InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Wiskunde snijpunten bepalen

Wiskunde snijpunten bepalen

Wiskunde snijpunten bepalen Hoe bepaal je het snijpunt van twee wiskundige functies? Dit is een belangrijk vraagstuk in de wiskunde. De oplossing van deze vraag wordt hier stapsgewijs behandeld. Eerst behandelen we het snijpunt tussen twee rechte lijnen. Twee rechte lijnen hebben precies een snijpunt. Daarna passen we dezelfde vraag toe op een rechte lijn en een parabool. Bij dit vraagstuk blijken er meerdere snijpunten mogelijk te zijn.

Rechte lijnen

Voor het bepalen van het snijpunt van twee rechte lijnen bekijken we eerst de functie die een rechte lijn beschrijft. Een dergelijke functie ziet er als volgt uit:

  • f(x) = ax + b

Men noemt dit ook wel een lineaire functie; de grafiek hiernaast laat een voorbeeld zien:

  • f(x) = 2x + 1

deze lijn snijdt de x-as in het punt P(-1/2,0) en de y-as in het punt Q(0,1). De functie kan ook als de y-coördinaat worden geschreven:

  • y = 2x + 1

Snijpunt van twee rechte lijnen

Om het snijpunt van de rechte lijnen te bepalen bekijken we de grafiek waarin deze twee lijnen zijn afgebeeld.

  • f(x) = 2x + 1
  • g(x) = 17 - 2x

Deze functies zullen elkaar snijden in precies één punt: het snijpunt. Waar bevindt zich dit punt? Om het antwoord op deze vraag te vinden kunnen we stellen:
+ de coördinaten van het snijpunt S voldoen aan de functie f(x) en aan de functie g(x).
+ de y-coördinaat van snijpunt S voldoet aan zowel y = f(x) als y = g(x)
+ oftewel f(x) = g(x)

Om het snijpunt te vinden moeten we dus de volgende vergelijking oplossen:

  • 2x + 1 = 17 - 2x

Oplossen levert: 4x = 16. Of: x = 16/4 = 4. De waarde x=4 invullen levert y=2*4+1=9. Het punt S(4,9) is het snijpunt van de twee functie's. Twee rechte lijnen hebben altijd precies één snijpunt, behalve wanneer de lijnen evenwijdig aan elkaar zijn. In dit laatste geval is de richtingscoëfficiënt (rico) van beide lijnen gelijk.

Snijpunten van een rechte lijn en een parabool

grafisch
We bekijken nu hetzelfde vraagstuk, maar dan voor een parabool en rechte lijn. Gegeven de functie's:

  • f(x) = 2x
  • g(x) = (x - 4)²

Waar bevindt zich het snijpunt van de twee functie's? Of zijn er meer snijpunten denkbaar?
Het is eenvoudig in te zien -zie figuur- dat deze twee functie's twee snijpunten hebben met elkaar. Welke punten zijn dat? We passen weer het gelijkstellen van de functie's toe: f(x) = g(x) : 2x = (x - 4)².
Oplossen levert: x² -10x + 16 = 0. Via de abc-formule vinden we x=2 of x=8. De punten S1(2,4) en S2(8,16) zijn de gevraagde snijpunten. In dit geval vinden we dus twee snijpunten.

Gedachten-experiment:
Wanneer de rico van de de rechte lijn (in ons geval rico=2) afneemt, zullen de snijpunten lager komen te liggen, en dichter bij elkaar.
  • rico gelijk aan nul, er is sprake van één snijpunt (namelijk S(4,0))
  • rico negatief -bijvoorbeeld y(x) = -2x-, dan hebben de twee functie's geen enkel snijpunt.

abc formule
Het voorgaande maakt duidelijk hoe een tweedegraadsvergelijking (vierkantsvergelijking) moet worden opgelost. Voor g(x) = (x - 4)² kunnen we ook schrijven g(x) = x ² -8x +16. Een standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking is:

  • ax² + bx + c = 0

Deze vergelijking heeft 2 mogelijke oplossingen voor x, 1 mogelijke oplossing voor x, of geen oplossing mogelijk. De oplossing is:

x1,2 = (-b ± √ D ) / 2a

Het aantal oplossingen bepaalt men met de discriminant D.

  • D = b²- 4ac

  • (D>0) -- de vergelijking heeft 2 oplossingen (x1 en x2)
  • (D=0) -- één oplossing voor x
  • (D<0) -- geen oplossing.

De functie ax² + bx + c stelt een parabool voor. De vergelijking ax² + bx + c = 0 stelt voor: hoeveel snijpunten heeft de parabool met lijn y = 0?



GPS

Het bepalen van het snijpunt van van 3 bollen is de cruciale methode van navigatiesystemen om de plaats op aarde te bepalen. Een GPS systeem neemt continu het snijpunt(en) van 3 bollen te om uw positie op aarde te bepalen.

De afstand die een signaal afkomstig van een satelliet aflegt, kan men voorstellen als een bol, met de satelliet als middelpunt. De satelliet stuurt met dit signaal haar positiegegevens en de het tijdstip van verzenden mee.
Hiernaast is afgebeeld dat 2 bollen elkaar snijden in een cirkel. Deze cirkel kan het aardoppervlak doorsnijden maar ook over het aardoppervlak lopen.

Er is nog een derde bol nodig om een te bepalen op welk punt van de cirkel men zich bevindt. Een derde bol snijdt de andere twee in twee snijpunten, zie de tweede figuur. Een van de twee snijpunten kan niet op aarde liggen. Daarom gebruikt men rekenmethodes om dat snijpunt uit te sluiten. Deze informatie zou ook van een 4e satelliet kunnen komen.
Er blijft een snijpunt over, dat is uw positie op aarde. Dit systeem werkt niet zo gemakkelijk als het lijkt. De tijd op de plaats van satellieten ver van aarde verwijderd, verloopt sneller dan bij ons op aarde. De software die de berekeningen uitvoert moet corrigeren voor dit verschijnsel.

De vergelijking voor een bol (in rechthoekige coördinaten x, y, z) luidt:

  • (x - xa)² + (y - ya)² + (z - za)² = R²

waarbij (xa, ya, za) de coördinaten van het middelpunt A zijn en R de straal van de bol. Het stelsel vergelijkingen dat moet worden opgelost wordt dan:

  • (x - xa)² + (y - ya)² + (z - za)² = Ra ²
  • (x - xb)² + (y - yb)² + (z - zb)² = Rb ²
  • (x - xc)² + (y - yc)² + (z - zc)² = Rc ²

Voor 3 bollen met 3 middelpunten A, B, en C , met respectievelijk de stralen Ra, Rb, en Rc.

Het internationale systeem waarin de coördinatenstelsels op aarde en in het heelal vastgelegd zijn werkt niet met rechthoekige coördinaten (x, y, en z) maar met bolcoördinaten. Dit betekent dat coördinaten van een punt op een bol worden weergegeven door de straal R, en twee hoeken: een hoek θ ten opzichte van een noord-zuid as, en een hoek Φ ten opzichte van een west-oost as. Een punt A op een bol met straal Ra stelt men dan voor als:

  • (x, y , z) = (Ra sin (θa) cos (Φa), Ra sin (θa) sin (Φa), Ra cos (Φa))

Lees verder

© 2010 - 2014 Tronic, gepubliceerd in Wiskunde (Wetenschap) op . Het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Het gebruik van het menu ‘CALC’ op de TI-84Het gebruik van het menu ‘CALC’ op de TI-84De TI-84 is een veelgebruikt hulpmiddel bij Wiskunde, Scheikunde, Economie- en Natuurkundelessen op de middelbare school…
Moderne Wiskunde - samenvatting H3Moderne Wiskunde - samenvatting H3Dit is een handig artikel over een aantal zeer belangrijke deelonderwerpen van wiskunde. Aan bod komen bijvoorbeeld mach…
Hoe bereken je machtsfuncties?Wat zijn machtfuncties? Machtfuncties zijn functies in de wiskunde die bekend worden geacht voor het centraal eindexamen…
Hoe bereken je randpunten en asymptotenRandpunten en asymptoten worden bijna altijd samen toegepast iin de wiskunde. Het berekenen van beide zijn ook een verei…
Kwadratische vergelijkingen oplossenEr zijn vier verschillende kwadratische vergelijkingen op te lossen. Het is daarom altijd belangrijk om eerst te kijken…

Reageer op het artikel "Wiskunde snijpunten bepalen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Infoteur: Tronic
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Schrijf mee!