Het Bewijs uit het Ongerijmde

Het bewijs uit het ongerijmde is een bewijsmethode uit de wiskunde. De logica stelt ons in staat om via een aantal stellingen (vooraf gedaan) door logisch te redeneren tot bepaalde conclusies te komen. De methode is gebaseerd op de regel dat een stelling alleen waar of onwaar kan zijn: stel een bewering is onwaar, dan kan deze aanname leiden tot tegenspraak. Daarmee bewijst men dat de aanname niet geldig was, dus de bewering moet waar zijn.

Contrapositie

Uit de regels van de logica kan een belanqrijke stelling worden afgeleid.

Contrapositie stelling

Het omgekeerde: als (p => q) geldt, dan geldt ook (niet q) => (niet p) is ook waar. (2)

Bewijs: We bewijzen eerst regel (2). Uit regels van de logica volgt q' <=> q' ^ ( p v p' ). en als p => q, dan volgt: q' ^ (p v p' ) => q' v ( q vp').

Dan volgt: q' v (q v p') <=> (q' ^ q) v (q' ^ p') en: (q' ^ q) v (q' ^ p') <=> q' ^ p'·
Vervolgens (q' ^ p') => p' dus q' => p' ·
Dat wil zeggen: regel(2).

Een voorbeeld van het gebruik van regel (2) in de sfeer van een detective-roman is: laat p de bewering zijn:
"Mr. X heeft de moord gepleegd" en q: "Mr. X was op het tijdstip van de moord op de plaats van de moord aanwezig".
Dan geldt (p => q). De ontkenning van q luidt, kort gezegd: "X. heeft een alibi“ en het is duidelijk dat X de moord niet gepleegd kan hebben als hij een alibi heeft: (niet q) => (niet p). Merk op dat (p => q) niet betekent dat (q => p) : als X bij de moord aanwezig was volgt daaruit niet dat hij hem ook gepleegd heeft.

Een voorbeeld van het gebruik van () (dikwijls, minder juist, "bewijs uit het omgerijmde" genoemd) is het bewijs van Euklides dat het aantal priemgetallen niet eindig is Men stelt (p => q) met p = "V is de verzameling van alle priemgetallen" en q = "V heeft niet eindig veel elementen" dat afgeleid is van "W is de verzameling van de eerste n (eindig veel) priemgetallen“ => "W is niet de verzameling van alle priemqetallen".

Met het oog op stelling 1 worden een paar veel gebruikte benamingen voor de implicatie misschien duidelijk: (p => q) wordt wel uitgesproken als:

• "p is een voldoende voorwaarde voor q",

terwijl men "(niet q => niet p), dus ook (p => q), kan uitspreken als:

• "q is een noodzakelijke voorwaarde voor p".

Bewijs uit het ongerijmde

Het eigenlijke bewijs uit het ongerijmde berust op het volgende principe:

Bewijs: We nemen dus aan dat (p ^ q') <=> 0.
Dan is q <=> q v (p ^ q') <=> (q v p) ^ (q v q') <=> q v p.
Omdat p => (p v q) altijd geldt krijgen we (p => q).

---

Voorbeelden
1. Een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde is het volqende bewijs dat √2 een irrationaal getal is.

Voorbeeld (Pythagoras):
We bewijzen: (x>0 en x^2=2) => "x is niet rationaal",
d.w.z. x is niet te schrijven als het quotient van twee gehele getallen.
De ontkenning van de laatste bewering luidt x = a/b met a en b gehele getallen. We mogen veronderstellen dat a en b natuurlijke getallen zijn waarvan de grootste gemene deler 1 is; anders kunnen we de breuk vereenvoudigen. Uit (x^2 = 2) volgt (a^2 = 2b^2). Dus a^2 en daarom a zelf is even; a is te schrijven als a = 2m. Dan geldt 4m^2 = 2b^2, ofwel b^2 = 2m^2. Ook b^2, en dus b, is even. a en b zijn dus beide even zodat de grootste gemene deler niet 1 is.
Teqenspraak!
Dus: (x>0 en x^2=2) => x is niet rationaal

2. Het bewijs dat zware voorwerpen even snel vallen als lichtere voorwerpen.

De Griekse filosoof Aristoteles wordt nogal eens geroemd vanwege zijn werk, maar vanuit de natuurkunde bezien heeft hij nogal eens wat blunders gemaakt. Van hem is de stelling bekend dat zware voorwerpen sneller zouden vallen dan lichte voorwerpen. Deze foutieve bewering heeft stand gehouden tot aan de middeleeuwen. Uiteindelijk was het Galilei die het probleem van de vallende voorwerpen juist oploste. Hij stelde namenlijk dat alle voorwerpen even snel vallen, ongeacht hun gewicht. De juistheid van deze stelling kunnen we in een redenering via het ongerijmde eenvoudig bewijzen.
Stel: zwaardere voorwerpen vallen inderdaad sneller dan lichte voorwerpen.
Dan geldt: als we een zwaar voorwerp vastmaken aan een licht voorwerp (bv met een touwtje) en we laten het vallen, het zware voorwerp sneller valt dan het lichte --> het lichte voorwerp remt dus het zware voorwerp af. Maar: het gezamenlijke gewicht van een zwaar en licht voorwerp is meer dan van een zwaar voorwerp alleen, dus de gezamenlijke constructie zal sneller moeten vallen dan een zwaar voorwerp alleen.
Tegenspraak!
Dus: zware voorwerpen vallen even snel als lichtere voorwerpen.

Dit bewijs volgt slechts uit redeneringen. Natuurlijk leverde Galilei het bewijs door verschillende voorwerpen te laten vallen en vervolgens de tijd te meten voordat de voorwerpen de grond raakten. Dit praktische experiment leverde hetzelfde resultaat. Alle voorwerpen vallen even snel (de verschillen worden slechts veroorzaakt door verschillen in luchtweerstand).