De booglengte van een kromme bepalen met Pythagoras

Voor een kromme lijn valt uit een formule lastig op te maken hoe lang bepaalde lijndelen zijn. Om dat te kunnen bepalen kan via differentiatie gecombineerd met integreren de lengte worden berekend. Hoe kun je voor bepaalde gekromde lijnen over een afstand de booglengte bepalen en hoe zet je daartoe Pythagoras handig in?

Booglengte uitrekenen met Pythagoras

• Oplossing middels Stelling van Pythagoras
• Voorbeeld oplossingen booglengte
• Aanvullend voorbeeld

Oplossing middels Stelling van Pythagoras

De afstand over een bepaalde kromming wordt standaard bepaald door de lijn in kleine rechte deeltjes op te snijden en daarvan een rechte lijn te maken. Dat is uiteraard veel werk. Middels de stelling van Pythagoras kan snel uitkomst worden gevonden aangezien deze stelling van zowel de x als y waarde gebruik maakt. Daarbij geldt dat z = √(x^2+y^2) = √(Δx^2+Δ^2) en dat kan worden herschreven als z = √(1+Δy^2/Δx^2) en z = √(1+Δx^2/Δy^2). Deze verhouding geeft eveneens een grafische weergave van de lengte van een lijndeel. Door alle opgetelde delen te nemen en de lengte van de deeltjes oneindig klein te maken kan het oppervlak van de lengte worden verkregen door s = ∫√(1+(Δy/Δx)^2) dx. De oplossing van de integraal vertegenwoordigt de lengte van die kromme over het interval. Let wel door het differentiëren vervallen losstaande getallen omdat er puur naar de richtingscoëfficiënt (rc-waarde) van de x of y wordt gekeken en niet naar de hoogte of ligging van de grafiek.

Voorbeeld oplossingen booglengte

Hoe gaat dit nu in zijn werk? Stel je voor er is sprake van een y = 1/9*x*√x + 6 = 1/9*x^(3/2) + 6. Dan geldt voor de booglengte over (0-3) dat dy/dx = 1/9*3/2*x^(3/2-2/2) (6 vervalt) = 3/18*x^(1/2) = 1/6*x^(1/2). Oftewel:

• s = ∫√1+(1/6*x^(1/2))^2) dx = ∫√1+1/36*x dx = 1/6*∫√36+x dx;
• stel u = 36+x -> du = dx -> x=0 tot 3 wordt u = 36 tot 39;
• s = 1/6*∫√ u^(1/2) du = 1/6*2/3* u^(3/2) = 1/9*(39^(3/2)-36^(3/2)) = 3,06 (Suggereert over x=3 een zeer vlak liggende lijn).

Stel je voor er is sprake van y = 2/3*x^(3/2):

• dx/dy = 3/2*2/3*x(3/2-2/2) = √x;
• s = ∫√1+(√x)^2 dy = √∫(1+x) dx;
• stel u = 1+x dan geldt:
• s = ∫ u^(1/2) du = 2/3*u^(3/2) = 2/3*(1+x)^3/2;
• over (0-3) bedraagt s = 2/3*((3+1)^(3/2)-(1+0)^(3/2)) = 4,67 (Sneller stijgende kromming).

Aanvullend voorbeeld

Bekijken we de gebruikte functies binnen artikel “Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen” dan resulteert het in het volgende. Er is sprake van twee lijnen zijnde y=3*x en y=1/2*x^2+3.
De booglengte voor de rechte lijn y=3*x tussen de snijpunten kan op twee manieren worden bepaald. Enerzijds kan het rechtlijnig worden bepaald, maar het kan ook middels booglengte-bepaling worden berekend:

• dx/dy = 3;
• s = ∫√(1+3^2) dx = x*√10 over 3-√3 tot 3+√3 geldt -> 2*√3*√10 = 10,95.

De booglengte voor y=1/2*x^2+3 over de snijpunten met y=3*x wordt als volgt bepaald:

• dy/dx = x;
• s = ∫√(1+x^2) dx
• over 3-√3 tot 3+√3 geldt = (3+√3)/2*√((3+√3)^2+1)+1/2*ln(3+√3+√((3+√3)^2+1) - (3-√3)/2*√((3-√3)^2+1)+1/2*ln(3-√3+√((3-√3)^2+1) = 12,57 – 1,55 = 11,02.

Ondanks dat de ene lijn ietsjes langer is over het interval kan er reeds een aardig oppervlak zijn ingesloten.

Lees verder

• Herleiden zwaartepunt rechthoek, driehoek, halve cirkel
• Bepalen zwaartepunt complexe figuren: statisch moment
• Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen