Wiskunde PO model van Gompertz

Onderzoek over het groeimodel van Gompertz. Dit ondezoek is in vijf atheneum gemaakt door 2 leerlingen. Het onderzoek is goedgekeurd. De plaatjes van Excel zitten er niet bij.

De eigenschappen van het model van Gompertz onderzoeken

Maak een spreadsheet bij het model van Gompertz.

Je kunt nu een aantal onderzoeken doen:

• 1. Afhankelijk van de gekozen waarden van de parameters krijg je soms grafieken die sterk op de S-curve van de logistische groei lijken. Soms krijg je veel "rechthoekiger" grafieken. Hoe zit dit?
• 2. Stel dat op een bepaald moment de helft van de populatie verdwijnt (afsterft). Vergelijk het resultaat bij Logistische groei met dat bij het model van Gompertz.

1. We gaan een standaard grafiek van het model van Gompertz maken in Excel. Dan gaan we de parameters veranderen en gaan we onderzoeken wanneer een grafiek een bepaalde vorm heeft en hoe dat komt.

Het Gompertz Model
Hier zie je een standaard grafiek van het Gompertz model. Als parameters hebben we hier start a=1, b=0,9 en start P=10 gekozen. Dat betekend dus dat de beginpopulatie 10 is. In het Excel bestand heb je vier kolommen, Tijd, P, delta P en A.

Tijd	P	Delta P	a
0	10	10	1
1	20	18	0,9
2	38	30,78	0,81
3	68,78 50,14062	0,729
4	118,9206	78,02382	0,6561
5	196,9444	116,2937	0,59049

Hier hebben we een stukje gekopieerd van de kolommen. De Delta P, het verschil in populatie, heb je nodig om de populatie van het volgende jaar te berekenen. De populatie van het nieuwe jaar, bijvoorbeeld 2, is de Delta P plus de P van jaar 1. En zo kan Excel dat allemaal uitrekenen.
De Delta P bereken je door middel van een formule, namelijk: δ;P=P(n)*a(n)

Dus Delta P is de populatie van dat jaar keer de groeifactor van dat jaar. De groeifactor van dat jaar, a dus, bereken je door de groeifactor a van het vorige jaar keer b te doen, in dit geval 0,9. Daarom zie je in de kolom ook bij tijd=1 a=0,9 staan, want je doet daar 1 (start a) keer 0,9 (b), dus 0,9. Het volgende jaar reken je a uit door 0,9 keer 0,9 te doen, dus a van Tijd=1 keer b. En zo kun je alle waarden voor a uitrekenen.

Nu kun je alle parameters gaan veranderen en kijken wat er gebeurd, maar door logisch na te denken kom je ook al een heel eind.
Als eerste parameter b, deze moet altijd < 1 zijn, anders neemt de groeifactor a niet af en krijgen we geen model van Gompertz.

Parameter start a kan alle waarden aannemen behalve 0, want als start a 0 is veranderd de groeifactor nooit, en is er geen groei, en dus geen model van Gompertz. Immers, om de groeifactor te berekenen doe je a keer b, en als a 0 is, komt er altijd 0 uit. Dan krijg je zo’n tabel:

Tijd	P	Delta P	a
0	10	0	0
1	10	0	0
2	10	0	0
3	10	0	0
4	10	0	0
5	10	0	0

De populatie veranderd niet, delta p veranderd niet en a ook niet. Dat de populatie niet veranderd komt omdat delta P niet veranderd, en dat delta P niet veranderd komt doordat a niet veranderd, immers delta P reken je uit door middel van de eerder genoemde formule P(n)*a(n). Als a 0 is, wordt delta P ook 0 dus. A blijft de hele tijd 0 omdat wat b ook is, als a als beginwaarde 0 heeft, er nooit een ander getal voor a uitkomt, de formule waarmee je uitrekent is zoals eerder genoemd a van vorig jaar keer b. Daar komt dus altijd 0 uit.

Parameter start P kan ook alle waarden aannemen behalve 0, want als de populatie niet ergens begint, kan er ook geen verschil in P (delta P dus) zijn en krijg je ook geen verandering van populatie bij de volgende jaren. Je rekent namelijk de populatie van het volgende jaar uit door delta P plus P te doen van het vorige jaar, en als delta P 0 is wordt de populatie nooit anders, dan krijg je zo’n tabel:

Tijd	P	Delta P	a
0	0	0	1
1	0	0	0,9
2	0	0	0,81
3	0	0	0,729
4	0	0	0,6561
5	0	0	0,59049

De groeifactor a veranderd wel steeds, want die heeft niets te maken met P of Delta P, maar met start a en b, en als die hier 1 en 0.9 zijn veranderd die dus wel.

De curve van een grafiek bij het Gompertz model

De curve van een grafiek bij het model van Gompertz hangt af van de parameter b. Als b heel klein wordt, dus 0 nadert, wordt de grafiek heel rechthoekig. Dat zie je bijvoorbeeld in deze grafiek, bij b is 0,1 (en start a=1 en start P=10).

Dit komt omdat als b heel klein is, de groeifactor a heel snel 0 wordt en dus bereikt P heel snel zijn maximum, daardoor krijgt de grafiek een rechthoekige vorm. Als b 1 nadert, duurt het veel langer voordat a 0 wordt, en daarom bereikt P veel minder snel zijn maximum. En doordat a heel geleidelijk en weinig afneemt lijkt de grafiek meer op een S-curve zoals in dit volgende voorbeeld.

Dit is een grafiek van het logistische groeimodel. Je kunt duidelijk de S-curve zien. Bij deze grafiek hebben we als parameters gekozen a=0.1, P=100 en M=1000.

De invloed van de parameter P is vrij weinig op het model voor de curve van de grafiek. Het enige wat dan veranderd is de uiteindelijke populatie en in de grafiek dus de Y-as. Parameter a heeft samen met parameter b invloed op de uiteindelijke populatie en de curve van de grafiek. Als a en b allebei groot zijn (bijv. a=10 en b=0.9) dan is de uiteindelijke populatie ook groot.

Bij deze grafiek hebben we als parameters gekozen a=10, b=0.9 en P=100. Je ziet hier duidelijk dat doordat b 1 nadert, de grafiek sterk op een S-curve lijkt en dat de populatie heel groot wordt. Dat komt omdat als b tamelijk groot is, parameter a er langer over doet om 0 te worden, en gaat de groei dus geleidelijk minder snel.

Als a en b klein zijn (bijv. a=0.1 en b=0.1) dan is de uiteindelijke populatie heel klein. Hier zie je dat de grafiek heel rechthoekig is en dat de populatie tamelijk klein blijft. Dat komt omdat parameter a heel snel 0 wordt en dus stopt de groei.

2. We gaan van beide modellen een grafiek maken en halveren op een gegeven moment de populatie. Dan vergelijken we de verschillen tussen de logistische groei en het model van Gompertz. We gaan ook verklaren waardoor dit verschil komt.

Bij het logistische groeimodel zien we dat als de populatie gehalveerd wordt, de helling waarmee de grafiek verder gaat gelijk is. Je zou als het ware de twee uiteinden van de grafiek aan elkaar kunnen plakken en dan zou je weer één goede logistische grafiek hebben. Bij het model van Gompertz zien we dat de helling van de grafiek veranderd is zodra de helft van de populatie afgestorven is. © 2006 - 2009 Talisa, gepubliceerd in Wiskunde (Wetenschap) op 23-11-2006. Het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van Talisa is vermenigvuldiging van dit artikel verboden. Meer...

Verwante artikelen

• Wiskunde, een grote mysterie?: Wiskunde is een zeer brede richting in de wetenschap. Het is een van de oudste wetenschappen en kan beschouwd worden als een formele wetenschap. Als je beknopte definitie van w…
• De Ware Wiskunde: Wie kent het niet? De wiskundeproblemen die zich al vanaf de eerste dag in de brugklas voordeden. De logica die jij nooit volgde, de uitleg die jij nooit snapte. Waar komt het gebrek aan he…
• Profielkeuze, hoe maak je hem?: In klas drie moet je een profielkeuze maken. Hieruit heb je de keuze uit 4 profielen. Namelijk Cultuur en Maatschappij, Economie en Maatschappij, Natuur en Gezondheid en Natuu…
• V.M.B.O. Wat is dat?: Op het Voorbereidend Middelbaar Beroepsonderwijs komt 60 % van de twaalfjarigen terecht. Wat houdt die opleiding in? Wat kunnen de leerlingen na hun eindexamen? Hieronder een beknopte u…
• Oligopolie, cooperatief en non-cooperatief: Oligpolie is een marktvorm waarbij er weinig bedrijven zijn en er sprake is van een markt zonder vrije toetreding. In een bijzonder geval spreken we van duopolie,…