Wiskunde snijpunten bepalen

Hoe bepaal je het snijpunt van twee wiskundige functies? Dit is een belangrijk vraagstuk in de wiskunde. De oplossing van een dergelijk vraagstuk wordt in dit artikel stapsgewijs behandeld. Eerst behandelen we het snijpunt tussen twee rechte lijnen. Twee rechte lijnen hebben precies een snijpunt. Daarna passen we hetzelfde vraagstuk toe op een rechte lijn en een parabool. Bij dit vraagstuk blijken er meerdere snijpunten mogelijk te zijn.

Rechte lijnen

Voor het bepalen van het snijpunt van twee rechte lijnen bekijken we eerst de functie die een rechte lijn beschrijft. Een dergelijke functie ziet er als volgt uit:
f(x) = ax + b

Men noemt dit ook wel een lineaire functie. De grafiek hiernaast beeldt de functie f(x) = 2x + 1 af. We kunnen ook stellen dat de y-coordinaat van de functie gelijk is aan: y = 2x + 1. Een van de kenmerken van een wiskundige functie is dat er voor elke x-coordinaat precies één y-coordinaat is. De grafiek snijdt de x-as in het punt P(-1/2,0) en de y-as in het punt Q(0,1).

Snijpunt van twee rechte lijnen

Om het snijpunt van de rechte lijnen te bepalen bekijken we de grafiek waarin deze twee lijnen zijn afgebeeld.
f(x) = 2x + 1
g(x) = 17 - 2x

Deze functies zullen elkaar snijden in precies één punt: het snijpunt. Waar bevindt zich dit punt? Om het antwoord op deze vraag te vinden kunnen we stellen:
+ de coordinaten van het snijpunt voldoen aan de functie f(x) en aan de functie g(x).
+ de y-coordinaat van snijpunt S voldoet aan zowel y = f(x) als y = g(x)
+ oftewel f(x) = g(x)

Om het snijpunt te vinden moeten we dus de volgende vergelijking oplossen:
2x + 1 = 17 - 2x. Oplossen levert: 4x = 16. Of: x = 16/4 = 4. De waarde x=4 invullen levert y=2*4+1=9. Het punt S(4,9) is het snijpunt van de twee functie's. Twee rechte lijnen hebben altijd precies één snijpunt, behalve wanneer de lijnen evenwijdig aan elkaar zijn. In dit laatste geval is de richtingscoefficiënt (rico) van beide lijnen gelijk.

Snijpunten van een rechte lijn en een parabool

We bekijken nu hetzelfde vraagstuk, maar dan voor een parabool en rechte lijn. Gegeven de functie's:
f(x) = 2x
g(x) = (x - 4)²

Waar bevindt zich het snijpunt van de twee functie's? Of zijn er meer snijpunten denkbaar? De grafiek hiernaast maakt het vraagstuk een stuk duidelijker. Het is eenvoudig in te zien dat deze twee functie's twee snijpunten hebben met elkaar. Welke punten zijn dat? We passen weer het gelijkstellen van de functie's toe: f(x) = g(x). Oftewel 2x = (x - 4)². Oplossen levert: x² -10x + 16 = 0. Via de abc-formule vinden we x=2 of x=8. De punten S1(2,4) en S2(8,16) zijn de gevraagde snijpunten. In dit geval vinden we dus twee snijpunten. Bekijken we de grafiek, dan kunnen we een gedachten-experiment uitvoeren. Wanneer de rico van de de rechte lijn (in ons geval rico=2) afneemt, zullen de snijpunten lager komen te liggen, en dichter bij elkaar. Wanneer de rico gelijk is aan nul, is er sprake van één snijpunt (namelijk S(4,0)). Is de rico negatief dan hebben de twee functie's geen enkel snijpunt.

Zie ook

Integreren en oppervlakte
Afgeleide en differentiëren
Grafieken en functie's