Statistiek - Binomiaal Toets

Met de binomiaaltoets kun je berekenen wat de kans is op een bepaalde uitkomst. Daarbij kun je uitgaan van een bepaald aantal successen of een cumulatieve kans, waarbij je kijkt naar de optelling van een aantal kansen. Welke formule hoort er bij de binomiaaltoets, hoe pas je deze toe en hoe interpreteer je de resultaten?

De theorie: wat doe met een binomiaaltoets?

Bij de binomiaaltoets bereken je een kans in procenten door middel van een formule. Dit percentage vergelijk je met de alfa. Als het percentage lager ligt dan de alfa, spreek je van een significant verschil. Dit betekent dat er meer aan de hand is dan toeval – bijvoorbeeld een gemanipuleerde dobbelsteen die alleen maar zessen blijft gooien.
Bij de binomiaaltoets kun je de kans van een precieze uitkomst berekenen, bijvoorbeeld ‘drie keer een 2 gooien met een dobbelsteen bij tien keer gooien’. Dit schrijf je als P(k=3). Hier staat de P voor ‘de kans in procenten’ en de k voor ‘aantal successen’. Als je meerdere kansen optelt, spreek je van een cumulatieve kans. Dit is het geval als je P(k=3) plus P(k=4) doet, maar kan ook zo zijn bij P(k>4). Bij deze laatste geef je aan dat je de cumulatieve kans gaat berekenen van ‘vijf of meer keer een 2 gooien met een dobbelsteen bij x aantal keer gooien’.

De formule

De formule van de binomiaaltoets ziet er als volgt uit:


Het getal wat je hier uitkrijgt vermenigvuldig je met 100%. Dit is de kans op P(k=x), waarbij x een willekeurig getal is.

Een uitroepteken wordt faculteit genoemd. Dit betekent bij bijvoorbeeld 3! dat je het volgende doet: 3x2x1. Bij 4! doe je 4x3x2x1, enzovoort. Er geldt een wiskundige afspraak dat 1! en 0! allebei 1 zijn.

Linker en rechter overschrijdingskans

Net zoals bij alle toetsen (bijvoorbeeld de chi-kwadraat toets voor verdelingen, de chi-kwadraat toets voor samenhang, t-toets variant 1, 2 en 3) kent de binomiaaltoets ook linker en rechter overschrijdingskansen. De linker overschrijdingskans is de kans op k is minder en/of gelijk aan x (waarbij x een willekeurig getal is). De rechter overschrijdingskans is de kans op k is meer en/of gelijk aan x. Hieronder wordt dit in wiskundige notaties aangegeven.

Linker overschrijdingskans

Rechter overschrijdingskans

In de tabel

Naast handmatig uitrekenen wat de kans op een bepaald aantal successen is, kun je deze ook opzoeken in een tabel. In de tabel van de binomiale verdeling staan de cumulatieve kansen bij een bepaalde n, k en kans. De kansen op k is gelijk aan of minder dan x kun je direct vinden in de tabel (linker overschrijdingskans). Als je k is minder dan x wil weten, kijk je bij x-1. Bij de rechter overschrijdingskans kijk je bij het omgekeerde en haal je dit af van 100%. Hieronder is dit een voorbeelden uitgewerkt bij verschillende hypotheses.

Interpretatie van de getallen

Zoals eerder vermeld, vergelijk je het gevonden percentage met de alfa. Is de gevonden percentage lager dan de alfa, dan is het significant. Je kunt dan concluderen dat er meer aan de hand is dan toeval, bijvoorbeeld dat iemand beter is in een spelletje of dat de dobbelsteen gemanipuleerd is.

Een voorbeeld

Een onderzoeker wil weten of er geknoeid is met een munt; hij denkt dat de kop vaker voorkomt dan normaal zou moeten. Daarvoor test hij de munt 20 keer. Daarvan gooit hij 15 keer een kop.

Stap 1: De waarden
In dit voorbeeld wordt er 20 keer gegooid met de dobbelsteen, dus n=20. Daarvan wordt 18 keer een succes (kop gooien). De k is dus 15. De kans dat je met een normale munt kop gooit is 1/2.

Stap 2: Hypothese
Normaal zou je verwachten dat er 1/2 * 20 = 10 keer kop zou gooien. Aangezien we nu 15 keer kop gooien, is de extremere waarde 15 keer of meer kop gooien. Daarom is de hypothese P(k is meer of gelijk aan 15). Dit is dus de rechter overschrijdingskans.

Stap 3: Tabel
Om te weten wat de kans is op 15 keer kop gooien kijken we naar de tabel. Aangezien de tabel alleen de linker overschrijdingskansen betreft, neem je de kans op 14 keer of minder. Hierbij hoort een kans van 97,93%. Dit trekken we af van 100%. De kans op 15 keer of meer kop gooien is dus 100% - 97,93% = 2,07%.

Stap 4: Interpretatie
Als we een alfa van 5% nemen, valt te zien dat 2,07% daaronder ligt. Daarom kan geconcludeerd worden dat hier meer aan de hand is dan toeval. Mogelijk is de munt gemanipuleerd waardoor er vaker kop dan munt wordt gegooid.

Lees verder

• Statistiek – Kansberekening
• Statistiek – Permutaties, Variaties en Combinaties
• Statistiek: Chi-kwadraat toets
• Statistiek - Meetniveaus en statistiek