Vierkantsvergelijkingen en hoe ze op te lossen

Een vierkantsvergelijking is in de wiskunde een vergelijking in de van de vorm ax^2+bx+c=0. Hierbij zijn a,b en c constante getallen, waarbij a geen nul is. Het oplossen van vierkantsvergelijkingen is erg nuttig als het gaat om rekenen met kwadratische functies, bijvoorbeeld om de nulpunten van een functie op te lossen. Een handig techniek hievoor is de ABC-formule (en de daarbij horende discriminant).

De oplosmethode

Een vierkantsvergelijking van de vorm ax^2 + bx + c = 0 kan opgelost worden met de volgende stappen:

(1) Onderzoek of de vierkantsvergelijking ax^2 + bx + c = 0 gemakkelijk kan worden ontbonden in factoren(waarbij a=1)

(1a) (x+d)(x+e) = 0, waarbij d + e = b en d*e = c
(1b) (x + d) = 0 of (x + e) = 0
x = -d of x = -e

(2) Lukt het niet op deze manier, dan kan de ABC-formule van pas komen. Hiervoor is het handig eerst de discriminant te berekenen:

(2a) D = b^2 - 4ac. Voor D>0 zijn er twee reële oplossingen voor de vierkantsvergelijking.
Voor D=0 is er precies 1 reële oplossing.
Voor D<0 zijn er geen reële oplossingen.

(2b) De oplossingen zijn nu te vinden door de ABC-formule toe te passen:

x = (-b + √D)/2a of x = (-b - √D)/2a

Twee voorbeelden

(1) x^2 + x - 2
Ontbinden in factoren geeft: (x-1)(x+2) = 0 → x - 1 = 0 of x + 2 = 0 → x = 1 of x = -2

(2) 3x^2 + 8x - 2

D=8^2 - 4 * 3 * -2 = 64 + 24 = 88 → 2 oplossingen

X=(-8 + √88)/(2*3)=0,23 of x=(-8 - √ 88)(2*3)=-2,90

Complexe oplossingen

Naast reële oplossingen kunnen vierkantsvergelijkingen ook complexe oplossingen hebben. Deze doen zich voor als de discriminant (D) kleiner is dan 0. De oplossingen hebben dan de vorm a ± bi , waarbij a en b reële getallen zijn en i de imaginaire eenheid, zodat i^2 = - 1. De oplossingen a + bi en a - bi zijn elkaars complex geconjugeerde.

Twee voorbeelden

(1) x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 = 0 → x + 1 = ± i → x = -1 ± i

(2) x^2 + 3x + 9 = 0

Met de ABC-formule:

x = (-3 ± (9 - 36)^0,5)/2 = -1.5 ± 2.5i