Euclides en wiskunde

Een van de meest invloedrijke boeken aller tijden is 'De Elementen' van Euclides. Dit boek bevat een samenvatting van de meest elementaire regels van de meetkunde of geometrie. Wiskundigen en wetenschappers werken nog steeds met zijn ideeen; men bouwt gewoon voort op de basis die Euclides bedacht heeft. Het boek was het begin van een totaal andere manier van denken: door logica, afleiding, en bewijs te gebruiken kon de werkelijkheid verklaard worden.

Euclides

Er is niet zoveel bekend over de mens Euclides. Waatschijnlijk leefde hij in Alexandrie (grote Egyptische stad aan de Middellandse zee) rond 300 v. C. Deze stad was gesticht door de Griekse heerser Alexander de Grote en deze had er een bibliotheek en een museum laten bouwen. Bij deze educatieve instelling was Euclides waarschijnlijk leraar wiskunde.

Stellingen en bewijzen

Euclides en de Grieken voorzagen de wiskunde van een buitengewone kracht door er een logisch systeem van te maken. Zij introduceerden het idee van bewijzen, en het idee dat regels logisch kunnen worden afgeleid uit bepaalde veronderstellingen, of postulaten, zoals een rechte lijn is de kortste afstand tussen twee punten. Veronderstellingen werden gecombineerd tot een regel (een theorema of stelling genaamd) die vervolgens werd aangetoond of weerlegd. De kern van Euclides’ Elementen bestaat uit vijf belangrijke postulaten of axioma’s. In de moderne bewoordingen:

1. Door twee punten kan precies één rechte Iijn worden getrokken.
2. Een recht lijnstuk kan eindeloos worden verlengd in beide richtingen.
3. Elk lijnstuk kan de straal van een cirkel zijn, waarbij een van de uiteinden van het middelpunt van die cirkel is.
4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.
5. Als een deel van een Iijn twee andere lijnen kruist zodat de som van de binnenste hoeken aan dezelfde zijde precies twee rechte hoeken is, dan lopen die twee lijnen parallel.

De eerste vier klinken ons vandaag vanzelfsprekend in de oren, maar waren allerminst vanzelfsprekend voor de mensen in die tijd. Het was Euclides die de elementaire concepten, die zijn werk zo invloedrijk maakten, definieerde. Alleen met volledig waterdichte definities van deze basisbegrippen is het mogelijk bewijzen te leveren voor wat anders vage vermoedens zouden zijn. En alleen met volledig waterdichte definities kunnen we met vertrouwen en logica de volgende stappen zetten.

Parallelle lijnen en de beperkingen van Euclides

Het vijfde postulaat van Euclides is minder evident. Het gaat over parallelle lijnen. Als een deel van een lijn twee andere lijnen kruist, zodat de som van de binnenste hoeken aan dezelfde zijde precies twee rechte hoeken is, dan lopen die twee lijnen parallel. Dit vijfde postulaat wordt daarom wel het parallelle postulaat geneemd. Dit postulaat werd gezien als een waarheid die zich in alle geometrische constructies bevindt en talloze toepassingen kent, bijvoorbeeld treinrails. Euclides was echter niet helemaal tevreden met zijn parallelle postulaat en het lijkt erop dat zijn twijfels terecht waren. Euclides’ meetkunde werkt perfect voor platte vlakken en driedimensionale objecten en in alledaagse situaties. Maar net zoals het aardoppervlak niet plat is, hoewel het dat wel lijkt, is de ruimte eigenlijk gebogen en heeft veel meer dan drie dimensies, waaronder die van de tijd. Euclides’ parallelle postulaat houdt in dat door een gegeven punt slechts één Iijn kan worden getrokken parallel aan een andere Iijn, maar als de ruimte gebogen is en multidimensienaal, kunnen vele andere parallelle lijnen worden getrokken. Volgens de Euclidische meetkunde zijn de binnenhoeken van een driehoek samen altijd 180°, maar die van een driehoek getekend op een bal zijn samen meer dan 180°. Wiskundigen als Carl Gauss zagen in de 19e eeuw de beperkingen van de Euclidische meetkunde. Het werk van Euclides was 2200 jaar lang het fundament onder de meetkunde en vormt nog steeds de basis van alle dagelijkse meetkunde van vandaag. Bovendien is Euclides’ methode voor het vaststellen van fundamentele waarheden door middel van waterdichte redenering, dat wil zeggen met behulp van logica en bewijsvoering, nog net zo krachtig als toen.

Euclides' bewijs van Pythagoras

Omstreeks de 6e v.C. bewees Phytagoras de vaste verhouding tussen de 3 zijden van een rechthoekige driehoek. De lengte van de schuine zijde is de wortel uit de som van de kwadraten van de 2 rechte zijden.
C = √ (A² + B²)

Euclides bewees deze stelling opnieuw. Ditmaal was het bewijs zo elegant en eenvoudig dat men nog altijd onder de indruk is van dit bewijs. Men noemt het ook wel het 'windmolenbewijs' omdat de gebruikte figuren op windmolens lijken. Het bewijs (samengevat) verloopt als volgt:

1. het oppervlak van het vierkant AHKJ = 2 * oppervlak driehoek ACK
2. het oppervlak van het vierkant ACDE = ook 2 * oppervlak driehoek ACK
3. dus AHKJ = ACDE
4. op dezelfde manier bewijst men dat BIJH = BCFG
5. dus het oppervlak van het grote vierkant = kleiner vierkant + kleinste vierkant
6. voor de rechthoekige driehoek tussen de 3 vierkanten moet gelden schuine² = aanliggende² + overstaande²

Het bewijs van (1) en (2) is opmerkelijk. Euclides motiveert het bewijs als volgt:

1. de oppervlaktes van alle driehoeken op dezelfde basis waarvan de 3e vertex overal op een onbepaald verlengde lijn parallel aan de basis ligt, zijn gelijk.
2. de oppervlakte van een driehoek is de helft van die van een parallellogram (inclusief de rechthoek) met dezelfde basis en hoogte.

Pffff, bent u er nog? Pak een papier en pen en teken na wat Euclides hier zegt. Het klopt!