Archimedes en wiskunde

Archimedes is vooral bekend als geniale uitvinder uit de Griekse oudheid. Klassieke geschiedschrijvers hebben veel over hem verhaald. Zo zou hij met spiegels Romeinse schepen hebben verbrand ten tijde van de 2e Punische oorlog, en nog veel meer kunststukjes hebben uitgehaald. Al snel werd hij een mythe. Hji is een van de grondleggers van de Westerse wetenschap, maar zijn wiskundige werk is een beetje in de vergetelheid geraakt.

Archimedes

De mythe rond de geniale uitvinder Archimedes (287-212 voor Christus) kreeg snel vorm na zijn dood. Geschiedschrijvers hebben veel verhaald over deze uitvinder, natuurkundige, ingenieur, en sterrenkundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste grondleggers van de moderne wetenschap. Op allerlei terreinen was hij zijn tijd ver vooruit. Tal van innovaties op het gebied van oorlogsvoering en natuurkunde zijn op zijn naam te schrijven. Een aantal zaken waar hij beroemd mee geworden is, zijn:

• de grondslagen van de hydrostatica
• grondslagen van de statica
• bedenker van de wet van Archimedes
• verlkaring voor de werking van de hefboom
• uitvinding van innovatieve belegeringswapens
• uitvinding van de schroef van Archimedes (zie figuur)

Daarnaast wordt hij algemeen gezien als de grootste wiskundige uit de Hellenistische oudheid en als een van de grootsten aller tijden. Om het oppervlak onder de boog van een parabool met de sommatie van oneindige rijen te berekenen, bedacht hij de uitputtingsmethode. Hij stelde formules op voor volumes van roterende oppervlakken en een ingenieus systeem voor het uitdrukken van zeer grote getallen. Daarnaast ontwierp hij de spiraal van Archimedes en gaf een nauwkeurige benadering van pi. Het werk van Archimedes werd in de middeleeuwen en renaissnace maar mondjesmaat bestudeerd. Pas na de uitvinding van de boekdrukkunst werd zijn werk breed verspreid, hetgeen leidde tot een vernieuwde belangstelling voor Archimedes onder wetenschappers, uitvinders, technici, en militairen. Zo onstaat ook een ongekend brede gemeenschap van wiskundigen die als studiemateriaal de Archimedische wiskunde hebben. Dit is onder meer een van de grondslagen geweest voor de wetenschappelijke vorming van Galileo Galilei.

Om een beeld te krijgen van de wiskunde uit de Griekse oudheid, bekijken we een typsiche probleem waar men zich toen mee bezig hield. De vlakke meetkunde en de theorie van de evenredigheden is een van de studieobjecten van Archimedes geweest. Pythagoras en Euclides hadden de basis reeds gelegd voor de 'bewijzende wiskunde' , men moest via een keten van redeneringen zelfs de meest eenvoudige stellingen kunnen aantonen.

Verhouding tussen het oppervlak van twee cirkels

Een typisch probleem van de Griekse meetkunde was het bepalen van de verhouding tussen twee circels C1 en C2. Het is makkelijk aan te tonen dat de ingeschreven regelmatige veelhoeken (polygonen) met een gelijk aantal zijden (respectievelijk P1 en P2) van C1 en C2 zich tot elkaar verhouden als de kwadraten van de diameters van de circels

P1 : P2 = d1² : d2²

Aangezien veelhoeken approximaties (benaderingen) zijn van cirkels, zal deze evenredigheid ook moeten gelden voor cirkels, namelijk: C1 : C2 = d1² : d2². Om te worden geformaliseerd, moet deze intuitieve redenering echter gepreciseerd worden. Wat betekent ‘approximatie’? En valt aan te tonen dat wat geldt voor approximante veelhoeken ook opgaat voor cirkels?

Approximatie betekende voor de Grieken -net als voor ons- dat gegeven een willekeurig kleine grootheid er een ingeschreven veelhoek P van cirkel C is, zodanig dat (C-P) kleiner is dan die gegeven grootheid. Aangenomen dat we kunnen aantonen dat veelhoeken in deze betekenis approximaties zijn van cirkels, dan kan ud absurdum worden getracht aan te tonen dat cirkels zich onderling inderdaad verhouden als hun diameter in het kwadraat.

Als dat namelijk niet zo was, zou er een grootheid S moeten zijn waarvoor de evenredigheid geldt S : C2 = d1² : d2². S zal verschillend zijn van C1 en dus groter of kleiner moeten zijn. Stel dat S kleiner is. We nemen een grootheid (C1-S) en bepalen de ingeschreven veelhoek van cirkel CZ met een gelijk aantal zijden als Pl. Aangezien regelmatige veelhoeken met een gelijk aantal zijden zich onderling verhouden als de kwadraten van de diameters (Euclides toont dat aan 'Elementen'), krijgen we dat P1 : P2 = d1² : d2². Maar hypothetisch gesproken is d1² : d2² = S : C2, en dus is Pl : P2 = S : C2, oftewel, als we het medium veranderen, Pl : S = P2 : C2. En aangezien P2 kleiner is dan C2, moet ook P1 kleiner zijn dan S. Hetgeen absurd is, omdat was aangetoond dat P groter moest zijn dan S.

Er is een belangrijk punt buiten beschouwing gelaten in deze beschrijving: hoe toon je aan dat regelmatige veelhoeken approximaties zijn van de cirkel? Hoe intuitief deze vraag ook mag lijken, het bevat een aantal logische valkuilen en is onderwerp van discussie geweest tot ten minste de tijd van Hippocrates, aan wie de eerste poging is toegeschreven de evenredigheid aan te tonen tussen cirkels en de kwadraten van hun diameters. Het probleem werd opgelost door Eudoxos. Hij bedacht een manier om deze approximatieproblemen per geval te behandelen (zie figuur). Neem een cirkel C en zijn ingeschreven vierkant p4. Aangezien p4 de helft is van P4, en 2p4 = P4 > C, volgt p4 > C/2. Laten we nu kijken naar (C-p4), ofwel datgene wat overblijft van de cirkel nadat het ingeschreven vierkant is weggehaald: dat zijn vier cirkelvormige segmenten. Een daarvan noemen we S, de boog daarvan verdelen we in twee gelijke hoeken, zodat we de ingeschreven driehoek T en de omschreven rechthoek R van S krijgen. Omdat 2T = R > S, krijgen we dus weer dat T > S/2. We kunnen dus zeggen dat als we van de vier segmenten waaruit (C-p4) bestaat de vier als hiervoor beschreven ingeschreven driehoeken weghalen, we weer meer dan de helft weghalen. Met andere woorden: als we van de cirkel de ingeschreven regelmatige achthoek p8 weghalen, halen we meer dan een kwart van de cirkel weg. We kunnen dit op de 8 resterende segmenten herhalen en construeren zo de regelrnatige 16-zijdige ingeschreven veelhoek, vervolgens de 32-zijdige enzovoort.

Eudoxos moet hier een mogelijkheid hebben gezien om aan te tonen dat regelmatige veelhoeken approximaties van de cirkel zijn in de bovenbedoelde betekenis van het woord. Stel twee bepaalde grootheden A en B, waarbij A > B, en trek van de grootste grootheid een hoeveelheid af die groter is dan de helft van diezelfde grootheid, en vervolgens van de resterende grootheid weer een grotere hoeveelheid dan de helft enzovoort, dan blijft er een rest over die kleiner is dan B. Als dat zo is, kan men, gegeven een cirkel C en een willekeurige grootheid K, een veelhoek construeren waarvan het aantal zijden N = 2^n is, zodanig dat (C-P2^n) < K.

Dit soort toegepaste technieken vormen het uitgangspunt van Archimedes’ studies op het gebied van de vlakke meetkunde. De door Eudoxos of zijn onmiddellijke opvolgers -indusief Euclides- ontwikkelde procedure was min of meer een standaardprocedure om het lastige probleem op te lossen van vergelijkingen tussen figuren waarbij krommen meespeelden.