Transformatoren, de spanningstransformator

Transformatorhuisjes zijn een bekend verschijnsel in het Nederlandse landschap. Via ons hoogspanningsnet wordt elektrische energie geschikt gemaakt om in onze huishoudens en bedrijven te gebruiken. Spanningstransformatoren transformeren de hoogspanning omlaag; dit gebeurt net zo vaak totdat de spanning gelijk is aan 230 Volt. In energiecentrales gebeurt het omgekeerde: opgewekte energie wordt omhoog getransformeerd om het geschikt te maken voor transport.

Hoogspanningsnet

Ons hoogspanningsnet transporteert elektrische energie op een zodanige wijze, dat er zo min mogelijk energie verloren gaat voordat het bij de bestemming (huishoudens, bedrijven, fabrieken, etc...) in gebruik genomen wordt. Dit doet men door de spanning omhoog te transformeren middels spanningstransformatoren. Voor een spanningstranformator geldt de wet van behoud van energie; dit betekent dat het vermogen dat men aan de transformator toevoert gelijk zal zijn aan het vermogen dat de transformator levert (inclusief verliezen die worden omgezet in warmte). Grof gezegd: spanning maal stroom aan de inputzijde is gelijk aan spanning maal stroom aan de outputzijde + verliezen.


Wanneer we gemakshalve de verliezen gelijk stellen aan nul, betekent dit dat (Uout / Uin) = (Iin / I out). Dus spanning omhoog transformeren houdt meteen in dat de stroom omlaag getransformeerd wordt. Dit is gunstig voor de transport van energie: voor de verliezen die in lange hoogspanningskabels optreden kunnen we schrijven P = I² * R. Om verliezen beperkt te houden moeten we dus de stroom I en de weerstand R laag houden.

Spanningstranformatoren transformeren dus aan de productiezijde (energiecentrales) de opgewekte spanning omhoog en aan de consumptiezijde (huishoudens, bedrijven) naar omlaag. Dit proces vindt stapsgewijs plaats; hoogspanningtransport kan plaatsvinden bij spanningen van 220 of 380 kiloVolt, het middenspanningsnet voert 10 tot 50 kiloVolt; huishoudens gebruiken 230 Volt.

Transformator

Een transformator werkt met wisselspanningen. De 4 differentiaalvergelijkingen van Maxwell geven het verband weer tussen spanningen, stromen, elektrische velden, en magnetische velden. In een spanningstransformator willen we graag een verhouding creeren tussen spanningen in 2 circuits die elektrisch van elkaar gescheiden zijn. Dit noemt men ook wel de overzetverhouding : ozv = (Uout / Uin).
We weten dat wanneer we een stroomdraad als een spoel wikkelen, we een magnetisch veld op kunnen wekken. De grootte van dit magneetveld hangt direct af van de grootte van de stroom; de richting van het magneetveld is loodrecht op de draairichting van de spoeldraad. Wanneer we voor dit magneetveld een soort opslagplaats kunnen maken, is het mogelijk om op een andere plaats dit veld weer te gebruiken om een spanning te genereren. Een dergelijke constructie is afgebeeld in de figuur hiernaast. De transformatorkern is een metalen constructie die het magneetveld tijdelijk 'behoudt'; het magneetveld in de figuur wordt opgewekt door de stroom in de primaire wikkeling en de richting is ongeveer gelijk aan de contouren van de transformatorkern.

Het product van een magneetveld door een zeker oppervlak noemt men ook wel flux Φ.

Φ = ∫∫ B en dS

De letter B staat voor het magneetveld (het streepje eronder betekent dat dit een vector is: een magneetveld heeft een grootte en een richting); de letter S staat voor het oppervlak S, de vector en staat voor 'loodrecht op' oppervlak S. Een veranderende flux door het oppervlak dat een spoel omsluit, levert een inductiespanning Ui op (de wet van Lenz):


De secundaire wikkeling die ook in spoelvorm om de transformatorkern gewikkeld is, zal een inductiespanning genereren. We leggen immers een wisselspanning (die een wisselstroom oplevert) aan op de primaire kern. De wisselstroom genereert de veranderende flux, hetgeen een inductiespanning in zowel de primaire als secundaire wikkeling oplevert. Aan secundaire kant levert dit een spanning op die een functie is van de ingangspanning.

Door de elektrische weerstand van de wikkelingen (primair en secundair) zal een gedeelte van de elektrische energie verloren gaan in warmte. Ook de transformatorkern, meestal gemaakt van ijzer, levert verliezen op: de magnetische energie wordt opgeslagen in het jizer, maar een gedeelte daarvan gaat verloren door warmte-ontwikkeling. Wanneer men de overzetverhouding van een spanningstransformator wil bepalen, moet men dus rekening houden met deze verliezen. In het ideale geval zal de overzetverhouding precies gelijk zijn aan de verhouding tussen het aantal primaire en secundaire wikkelingen. In de praktijk valt deze verhouding altijd lager uit, als gevolg van bovengenoemde verliezen. Door extra wikkelingen aan te brengen en het juiste materiaal te gebruiken, kan men altijd op de gewenste overzetverhouding uitkomen wanneer men een transformator ontwerpt.

Daarnaast is de overzetverhouding (die in de praktijk gemeten wordt) afhankelijk van de mate waarin een transformator belast wordt aan de secundaire kant. Dit houdt in: moet de secundaire spanning van de transformator veel of juist weinig stroom moet leveren? Men zorgt er in de praktijk voor dat een transformator altijd in juiste belastingsgebied werkzaam is.

Vervangschema met Thevenin

Bij het ontwerp van een transformator kunnen we een model maken van het gedrag; bovengenoemde verliezen vanwege weerstand en magnetiseerbaarheid worden dan via wiskundige beschrijving toegevoegd aan het standaardmodel voor een transformator. Een spanningstransformator (of 'trafo') kan worden opgevat als een spanningbron; de output zal immers de spanning Uout = ozv * Uin leveren. Het model waar we uiteindelijk op uit willen komen is een spanningsbron met in serie aangesloten een weerstand. Deze weerstand modelleert de verliezen die gaan optreden: zodra de spanningsbron met weerstand wordt aangesloten zal er een stroom gaan lopen, die als gevolg van U = I * R tot een spanningsverlies over de weerstand zal leiden. Om tot een dergelijk model te komen gebruikt men de stelling(en) van Thevenin.

Laten we eens kijken hoe we een model van de spanningstrafo kunnen maken. In de afbeelding hierboven is schematisch een transformator getekend. In de primaire spoel wordt een magneetveld opgewekt. Volgens de differentiaalvegelijking van Maxwell hangt dit magneetveld af van de grootte van de primaire stroom i1:

B = μ * H = μ * N1* i1 / (2πr)

Hierin staan i1 en N1 voor de primaire stroom en het aantal primaire wikkelingen van de spoel. De magnetiseerbaarheid van het materiaal wat zich binnen het oppervlak -omsloten door de spoel- bevindt is aangeduid door de factor μ, en het oppervlak omsloten door de spoel is 2πr. Dit B-veld zal vanwege de eigenschappen van de ijzeren trafo-kern 'rondlopen' via de contouren van het ijzer (zie afbeelding). Hoe wordt het veld belast? Dit is eenvoudig in te zien: door het ijzer ontstaat flux Φij en door spoel 2 (de secundaire spoel) loopt flux Φ2.
We kunnen nu een elektrisch vervangschema maken; dit is in het plaatje hiernaast afgebeeld. We nemen aan dat de draad in de 2 spoelen ook een elektrische weerstand heeft; daarvoor schrijven we R1 en R2. We zien dus dat de ingangspanning U1 zich via een impedantie-netwerkje verdeelt, en uitgangspanning U2 oplevert. Voor de impedantie van een spoel gebruiken we de complexe variabele s (en Laplace) : Z = sL; bij de impedantie aan secundaire zijde corrigeren we voor de spanningsdeling (dit levert (sL2 + R2)' ). Zowel in R1, R2, als in Zij (de impedantie van de ijzerkern) treden verliezen door warmte-ontwikkeling op.
We willen naar een beschrijving van Thevenin; daarvoor stellen we dat U2 een spanningsbron is, waarvoor geldt:

U2 = U1 * (impedantie-netwerkje) = U1 * ( (Zij / [Zij + (sL1 + R1)] )

Wanneer we vanaf de belastingzijde (Zb) gaan kijken hoeveel de interne weerstand van dit netwerk bedraagt, vinden we:

Ri = (Zij // (sL1+R1)) + (sL2 + R2)'.

Uiterst rechts in het plaatje is het Thevenin-vervangschema afgebeeld. We zien hier dat de trafo uiteindelijk niets anders is dan een spanningsbron met een interne weerstand Ri. Hoe de trafo zich gedraagt hangt uiteindelijk ook af van de belasting Zb die aangesloten zal zijn aan secundaire zijde. Een hoge belasting (lage impedantie Zb) zal veel stroom trekken, dit betekent dat de invloed van de verliezen over Ri meer gaan tellen. Een lage belasting trekt minder stroom, en houdt een relatief kleinere invloed van Ri in.

Lees verder

• Elektromagnetisme: Maxwell magnetisch veld
• Differentiaalvergelijkingen en Laplace
• Spanning meten AC en DC