Complexe getallen

In het dagelijks leven rekenen we met getallen uit de reeele verzameling R. Complexe getallen, of getalparen, zijn een uitbreiding hierop; veel periodieke verschijnselen in de natuurkunde en elektrotechniek kunnen hiermee eenvoudiger beschreven worden (de methode van Laplace vergemakkelijkt bijvoorbeeld het oplossen van moeilijke differentiaalvergelijkingen). De uitbreiding op een reeel getal is het imaginaire gedeelte van een complex getal: j = √-1.

Complex getal

Normaliter zijn we gewoon om met getallen te uit de verzameling N of R rekenen. Dat wil zeggen we gebruiken getallen uit de reeks gehele getallen (N) ....,-11, -10, ...., -2, -1, 0, 1, 2, ..,, 35, 36, 37, ..... of uit de verzameling reeele getallen (R) die hetzelfde is als (N) met als uitbreiding gebroken-, of kommagetallen. Zo is het getal 5,67391 een getal uit de verzameling R.
Complexe getallen zijn een uitbreiding op de reeele getallenverzameling. Een complex getal bestaat uit een reeel en een imaginair gedeelte. Om het imaginaire gedeelte aan te duiden wordt het volgende aangenomen:

• het getal j = √-1
• j ² = -1

Op (middelbare) scholen wordt doorgaands onderwezen dat de wortel uit een negatief getal niet bestaat. Om met complexe getallen te kunnen rekenen nemen we aan dat deze wortel wel bestaat; dit heeft alleen een rekentechnische functie. Voor een complex getal Z noteren we:


Alle getallen of getalparen (x,y) die een complex getal vormen zijn onderdeel van de verzameling complexe getallen C. De variabele x stelt het reeele gedeelte en de variable y stelt het imaginaire gedeelte van het complexe getal z voor. We hebben nu een uitbreiding op R (of R²) voorhanden; met de complexe getallen z kunnen we allerlei rekenmethodes gaan invoeren en toepassen. Complexe getallen zijn te beschouwen als elementen van een twee-dimensionale ruimte; hiermee kunnen we allerlei problemen zichtbaar maken (en oplossen) in het zogenaamde complexe vlak, rekenen met vectoren (pijlen), en oplossingen vinden voor vergelijkingen met periodieke functies.

Het complexe vlak

In het complexe vlak kunnen complexe getallen worden afgebeeld. Een complex vlak is een 2-dimensionaal vlak met een (horizontale) reeele as en een (verticale) imaginaire as. Stel een complex getal z = a + jb, dan zal dit getal een punt in het complexe vlak voorstellen met coordinaten (a,b). Dit is in de figuur hiernaast afgebeeld.
Het punt (3,2) of z = 3 +2j is aangeduid met de stippellijnen. Daarnaast zijn de punten (0,1) of z = j, (-1,0) of z = -1, en (0,-1) of z = -j afgebeeld. Wanneer het reeele gedeelte van een complex getal gelijk is aan nul, schrijft men z = 0 + j, oftwel z = jb. Het getal z = j kan men dus noteren als z = j, (0,1), of z = 0 + j.

Eenvoudige rekenregels voor complexe getallen zijjn:
optellen

• (a + jb) + (c + jd) = (a+b + j(c+d)), oftewel (a,b) + (c,d) = (a+b, c+d)

vemenigvuldigen

• (a + jb) * (c + jd) = (ac-bd + j(ad+bc)), oftewel (a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Een belangrijke toepassing van het werken met het complexe vlak is de illustratie van het rekenen met vectoren. Een vector is een grootheid met een lengte en een richting; het wordt afgebeeld als een pijl. In de figuur hierboven is de vector die wijst naar (2,-2) getekend. Een vector wordt meestal aangeduid door een streepje (boven of onder) z. Het kunnen rekenen met vectoren is belangrijk, omdat in de natuurkunde en elektrotechniek veel grootheden als vector gemodelleerd zijn: krachten, verplaatsing, versnelling, etc... Daarnaast wordt het rekenen aan vergelijkingen (en diiferentiaalvegelijkingen) voor periodieke signalen eenvoudiger door ze af te beelden als vectoren in het complexe vlak.

Voor de lengte en de richting van een vector geldt:

• lengte = | z | = √ [ (im)² + (re)² ]
• richting = arctangens [im/re]

Eens kijken naar ons voorbeeld van de vector die wijst naar (2,-2):
lengte = √ [ (im)² + (re)² ] = √ [ 2² + (-2)² ] = √ 8 ≈ 2.83
richting = arctg [im/re] = arctg [-2/2] = arctg [-1] = - 45 graden
Voor de richting van een vector mogen we de hoek nemen die een vector met de reeele as maakt (draairichting linksom = positief). Een hoek van 360 graden betekent dat precies '1 ronde' in het complexe vlak gedraaid is, dus dat het punt op de reeele as moet liggen. In bovenstaand geval vonden we -45 graden, hetgeen correct is (we zouden ook +315 graden kunnen zeggen).

Periodieke functies

Het handige van de complexe schrijfwijze is dat het rekenen met periodieke functies vergemakkelijkt kan worden. Een periodieke functie is een functie die periodiek (per periode) dezelfde waarden aanneemt zoals sinus(x) of cosinus(t). We kunnen een periodieke functie in het complexe vlak voorstellen als een ronddraaiende vector. Zie ook het plaatje hiernaast.
Een sinus met een zekere periodetijd T neemt altijd weer dezelfde waarden aan als de periode T verstreken is. De frequentie f van de functie (of het signaal) is omgekeerd evenredig aan de periodetijd : f = 1/T. Meestal drukt men zo'n periodiciteit uit als sin(ω*t ) = sin (2π f * t) (=sin(2π * t/T)).
Stel een vector met lengte 1 draait rond met hoeksnelheid ω*t (= 2π f * t). Nu geldt voor de projectie van de vector op de imaginaire as dat deze gelijk is aan sin(ω*t), en de projectie op de reeele as is cos(ω*t).
Als we bekjken welk complex getal de vector telkens aanwijst, dan vinden we de uitdrukking:
z = re + im * j = cos(ω*t) + sin(ω*t) * j.
De formule van Euler legt het verband tussen de e-macht en periodieke functies. Dit verband wordt gelegd via complexe getallen:


Het is belangrijk om te begrijpen dat we dus kunnen stellen dat de functie exp (iω) een periodieke functie aanduidt. We kunnen bijvoorbeeld zeggen:
Het reeele gedeelte van exp (iω) is de cosinus van ω, of: cos(ω) = re [ exp (iω) ]
en ook: sin(ω) = im [ exp (iω) ]

Poolcoordinaten

Een ander manier om een complex getal (of vector) te beschrijven is door poolcoordinaten te gebruiken. Uit het voorafgaande leiden we af dat een complex getal (of vector) aan te duiden is met een lengte en een richting. Het getal z = x + j * y is ook te schrijven als


Voor de lengte r en richting φ geldt dan:

• r = √ [ x² + y²]
• φ = arctg [y / x]

De overgang van de 'gebruikelijke' coordinaten (x,y) naar poolcoordinaten (r,φ) kan allerlei rekenkundige voordelen opleveren voor de oplossing van bepaalde vraagstukken.

De praktijk

Laten we eens een voorbeeld uit de signaaltheorie bekijken. Gitaristen willen graag een zo goed en min mogelijk vervormd geluid. Het bljikt dat hoe langer de gitaarkabel (naar de versterker), des te minder hoge tonen ('treble') in het uiteindelijke gitaargeluid voorkomen. Hetzelfde probleem speelt voor lange kabels naar luidsprekers van uw geluidsinstallatie in de huiskamer.
Hoe komt dit? Een lange signaalkabel kunnen we modelleren als een elektrische weerstand en een elektrische capaciteit. Dit is afgebeeld in de figuur hiernaast. De weerstand is de elektrische weerstand tegen stroom die een lange geleider altijd heeft. De capaciteit wordt gevormd doordat een lange metalen kabel als opslagplaats voor lading fungeert. Zo'n configuratie met weerstand en capaciteit gaat voor signalen met hoge frequenties werken als kortsluiting; deze signalen gaan verloren aan de uitgang.
Voor zowel de weerstand R als de capaciteit C kunnen we het verband tussen de spanning U(t) en de stroom I(t) opschrijven:

• weerstand R : U(t) = I(t) * R (1)
• capaciteit C : I(t) = C * d/dt [ U(t) ] (2)

We kunnen nu het uitgangsgangsignaal als functie van het ingangsignaal opschrijven door alles in een differentiaalvergelijking te modelleren. Als ingangssignaal mogen een periodiek signaal nemen: de signaaltheorie stelt dat elk signaal een (oneindige) som is van een hele hoop sinussen en cosinussen (van verschillende grootte en frequentie).
Wanneer we stellen dat de overdrachtfunctie H het verband tussen in- en uitgangsignaal voorstelt, dan kunnen we schrijven:

y(t) = H [ x(t) ]

Het uitgangsignaal is y(t) en het ingangsignaal x(t). Nu passen we de truc toe dat we alles gaan omzetten naar het complexe domein: voor H schrijven we H(jω), voor x(t) X((jω), en voor y(t) Y(jω). Vanwege rekenregels geldt in dit domein:

Y(jω) = H((jω) * X(jω)

of H(jω) = Y((jω) / X(jω)

Wanneer de uitdrukking voor H(jω) bekend is, kunnen we de overdracht in het complexe domein als functie van ω bekijken. We weten dan in hoeverre de periodieke signalen (vectoren) in grootte en richting aan de uitgang worden beinvloed als functie van de frequentie ω. Om dit te kunnen doen, zetten we eerst (1) en (2) om naar het complexe domein:

• weerstand R : U(jω) = I(jω) * R (1)
• capaciteit C : I(jω) = C * jω * U(jω) (2)

De ingangspanning Uin(jω) zal zich verdelen over de weerstand en de capaciteit. De uitgangspanning Y(jω) is gelijk aan de spanning over de capaciteit. Uiteindelijk vinden we voor H(jω):


Wat staat hier nou eigenlijk?
We kunnen bedenken dat een periodiek signaal op te vatten is als een ronddraaiende vector (met snelheid of frequentie ω) in het complexe vlak. Om het uitgangsignaal te verkrijgen hoeven we alleen maar met de overdrachtsfunctie H(jω) te vermenigvuldigen. We kunnen dus meteen zien dat als ω groter wordt, H(jω) kleiner wordt. Dit betekent dat de invloed van onderdelen in het signaal met hoge frequentie kleiner wordt bij toenemende frequentie. In de figuur is een grafiek afgebeeld (een zogenaamd Bodediagram) die dit illustreert. De grootte van de overdracht (of versterking) is getekend op logaritmische schaal (log H(jω)); dit verduidelijkt voor de kijker de invloed van de frequentie ω. We zien dat de versterking redelijk constant is tot een zekere frequentie, namelijk tot ω = 1/RC. Daarna begint de versterking met min of meer constante factor af te nemen. Voor signaalkabels is het van belang dat deze RC-waarde laag genoeg is (dan is immers ω=1/RC hoog); we willen graag dat alle componenten (dus ook de hoge tonen of 'treble') door de kabel heenkomen en aan de uitgang te horen zijn.

Lees verder

• Modellen in de natuurkunde
• Differentiaalvergelijkingen en Laplace
• Elektrische capaciteit