een betondoorsnede uit?

Hoe reken je het M-k diagram voor een betondoorsnede uit?

Hoe reken je het M-k diagram voor een betondoorsnede uit? Voor staal kan vrij rechtlijnig worden bepaald hoeveel een doorsnede doorbuigt, echter voor een betondoorsnede is dat een ander verhaal. Er is namelijk sprake van een vervormingsomstandigheid afhankelijk van de combinatie van beton met betonstaal. Daarnaast treedt met de tijd eveneens kruip op. Hoe verhoudt het moment en de k-waarde voor vervorming zich bij een vloer en hoe kun je de M-k diagram zelf bepalen?

M-k diagram uitrekenen


Bepaling van kw en kI (vervormingsfactoren)

De mate van doorbuiging van een betondoorsnede wordt bepaald door de mate van wapening en hoe lang belasting op een constructie staat. Om de invloed daarvan te bepalen dienen de vervormingsfactoren kw en kI te worden bepaald. Afhankelijk van het wapeningspercentage kan er worden geïnterpoleerd. Voor de langdurige belasting is kruip afhankelijk van de volgende factoren:

Kruipcoëfficiënt φ;max
Betonkwaliteitdroge luchtbuitenluchtzeer vochtigin waterE’bf;bm
C253,62,72,01,428.5002,3
C353,22,41,81,231.0002,8
C452,82,11,51,133.5003,3

Tijdsspanne
De grootte van de elasticiteitsmodulus wordt afhankelijk gesteld van de tijdspanne, waaronder de doorsnede wordt belast:
  • E’b∞ = E’b/(1+3/4*φ;max) = 28.500/(1+3/4*3,6) = 7.702 N/mm2;
  • n;lang = 200.000/7.702 = 26, n;kort = 200.000/28.500 = 7.

Bij een kleine tijdsspanne heeft n een relatief kleine waarde, waarbij de invloed van de wapening op het kwadratisch oppervlak van de betondoorsnede minder is. Op basis van de kort en langdurige belasting kunnen de volgende kruipfactoren worden bepaald (kw=kI=1 bij n=0):
  • w’0 = 0% met kw = 1,37 bij n =15 en kI = 1,78 bij n=70;
  • w’0 = 1% met kw = 1,54 bij n=15 en kI = 2,46 bij n=70.

Tussen voorgaande waarden kan worden geïnterpoleerd. Wordt er een wapeningspercentage van w0 = 0,3 toegepast dan geldt voor de langdurige belasting n*w0 = 26*0,3 = 7,8 waarbij geldt:
  • kw = [(1,54-1,37)*0,3+1,37-1]*7,8/15+1 = 1,21;
  • kI = [(2,46-1,78)*0,3+1,78-1]*7,8/70+1 = 1,10.

Voor de kortdurende belasting geldt n*w0 = 7*0,3 = 2,1 en dat resulteert in:
  • kw = [(1,54-1,37)*0,3+1,37-1]*2,1/15+1 = 1,06;
  • kI = [(2,46-1,78)*0,3+1,78-1]*2,1/70+1 = 1,03.

Mate van direct optredende elastische vervorming

Stel je voor dat er sprake is van een vloer dik 280 mm, gemaakt van C25 beton en FeB500 wapeningsstaal, dan geldt:
  • kh = 1,6 – 0,28 = 1,32;
  • fbr = kh * f;bm = 1,32*2,3;
  • M;rt(lang) = 1,2 * f;br * W * kw;lang = 1,2 * kh * f;bm * (1/6*b*h^2) * kw = 1,2*1,32*2,3*1/6*1000*280^2*1,21 = 57,6 kNm;
  • EI∞ = E’b∞*kI*I = 7.702*1,10*(1/12*1000*280^3) = 15,5*10^12 Nmm2 = 15.500 kNm2;
  • k;rt = M;rt/EI∞ = 57,6/15.500 = 3,71*10^(-3) m^(-1);
  • M;r(kort) = 1,4 * f;br * W * kw;kort = 1,4*1,32*2,3*1/6*1000*280^2*1,06 = 55,5 kNm;
  • EI;0 = 28.500*1,03*(1/12*1000*280^3) = 53,0*10^12 Nmm2 = 53.700 kNm2;
  • kr = Mr/EI;0 = 55,5/53.700 = 1,03*10^(-3) m^(-1).

Uiterste vervorming en spanning kort- vs langdurig

Langdurige belasting op de uiterste vervorming voor betonstaal geldt het volgende:
Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nlBron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
  • 1/2*b*x^2 = n * (d-x) * w0 * b * d / 100 bij d = 280-30 = 250 geldt;
  • 1/2*1000*x^2 = 26 * (250 – x) * 0,3 * 1000 * 250 / 100 = 19.500*(250-x);
  • 500*x^2 + 19.500 * x – 4.875.000;
  • x = [ -19.500 + √(4*500*4.875.000)]/(2*500) = 79 mm (hoogte drukzone).

Maximale vervorming
Uitgaande van een maximale vervorming van het betonstaal Es = 2,5‰ is de betonvervorming E’b = 2,5‰*79/(250-79) = 1,15‰<0,72*f’ck/7702 = 0,72*25/7702 = 2,34‰. De maximale inwendige vervorming wordt niet behaald waardoor:
  • M;et;kort = As*fs;rep*(d-1/3*x) = 0,3*1000*250/100*500*(250-1/3*79) = 83,9 kNm;
  • k;et = 2,5*10^(-3) / (250-79) = 14,6*10^(-3) m^(-1).

Korte belasting
Bij kortdurende belasting geldt echter het volgende:
  • 1/2*1000*x^2 = 7 * (250 – x) * 0,3 * 1000 * 250 / 100 = 5.250*(250-x);
  • 500*x^2 + 5.250 * x – 1.312.500 = 0;
  • x = [ -5.250 + √(4*500*1.312.500)]/(2*500) = 46 mm;
  • E’b = 2,5‰*46/(250-46) = 0,56‰<2,34‰;
  • Me = 750*500*(250-1/3*46) = 88 kNm;
  • ke = 2,5*10^(-3) / (250-46) = 12,2 * 10^(-3) m^(-1).

Uittekenen M-k diagram

Door het uitzetten van voorgaande momenten gerelateerd aan de vervormingscoëfficiënten k ontstaat de getekende grafiek. Indien de vloerdoorsnede 280 mm dik met 0,3% wapening vol wordt belast dan kan op basis van de bijbehorende k-waarden worden voorspelt hoeveel de vloer gaat doorbuigen. Daarbij kan onderscheid worden gemaakt tussen kruip, direct optredende, bijkomende en uiteindelijke doorbuiging.

Lees verder

© 2013 - 2017 Geinformeerd, het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Druksterkte van beton: hoeveel kan beton aan druk opnemen?Druksterkte van beton: hoeveel kan beton aan druk opnemen?Beton is een mengsel van zand, stenen en cement, waarmee in verharde vorm een hoge druksterkte wordt behaald. Het materi…
Hoeveel wapening (wapeningspercentage) mag er in beton?Hoeveel wapening (wapeningspercentage) mag er in beton?Beton is een handig materiaal, waarmee hoge sterktes kunnen worden behaald. Dit geldt echter als het beton onder druk st…
Hoe wordt drukwapening berekend?Hoe wordt drukwapening berekend?Drukwapening is een aanvullende wapening op de standaard toegepaste trekwapening. Het wordt toegepast indien de normale…
Noodzaak controle scheurvorming betonNoodzaak controle scheurvorming betonHeeft men de benodigde wapening bepaald bij een betonconstructie om belasting op te kunnen nemen, dan dient de mate van…
Visgraat diagram (fishbone/ishikawa diagram)In ieder bedrijf gebeurt het. Er doet zich een kwaliteitsprobleem voor in de productie en de oorzaak is na een eerste an…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: http://geinformeerd.infoteur.nl
  • Constructief ontwerpen in beton; Vis en Sagel; Stichting BetonPrisma; ’s-Hertogenbosch; 3e-druk; 1995
  • Afbeelding bron 1: http://geinformeerd.infoteur.nl

Reageer op het artikel "Hoe reken je het M-k diagram voor een betondoorsnede uit?"

Plaats een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Reactie

Eduard, 23-03-2016 23:43 #1
In grafiek kw zijn er 3 lijnen:w'o=0,w'o=1/2 wo en w'o=wo om de kw waarde af te lezen. Hoe moet je weten op welke lijnen je dat moeten aflezen?

Infoteur: Geinformeerd
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Techniek
Special: Beton uitrekenen
Bronnen en referenties: 3
Reacties: 1
Schrijf mee!