Binaire coderingen

In de digitale wereld rekent men met enen en nullen; het zogenaamde binaire talstelsel. Dit talstelsel heeft het grondgetal twee. Hiermee verwant is het hexadecimale stelsel, met grondgetal 16. Er zijn verschillende coderingen mogelijk. In de diigtale techniek wil men ook met negatieve getalllen en cijfers achter de komma werken. Dit artikel behandelt naast de meest gebruikelijke code, de BCD code, de two's complement notatie, en de floating point notatie.

Getalrepresentatie's

De meest gebruikelijke manier om een getal te representeren is door het getal uit te drukken in machten van het grondgetal. Stel het grondgetal is g, dan:

getal = z (g)^n + y (g)^n-1 + ........ + d (g)³ + c (g)² + b (g)¹ + a (g)º

De cijfers (of digits) a, b, c, ....z die gebruikt mogen woren zijn allen lager dan g.
Zo zal in ons gebruikelijke tientallige stelsel (of decimale stelsel) het getal 457 het volgende betekenen:

457 = 400 + 50 + 7 = 4 (10)² + 5 (10)¹ + 7(10)º

In het binaire talstelsel gebruikt men het getal 2 als grondgetal. Men kan slechts de digits '0' en '1` gebruiken:

13 = 8 + 4 + 1 = 1 (2)³ + 1 (2)² + 0 (2)¹ + 1 (2)º, dus binair genoteerd als: 1101

Het hexadecimale stelsel gebruikt 16 als grondgetal. De te gebruiken digits zijn 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,A, B, C, D, E, en F. A heeft hier de decimale waarde van 10 en F 15:

277 = 1(16)² + 1(16)¹ + 5(16)º, dus hexadecimaal genoteerd als: 115
31 = 1(16)¹ + F(16)º, dus hexadecimaal genoteerd als: 1F

Voorbeelden

Decimaal	Binair	Hexadecimaal
0	0000	00
1	0001	01
7	0111	07
8	1000	08
15	1111	0F
16	10000	10
31	11111	1F
32	100000	20
63	111111	3F
64	1000000	40

BCD code

BCD staat voor Binary Code Decimal; deze code vertaalt twee decimale digits 'rechtstreeks' naar twee binaire getallen. Voor het getal 15 schrijft men bijvoorbeeld:
1 ---> 0001
5 ---> 0101
15 = 0001 0101
De 'gewone' binaire notatie noemt men ook wel straight binary.

Decimaal	Straight Binary	BCD
1	0001	0000 0001
13	1101	0001 0011
25	00011001	0010 0101

Two's Complement

De two's complement notatie wordt gebruikt om negatieve getallen weer te geven. De twee meest gebruikte operatie's in hardware zijn optellen en vermenigvuldigen. Dit dient natuurlijk ook mogelijk te zijn voor negatieve getallen. Daarom gebruikt men een handigheidje: een negatief getal geeft men weer door alle bits om te keren en er '1' bij op te tellen. Negatieve getallen hebben daardoor als hoogste bit altijd een '1'.
Stel we hebben 4 bits ter beschikking. We kunnen normaliter daarmee de getallen 0, 1, ...., 15 aangeven. De postieve getallen die we kunnen representeren zijn dan 0, 1, ..., 7; binair 0000, 0001, ...., 0111. In de two's complement notatie geeft men het getal -1 weer als (omkeren(0001) + 1) = (1110 + 1) = 1111. We kunnen nu de som -1 + 1 = 0 uitvoeren:

1111
0001 +
------
0000

Voor een digitale opteller ziet dit eruit als een gewone optelling. De uitkomst is nul, omdat men niet verder dan 1111 kan tellen wanneer er 4 bits gebruikt worden. Ook andere sommatie's gaan goed; -5 + 3 = -2:

1011
0011 +
------
1110

Decimaal	7	.....	1	0	-1	-2	....	-8
Two's complement	0111	.....	0001	0000	1111	1110	....	1000

Floating point

De floating point notatie wordt gebruikt om niet-gehele getallen aan te geven. Men noemt het ook wel zwevende komma. De notatie werkt met de volgende uitdrukking:

N = m r ª

met
N = floating point getal
m = mantisse
r = radix (grondgetal)
ª = exponent

Het floating point getal wordt binair genoteerd als: [m,r,ª]
Een flaoting point getal heeft een eindige precissie; het aantal cijfers achter de komma wordt beperkt door het aantal bits dat men tot de beschikking heeft. Als voorbeeld nemen we het getal √2. Ronden we √2 af tot vier cijfers achter de komma dan is dit getal gelijk aan 1,4142. Het getal 1,4142 is te schrijven als macht van 10:

1,4142 = 14142 x 10 E-4

We kiezen dus 14142 als mantisse, 10 als grondgetal, en -4 als exponent. Voor de mantisse gebruiken we 16 bits, voor radix en exponent allebei 4. De floating point notatie van het getal 1,4142 wordt dan:

0011011100111110 1010 1100

Vaak gebruikt men nog een extra bit om het teken van het getal aan te geven, het zogenaamde sign-bit.