Het magische getal 142857

142857 lijkt zomaar een getal, maar is dat allerminst. Rekenen met dit 'cyclische' getal leidt tot uitkomsten waar je mond van openvalt. Steeds keren dezelfde zes cijfers terug. Het lijkt magie, het is wiskunde. Dat sommige getallen interessante of verrassende eigenschappen hebben, is bekend. Maar in sommige gevallen is 'interessant' of 'verrassend' veel te licht uitgedrukt. Er zijn getallen waarbij een aantal simpele bewerkingen leiden tot ronduit verbluffende resultaten.

Zo'n getal is 142857. Op het eerste gezicht bepaald niet bijzonder. Maar als je de eerste zes uitkomsten van de tafel van dit getal (dus vermenigvuldigd met 1, 2, 3, 4, 5 en 6) uitrekent, blijkt er iets speciaals aan de hand te zijn. Dit zijn namelijk:

1 x 142857 = 142857

2 x 142857 = 285714

3 x 142857 = 428571

4 x 142857 = 571428

5 x 142857 = 714285

6 x 142857 = 857142

Alle uitkomsten bestaan uit dezelfde zes cijfers, en dat is niet alles. De volgorde van de cijfers is steeds dezelfde, maar dan elke keer een stukje doorgeschoven. Ze liggen in feite in een kringetje, en de uitkomsten zijn de zes getallen die je krijgt door met elk cijfer een keer te beginnen en dan het kringetje in een vaste richting rond te gaan. Hiermee is meteen duidelijk waarom dit getal cyclisch genoemd wordt.

Dit was al volkomen onverwacht, en onverklaarbaar. Het wordt echter nog leuker als we nóg een stap zetten in de tafel:

7x 142857 = 999999

We zien hiermee dat 1.000.000 gedeeld door 7 iets meer dan 142857 is. Om precies te zijn: 142857 plus 1/7.
Maar 1 gedeeld door 7 is eigenlijk weer dezelfde berekening als 1.000.000 gedeeld door 7, alleen met de komma zes plaatsen opgeschoven. (Vergelijk dit met: 1.000.000 gedeeld door 4 is 250.000, en 1 gedeeld door 4 is 0,250000).

Dus 1/7 is 0,142857 en een beetje. We weten nu dat 1.000.000 / 7 als uitkomst 142857,142857 en een beetje heeft. Dit proces kunnen we herhalen. De decimale ontwikkeling van 1.000.000 / 7 (de cijfers achter de komma) bestaat dus uit oneindig vaak 142857 achter elkaar.

Wat we nu eigenlijk hebben gevonden, is dat de decimale ontwikkeling van de simpele breuk 1/7 als 'repeterend deel' 142857 heeft, oftewel:

1/7 = 0,142857142857142857142857.....

waarbij de puntjes aan het eind aangeven dat deze cijferreeks oneindig lang zo doorgaat.

Het blijft niet bij opvallende resultaten in de tafel van 142857. Laten we het getal eens halveren:

142857 / 2 = 71428,5

Weer een uitkomst waarin de zes cijfers terugkeren. Maar we kunnen nog wel gekkere dingen doen met 142857. We 'splitsen' het in twee nieuwe getallen, die we vervolgens optellen. Eigenlijk schuiven we er gewoon een plusteken tussen. En dan krijgen we weer een mooie uitkomst:

142 + 857 = 999

Iets dergelijks kunnen we ook doen nadat we het kwadraat genomen hebben:

142857² = 20408122449

Hier lijkt niets bijzonders aan de hand, maar opnieuw op de juiste plaats splitsen en optellen geeft een ongelooflijk resultaat:

20408 + 122449 = 142857

Dit werkt ook met de tweede en derde uitkomst uit de tafel van 142857:

285714² = 81632489796

81632 + 489796 = 571428

en

428571² = 183673102041

183673 + 102041 = 285714

Verder geldt bijvoorbeeld ook nog dat

857² - 142² = 714285 .

En zo zijn er ongetwijfeld nog meer berekeningen uit te voeren met 142857, waarmee je dezelfde zes cijfers terugkrijgt. Het is een magisch getal.