Een bijzondere fractal: de driehoek van Sierpinski

De Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski verrichte baanbrekend werk in de wiskunde, met name in de verzamelingenleer. Voor niet-wiskundigen spreken echter vooral de bijzondere fractalfiguren aan, die door herhaalde bewerkingen ontstaan. Een van de figuren die door Sierpinski is bedacht is de bekende driehoek van Sierpinski.

Waclaw Sierpinski

Sierpinski werd op 14 maart 1882 geboren in Warschau, de hoofdstad van Polen. Op zeventienjarige leeftijd schreef Sierpinski zich al in bij de Universiteit van Warschau, waar hij vier jaar wis- en natuurkunde studeerde. Nog tijdens deze studie schreef hij een prijswinnend essay over de getaltheorie. Na zijn afstuderen werkte Sierpinski aanvankelijk als leraar wis- en natuurkunde in Warschau, maar na sluiting van de school verhuisde hij naar Krakau, waar hij zijn promotieonderzoek verder voortzette. Naast wiskunde studeerde hij aan de Jagiellonische Universiteit in Krakou ook astronomie en filosofie. In 1908 behaalde hij zijn doctoraat. In 1907 kwam Sierpinski in de ban van de verzamelingenleer, een thema dat hem niet meer los zou laten. Na in de Eerste Wereldoorlog in Moskou gewerkt te hebben keerde hij in 1918 terug naar Polen, en werd in 1919 professor aan de Universiteit van Warschau. Sierpinski zou Warschau niet meer verlaten. Tot 76 jarige leeftijd bleef hij actief als professor, maar ook daarna gaf hij tot 1967 nog jaarlijks een seminar over getaltheorie. In 1969 overleed hij, op 87 jarige leeftijd.

Oevre

Sierpinski heeft in zijn leven een flinke hoeveelheid wetenschappelijke boeken en artikelen geproduceerd. Maar liefst 724 artikelen en 50 boeken zagen het levenslicht en hij was redacteur en hoofdredacteur van verschillende tijdschriften, uiteraard op wiskundig gebied, met name over de verzamelingenleer.

Een bijzondere driehoek

Eén van de ontdekkingen van Sierpinski is een bijzondere driehoek, die heel toepasselijk de wiskunde- en geschiedenisboekjes in is gegaan onder de naam Driehoek van Sierpinski. Deze driehoek is een figuur met bijzondere, zich herhalende eigenschappen. Dit soort figuren kun je een fractal noemen.

Wat is een fractal?

Een fractal (soms zie je de term fractaal) is een meetkundige figuur die is opgebouwd uit delen die ongeveer gelijkvormig zijn aan de figuur zelf, met motieven die zich tot in het oneindige kunnen herhalen. De term fractal, afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat gebroken betekent, is pas in 1975 geïntroduceerd door Benoît Mandelbrot. Dat wil niet zeggen dat het verschijnsel niet al eerder bekend was. Al op het eind van de negentiende eeuw waren wiskundigen diverse objecten op het spoor gekomen met fractale eigenschappen. Eén van hen was Waclaw Sierpinski, met o.a. de driehoek van Sierpinski, de Sierpinski-kromme en het tapijt (of: het vierkant) van Sierpinski.

De driehoek van Sierpinski

Je kunt de driehoek van Sierpinski op de volgende manier maken:

• De driehoek van Sierpinski begint met een gewone gelijkzijdige driehoek. In een dergelijke driehoek zijn de drie zijden dus even lang, en de hoeken die deze zijden met elkaar maken zijn even groot (60 graden).
• Neem dezelfde driehoek. Neem het midden van de drie zijden. De driehoek die tussen deze drie punten ontstaat halen we weg. Er blijven drie stukken over, die precies dezelfde vorm en eigenschappen hebben als de originele driehoek.
• We herhalen de vorige stap. Bij elk van de drie overgebleven driehoeken haal je de driehoek, die gevormd wordt tussen de drie middelpunten van de zijden, weg. Het resultaat is dat je in de hele figuur nu negen driehoekjes overhoudt, allemaal met dezelfde vorm als het origineel.
• Je kunt je voorstellen dat je deze stap nogmaals kunt herhalen. Je houdt elke keer een drie keer zo groot aantal kleinere driehoekjes over, met steeds dezelfde vorm als de oorspronkelijke driehoek. Elke nieuwe verdeling, elke nieuwe stap wordt in de wereld van de fractals ook wel iteratie genoemd.
  Vijf iteraties van de driehoek van Sierpinski / Bron: Publiek domein, Wikimedia Commons (PD)
• Het aantal herhalingen dat in principe mogelijk is, is oneindig. Je zult altijd de steeds kleinere, nieuw ontstane driehoekjes opnieuw kunnen aanpakken, en een driehoekje verwijderen dat gevormd wordt tussen de middelpunten van de zijden. Het aantal mogelijke iteraties is dus oneindig.

De oppervlakte

Hoewel duidelijk is dat de oorspronkelijke driehoek een waarneembare en meetbare oppervlakte heeft, is dat voor de uiteindelijke driehoek van Sierpinski anders. In elke nieuwe iteratie is de oppervlakte nog maar ¾ van zijn voorganger, je hebt immers steeds het ¼ deel weggehaald. Omdat een oneindig aantal iteraties mogelijk is, zal de oppervlakte uiteindelijk naar 0 gaan. Kortom, de oppervlakte van een Sierpinski-driehoek is 0.