Geschiedenis van de wiskunde: Oude Egyptische Wiskunde

Een van de oudste bekende volken die met cijfers berekeningen konden maken waren de oude Egyptenaren. De oude Egyptenaren leefden zo’n 4000 jaar geleden, ongeveer tussen de rond 2400-600 v Chr. Deze oude Egyptenaren konden al optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en andere basis berekeningen doen. Ze konden ook oppervlaktes en inhouden berekenen, zelfs van cirkels. We weten dit van de oude Egyptenaren door bewaard gebleven papyrus rollen zoals de Berlijn-papyrus, de Moskou-papyrus, de Reisner-papyrus en de Rhind-papyrus.

De gevonden papyrus rollen

Er is niet veel bewaard gebleven van de oude Egyptische wiskunde. De Egyptenaren schreven op papyrusrollen, rollen gemaakt van papyrus. Papyrus is gemaakt van de papyrusplant, en is een vroege vorm van papier. Wanneer papyrus te nat wordt bewaard kan het gaan schimmelen en vergaan. Hierdoor zijn er niet veel documenten van papyrus bewaard gebleven.

Rhind-papyrus

In 1858 werd een papyrus rol gevonden in Thebe door de Schotse egyptoloog Alexander Henry Rhind. Deze papyrus rol zou zijn geschreven door de klerk Ahmose. Ahmose leefde van omstreeks 1680 voor Chr. tot omstreeks 1620 voor Chr. In Egypte. Er is verder niets over Ahmose bekend, Hij schrijft zelf in de rol dat hij gebruik maakt van een document wat 200 jaar eerder is geschreven.

In het document, wat een lengte heeft van 5,4 meter en 32 centimeter breed is, worden 87 wiskundige problemen beschreven. De wiskundige problemen zijn verschillend van aard. Een van de problemen beschrijft het verdelen van broden onder mensen. Een ander probleem wat wordt opgelost gaat over de oppervlakte van een driehoek. Ook wordt er een eerste schatting gevonden van het getal π, namelijk (16/9)² = 3,16049.

Moskou- papyrus

De Moskou papyrus is een papyrus rol die geschreven tussen 2150 en 1950 v.Chr. In deze rol, die ongeveer 5,5 meter lang tussen de 3,8 en 7,6 centimeter breed is, staan 25 wiskundige problemen met hun oplossingen beschreven. Een van de beschreven problemen gaat over de berekeningen van de inhoud van een halve bol. Een ander beschreven probleem gaat over de berekening van de inhoud van een afgeknotte piramide.

De getallen

De oude Egyptenaren gebruikten hiërogliefen om getallen uit te beelden. Elke hiëroglief beeld een macht van tien uit. Voor 1, 10, 100 etc. waren verschillende hiërogliefen bedacht. Om een meervoud van een macht van tien af te beelden werd de bijbehorende hiëroglief meerdere keren getekend. Om bijvoorbeeld 23 te schrijven werd twee maal de hiëroglief van 10 en 3 maal de hiëroglief van 1 geschreven. Er waren geen regels voor de richting waarop de cijfers werden geschreven. Ze mochten van links naar rechts, van boven naar beneden of andersom geschreven worden.

Optellen

Doordat een cijfer een opeenstapeling van hiërogliefen is, is het optellen van twee getalen niets anders dan het bij elkaar schuiven van de hiërogliefen van de twee bij elkaar op te tellen getallen. Daarna kunnen de hiërogliefen waar er meer dan 10 van getekend zijn veranderd worden in een hiëroglief behorende bij een hogere macht van tien.

Voorbeeld: bereken 236 + 381 = 617

Aftrekken

Het aftrekken bij de oude Egyptenaren was een bijzondere soort optelling. Als er twee getallen van elkaar afgetrokken worden werd er bij het af te trekken getal zoveel opgeteld totdat het eerste getal werd bereikt.

Voorbeeld: bereken 785 – 159
Begin met 159.

• Tel er 1 bij op om tot 160 te komen.
• Tel er 40 bij op om tot 200 te komen.
• Tel er 500 bij op om tot 700 te komen.
• Tel er 80 bij op om tot 780 te komen.
• Tel er 5 bij op om tot 785 te komen.

Het antwoord is dan: 1 + 40 + 500 + 80 + 5 = 626

Vermenigvuldigen

Bij een vermenigvuldiging werd gebruik gemaakt van verdubbelingen. Neem het kleinste getal van de vermenigvuldiging en gebruik dat om een tabel op te zetten met verdubbelingen van dat kleinste getal:

Aantal Uitkomst
1 geeft 1 x het kleinste getal
2 geeft 2 x het kleinste getal
4 geeft 4 x het kleinste getal
8 geeft 8 x het kleinste getal

• Zoek nu de uitkomst van het aantal dat nog net in het grootste getal van de vermenigvuldiging past.
• Trek de uitkomst van het grootste getal van de vermenigvuldiging af.
• Neem het resultaat van stap 2 als uitgangspunt zoek zoals in stap 1 het aantal wat nog net in dit resultaat past.
• Doe hetzelfde met de uitkomst van stap 3 als in stap 2
• Herhaal stappen 3 en 4 totdat geen verschil gevonden wordt.
• Tel de uitkomsten van de stappen bij elkaar op.

Voorbeeld: bereken 5 x 19.
Hierbij is 5 het kleinste getal en 19 het grootste getal. Er moet dus een verdubbelingstabel gemaakt worden voor het cijfer 5:

Aantal Uitkomst
1 geeft 5
2 geeft 10
4 geeft 20
8 geeft 40
16 geeft 80
32 geeft 160

• Kijk in de verdubbelingstabel. Het aantal 16 is kleiner dan 19, maar het aantal 32 is groter dan 19, dus noteer de uitkomst van 16
• Het verschil tussen 19 en 16 is 3.
• Kijk in de verdubbelingstabel. Het aantal 2 is kleiner dan 3, maar het aantal 4 is groter dan 3, dus noteer de uitkomst van 2.
• Het verschil tussen 3 en 2 is 1.
• Kijk in de verdubbelingstabel. Noteer de uitkomst bij het aantal 1 → 5

Het antwoord van de berekening 5 × 19 is: 80 + 10 + 5 = 95

Delen

Het delen gaat ongeveer op dezelfde manier als de vermenigvuldiging. De Egyptenaren ‘deelden’ niet het getal, maar vroegen zich af hoe vaak een getal in een ander getal past. Maak een verdubbelingstabel:

Aantal Uitkomst
1 geeft 1× de deler
2 geeft 2× de deler
4 geeft 4× de deler
8 geeft 8× de deler

• Bepaal nu de som van de teller wanneer alleen de uitkomsten uit de verdubbelingstabel gebruikt mogen worden.
• Tel alle uitkomsten die horen bij de gebruikte aantallen bij elkaar op en het antwoord van de deling is verkregen.

Voorbeeld: bereken 600 / 25

Aantal Uitkomst
1 geeft 25
2 geeft 50
4 geeft 100
8 geeft 200
16 geeft 400

600 is op te splitsen in 400 en 200.
De gevraagde uitkomst is daarom: 600 / 25 = 8 + 16 = 24

Lees verder

• Geschiedenis van de wiskunde: Babylonische Wiskunde
• Geschiedenis van de wiskunde: Klassieke Arabische Wiskunde