Vierkantsvergelijkingen en hoe ze op te lossen

Een vierkantsvergelijking is in de wiskunde een vergelijking in de van de vorm ax^2+bx+c=0. Hierbij zijn a,b en c constante getallen, waarbij a geen nul is. Het oplossen van vierkantsvergelijkingen is erg nuttig als het gaat om rekenen met kwadratische functies, bijvoorbeeld om de nulpunten van een functie op te lossen. Een handig techniek hievoor is de ABC-formule (en de daarbij horende discriminant).

De oplosmethode

Een vierkantsvergelijking van de vorm ax^2 + bx + c = 0 kan opgelost worden met de volgende stappen:

(1) Onderzoek of de vierkantsvergelijking ax^2 + bx + c = 0 gemakkelijk kan worden ontbonden in factoren(waarbij a=1)

(1a) (x+d)(x+e) = 0, waarbij d + e = b en d*e = c
(1b) (x + d) = 0 of (x + e) = 0
x = -d of x = -e

(2) Lukt het niet op deze manier, dan kan de ABC-formule van pas komen. Hiervoor is het handig eerst de discriminant te berekenen:

(2a) D = b^2 - 4ac. Voor D>0 zijn er twee reële oplossingen voor de vierkantsvergelijking.
Voor D=0 is er precies 1 reële oplossing.
Voor D<0 zijn er geen reële oplossingen.

(2b) De oplossingen zijn nu te vinden door de ABC-formule toe te passen:

x = (-b + √D)/2a of x = (-b - √D)/2a

Twee voorbeelden

(1) x^2 + x - 2
Ontbinden in factoren geeft: (x-1)(x+2) = 0 → x - 1 = 0 of x + 2 = 0 → x = 1 of x = -2

(2) 3x^2 + 8x - 2

D=8^2 - 4 * 3 * -2 = 64 + 24 = 88 → 2 oplossingen

X=(-8 + √88)/(2*3)=0,23 of x=(-8 - √ 88)(2*3)=-2,90

Complexe oplossingen

Naast reële oplossingen kunnen vierkantsvergelijkingen ook complexe oplossingen hebben. Deze doen zich voor als de discriminant (D) kleiner is dan 0. De oplossingen hebben dan de vorm a ± bi , waarbij a en b reële getallen zijn en i de imaginaire eenheid, zodat i^2 = - 1. De oplossingen a + bi en a - bi zijn elkaars complex geconjugeerde.

Twee voorbeelden

(1) x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 = 0 → x + 1 = ± i → x = -1 ± i

(2) x^2 + 3x + 9 = 0

Met de ABC-formule:

x = (-3 ± (9 - 36)^0,5)/2 = -1.5 ± 2.5i © 2007 - 2009 Krohndehli, gepubliceerd in Wiskunde (Wetenschap) op 01-11-2007, laatst gewijzigd op 20-01-2009. Het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van Krohndehli is vermenigvuldiging van dit artikel verboden. Meer...

Verwante artikelen

• TI-Basic: Programma voor vierkantsvergelijking en uitbreiden: Wat is een vierkantsvergelijking? Als leerling zal je het wel geweten hebben. Je kan heel makkelijk een programma maken op je rekenmachine om de…
• Kwadratische vergelijkingen oplossen: Er zijn vier verschillende kwadratische vergelijkingen op te lossen. Het is daarom altijd belangrijk om eerst te kijken welke soort het is voordat je hem probeert op te…
• Vergelijkingen oplossen(2): kwadratische vergelijkingen: In het tweede deel van deze serie gaan we kwadratische vergelijkingen oplossen. De kwadratische vergelijking is een stuk lastiger dan de lineaire verg…
• Stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen: Een stelsel van lineaire vergelijkingen bestaat uit meerdere vergelijkingen en heeft meerdere onbekenden. We bespreken hier twee methoden om een stelsel van lin…
• Vergelijkingen oplossen (3): exponentiële vergelijkingen: In dit deel zullen we verschillende soorten exponentiële vergelijkingen bespreken en oplossen. Exponentiële vergelijkingen hebben veel praktische toe…