De gulden snede en Fibonaci

Sectio aurea, proportio divina (Latijn) of de gulden snede, geeft een perfecte harmonieuze verhouding weer die veelvuldig en op de meest onverwachte momenten in onze belevingswereld aangetroffen wordt. Het is een verhouding die sinds de Oude Grieken, een bijzondere plaats heeft in de wiskunde. De Gulden Snede en de rij van Fibonacci zijn niet alleen wiskundig fascinerend, we zetten het even kort op en rij voor de niet wiskundigen onder ons.

Wat is?

Zo'n 800 jaar geleden ontdekte Fibonacci zijn beroemde rij. Het blijkt dat er vele, vaak verrassende, verbanden bestaan tussen de Gulden Snede en de rij van Fibonacci.

De gulden snede is dus de verhouding die een lijn of lengte deelt, op zo een manier in twee ongelijke delen, dat de verhouding van het kleine tot het grote deel dezelfde is als die van het grote deel tot het geheel. Om het simpel te houden 1/3.

Makkelijke formule

De som van twee zijden. . . . . . . . . . . . . . de langste zijde
------------------------------ = --------------------------
Langste zijde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de korste zijde

Om tot een gulden snede te komen van een rechthoek, dan neemt een korte zijden a en b, die overblijven na verwijdering van de 2/3 met name het vierkant, zodat deze gelijkvormig zijn met de oorspronkelijke rechthoek.

Een perfect voorbeeld van de Gulden snede een arm.

De hand (gemeten van middelvingertop tot polsaanzet) beslaat 1/3 van de onderarm, gemeten van de middelvingertop tot de elleboogoksel. Dat is een perfect voorbeeld van Gulden snede.

--------------------t--------------------t--------------------t

Biologie

Rond 1850 publiceert de Duitse filosoof Adolf Zeising zijn Neue Lehre von den Proporionen des menschlichen Körpers, waarin hij het menselijk lichaam tot in details volgens de gulden snede verdeeld ziet.

Zoek je gek

als je wilt kun je de gulden snede overal wel in zien.

Interessant

De gulden snede weet de mensheid al eeuwenlang te boeien.

Praktijkvoorbeelden

• De renaissancetuinen van André Le Nôtre zijn ingericht volgens de gulden snede.
Ook figuratieve beelden, van Paul
• Rodin en Paul Grégoire, voldoen aan de maatvoering van de gulden snede.
• Grieken het pentagram als een perfecte vorm zagen, en het aanbidden als heilig symbool.

Kleine feitjes over de Gulden Snede

• De verdeling tussen goede en slechte eigenschappen bij de hoofdpersonen in de sprookjes van Grimm is evenredig met de Gulden Snede.
• Het kruis van Christus was ontworpen volgens de Gulden Snede.
• In de boekdrukkunst wordt de bladspiege (lengte en breedte van een bladz.) bepaald door de verhouding tot de grootte van het bedrukte gedeelte (zetspiegel).Ook hier speelt de Gulden Snede dus een grote belangrijke rol.

Over Fibonacci zelf

• Vermoedelijk geboren rond 1175 na Chr- vermoedelijke sterfdatum ergens in 1250.
• Fibonacci is de bijnaam van Leonardo van Pisa. Hij is daar geboren en niet de enige bekende daar. Buiten Fibonacci is Pisa ook bekend om zijn scheve toren.
• Fibonacci (latijn) betekent letterlijk ‘zoon van Bonaccio’.
• Leonardo van Pisa alias Fibonaci, was een handelaar en wiskundige.
• Leonardo groeide op in Noord Afrika waar hij school liep.
• Later reisde vooral rondom de Middellandse zee. Hij kwam in contact met veel mensen en manieren om zijn geliefde wiskunde te beoefenen. Hij was geïntrigeerd door de Arabische Wetenschap.
• Ook was hij één van de eersten die het Hindu-Arabische getallen systeem, dat is gebaseerd op het nu nog steeds in voege zijnde tientallig stelsel: namelijk, O,1 2 3 4 5 6 7 8 9, naar Europa bracht.

Belangrijke wiskundige werken

• de "Liber Abaci" in 1202. Waarin hij onder andere de rij van fibonaci introduceert, die rij is een rij van cijfers, waarbij elk volgend cijfer de som is van de twee voorgaande,
• De rij van Fibonacci is een rij van getallen waarvan elk element gelijk is aan de som van de vorige twee: (0) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89…

'Liber Abaci' (uit 1202) herzien in 1928,

• 'Practica geometriae' (1220),
• 'Di minor guisa' over handelsrekenen en zijn commentaar op boek X van Euklides' Elementen (met een rekenkundige benadering van de irrationale getallen), zijn verloren gegaan.
• 'Liber Quadratorum' in 1225
• 'Flos' (uit 1225) en 'Liber quadratorum'.

Weetjes

• Tegenwoordig wordt het pentagram nog steeds gebruikt in modern-heidense religies, o.a. om zijn verband met de Gulden Snede.
• Fibonaci’s boeken zijn boeken de leerboeken waren voor rekenmeesters,landmeters en veel toekomstige wiskundigen.
• veel van zijn werk in de getallentheorie raakte in de vergetelheid en werd pas driehonderd jaar later weer ontdekt door Maurolico.
• Zijn letteraanduiding voor een algemeen getal (een coëfficiënt) werd pas weer in de tijd van Vieta ontdekt en verbeterd.

Waar komt de gulden snede voor en/of wordt ze gebruikt?

Op de meest onverwachte plaatsen

• Kunst
• Architectuur
• Muziek
• Literatuur en aanverwanten
• Boekdrukkunst
• Anatomie
• Natuur
• wiskunde

© 2006 - 2009 Salu, gepubliceerd in Wiskunde (Wetenschap) op 25-10-2006. Het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van Salu is vermenigvuldiging van dit artikel verboden. Meer...

Verwante artikelen

• Beleggen en Fibonacci: Fibonacci en de Gulden Snede. De verhoudingsgetallen van de Gulden Snede waren in de verre oudheid al bekend, terwijl Fibonacci leefde in de dertiende eeuw na Chr. Nu doet vooral wie g…
• De Heilige Geometrie: Over dit onderwerp valt erg veel te vertellen. Onze voorvaderen waren al bekend met de Heilige Geometrie. Volgens vele oude volkeren schuilt achter Geometrie het mysterie van de scheppi…
• Koers van de Antilliaanse gulden: De Antilliaanse gulden is de munteenheid van de Nederlandse Antillen. Deze munt geld als wettig betaalmiddel op de Bovenwindse eilanden. Dit artikel vertelt alles over de ge…
• Koers van de Surinaamse dollar: De Surinaamse dollar is de munteenheid van Suriname. De munt geldt als wettig betaalmiddel in de voormalige Nederlandse kolonie. Dit artikel vertelt alles over de geschiedenis…
• Omrekenen van euro naar guldens: Per 1 januari 2002 hebben wij de euro gekregen in plaats van de gulden. De eerste jaren daarna gingen wij Nederlanders alles omrekenen naar guldens.