InfoNu.nl > Wetenschap > Natuurkunde > Golfvergelijking waterstofatoom oplossen

Golfvergelijking waterstofatoom oplossen

Golfvergelijking waterstofatoom oplossen Het atoommodel van Bohr veronderstelt dat elektronen een baan beschrijven rond de atoomkern, zonder daarbij straling uit te zenden. De golfvergelijking van Schrödinger is een geschikt instrument om het gedrag van deeltjes op sub-atomaire schaal uit te rekenen. De oplossing voor de golfvergelijking voor het waterstof (H) atoom is te vinden na een aantal aannames. Waterstof is het eenvoudigste atoom: het bevat een kern met 1 elektron.

Golfmechanica

Het gedrag van een atoom -bestaande uit een kern met elektronen- onder bepaalde condities laat zien, wordt beschreven in de zogenaamde (tijdsafhankelijke) Schrödingervergelijking. Deze vergelijking geeft uitdrukking aan de totale energie die een dergelijk systeem bezit.

Kunnen we met 3 ruimtevariabelen (x,y,z) en de variabele voor tijd t een uitdrukking vinden voor de banen die elektronen beschrijven? Wanneer we elektronen als deeltjes beschouwen die rond een atoomkern cirkelen, dan is de totale energie van het systeem:

  • Etot = E kinetisch + E potentieel

Hierbij wordt de kinetische energie geleverd door de snelheid van het deeltje; de potentiële energie kan worden uitgedrukt als de energie van het elektrisch veld tussen de atoomkern en het elektron. Een elektron wordt veronderstelt als negatief geladen en de atoomkern als positief geladen; beide delen trekken elkaar aan volgens de Coulombkracht.

Deze kracht is de onzichtbare draad die het elektron in haar baan rond de kern houdt. De elektrische energie die deze kracht vertegenwoordigt is gelijk aan de (elektrische spanning * hoeveelheid lading). Eén elektron en één proton beschouwen we als elementaire deeltjes. Beide bezitten de laagste hoeveelheid lading die we kennen, namelijk 1,6022 * 10^-19 [Coulomb]. Daarom is de elektrische energie van 1 elektron-proton paar gelijk aan de elektrische spanning tussen 2 eenheidsladingen:

  • U = q² / ( 4πε r )

De variabele r staat voor de afstand tussen elektron en proton, q is de eenheidslading, en ε is het getal dat aangeeft hoe goed of slecht het tussenliggende materiaal (in ons geval vacuüm) een elektrisch veld propageert. Voor de kinetische energie van een deeltje met massa m kunnen we schrijven Ek = 1/2mv². Daarmee wordt de uitdrukking voor de totale energie van het systeem:

Etot = 1/2mv² + q² / ( 4πε r )

Schrödingervergelijking

Als de totale energie van een kern-elektronen systeem kan worden beschreven als gedeeltelijk kinetisch en gedeeltelijk elektrisch, is het dan misschien ook mogelijk om de positie van banen van de elektronen en hun snelheden te vinden? De snelheid v bepaalt immers de kinetische energie en de afstand r van het elektron tot de kern de elektrische energie.

Nee, dat kan niet. De onzekerheidsrelatie van Heisenberg stelt dat het onmogelijk is om tegelijkertijd de snelheid en positie van een deeltje te bepalen. We moeten een elektron niet zien als een 'hard kogeltje', maar als een verschijnsel dat zowel deeltje als golf is. We kunnen wel een vergelijking opstellen die aangeeft wat de kans is om een deeltje op een bepaalde positie op een zeker tijdstip t aan te treffen;

deze functie noemen we Ψ, Ψ(x,y,z,t) heeft als variabelen x, y, z, en t;

de Schrödingervergelijking heeft als oplossing de functie Ψ, de algemene vorm van de Schrödingervergelijking is:
- h²/2m d/dx² (Ψ) + V(x,y,z) Ψ = - h/i d/dt ( Ψ )

Het eerste gedeelte - h²/2m d/dx² (Ψ) is een uitdrukking van de kinetische energie in de x-richting. De term V(x,y,z) Ψ staat voor de potentiële energie van het systeem.

Bij deze vergelijking horen een aantal parameters, uitdrukkingen, en variabelen die typisch zijn voor de golfmechanica

  • impuls = p = mv
  • p = h k
  • h = √(h/2π)
  • h = constante van Planck = 6,626 * 10^-34 [Js]

oplossing voor het waterstofatoom

Het waterstofatoom (H) heeft 1 elektron (lading -1) dat zich rond de kern beweegt; de lading van de kern is +1 (1 proton). Zie afbeelding rechterzijde.
Bron: TronicBron: Tronic
Stellen we de Schrödingervergelijking op voor dit systeem:

  • h/i d/dt(Ψ) = - h²/2m [ d/dx²(Ψ) + d/dy²(Ψ) + d/dz²(Ψ) ] + V(x,y,z) Ψ

Om de kinetische energie te vinden moeten we de functie Ψ differentiëren in 3 richtingen (x, y, en z). Voor de potentiële energie V(x,y,z) Ψ kunnen we schrijven q²/4πεr. We zitten nu met het probleem dat de kinetische energie wordt uitgedrukt in het coördinatenstelsel (x,y,z) en de potentiaal in bolcoördinaten (r). Om dit te kunnen oplossen is een coördinatentransformatie nodig en veel wiskunde.
Daarom gaan we een beetje vals spelen om de oplossing te vinden; stel we laten de variabele t (tijd) buiten beschouwing en we gebruiken maar 1 variabele voor de ruimte (x).

Dan doen we de volgende 3 aannames:

We weten dat de totale energie gelijk is aan E kinetisch en E potentieel

  • (1) E = E k + E p = 1/2mv² + q²/(4πεr)

De middelpuntvliedende kracht moet gelijk zijn aan de elektrische kracht (die het elektron in de baan houdt):

  • (2) mv²/r = q²/(4πεr²)

Tenslotte beschouwen we het elektron als een staande golf; dit betekent dat de baan rond de kern even lang moet zijn als een geheel aantal maal de golflengte. We voeren nu een oplossing in voor Ψ:

  • (3) Ψ = exp(jkx)

De variabele x staat voor de positie van de golf in de x-richting; k is een variabele die gebruikt wordt in de golfmechanica om de impuls van een deeltje uit te drukken (impuls p = h*k). De lengte van de baan van het elektron stellen we gelijk aan L. Een staande golf heeft de ruimtelijke eigenschap dat totale lengte van de golf altijd een geheel aantal malen de lengte van de basisgolf is.

Omdat het elektron als staande golf wordt beschouwd mogen we zeggen:

  • exp (jkx) = exp (jk(x+L)) = exp (jkx) exp (jkL)

deze vergelijking klopt alleen als k*L = n*2π, dus

  • k L = 2π n
  • L = 2π r (L = omtrek van een cirkelvormige baan met straal r)

hieruit volgt dat k = n/r, oftewel de impuls p = n* h/r

(p = n*h/r ) betekent dat de impuls van een golf/deeltje gekwantiseerd is; de impuls is altijd gelijk aan een geheel aantal (n) malen (h/r ). Voor een elektron dat een baan beschrijft met straal r (rond de atoomkern) zijn er (n* h/r) mogelijke waarden voor zijn impuls.

gekwantiseerd

De gevonden uitdrukking voor Ψ een oplossing levert voor de Schrödingervergelijking.

Ψ = exp (jkx)

Bron: TronicBron: Tronic
Deze uitdrukking kunnen we ook schrijven als een periodieke functie in het complexe vlak:

  • exp (jkx) = j*sin(kx) + cos(kx)

De waarschijnlijkheid om een elektron op een zekere positie aan te treffen -binnen een zekere volume V- kan men schrijven als de complexe functie:

  • ∫ Ψ*Ψdv
  • V

Deze kans dat een elektron op een zekere positie wordt aangetroffen is een periodieke functie, komt overeen met onze aanname dat het elektron moet worden beschouwd als een golf. Elektronen zijn te beschouwen als een soort staande golven die opgevouwen zijn rond de atoomkern. Een opgevouwen staande golf past altijd maar een geheel aantal malen in een baan met straal r -zie afbeelding.

Ten tweede kunnen we uit de (gekwantiseerde) uitdrukking voor de impuls afleiden:
  • p = n*h/r
  • r*p = n*h
  • mvr = n*h

ook de impuls -uitgedrukt in de hoeksnelheid- is gekwantiseerd.

kwadrateren levert snelheid v :
  • v² = n²h²/m²r² = n²h²/ (4π²m²r²)

  • mv²/r = q²/(4πε r )
  • m (n²h²/4π²m²r²)/r = q²/(4πεr²)
  • r = ε h²n² /(π²mq²)

de straal van de baan die het elektron beschrijft is altijd gelijk aan n² maal (ε h² / π²mq²).

Deze 2 uitdrukkingen kunnen we substitueren in (1), zodat we voor de totale energie van het systeem vinden:
  • E = 1/2mv² + q²/(4πεr)
  • = q²/(8πεr) - q²/(4πεr)
  • = .....
  • = - mq^4/8ε²h²n²

Ook de energie is gekwantiseerd. Blijkbaar kunnen elektronen zich alleen in een beperkt aantal toestanden bevinden, en een specifieke -bij deze toestand behorende- energie hebben. Deze energieniveau's horen bij de specifieke baan die een elektron om de atoomkern beschrijft. Buiten deze toestanden en energieniveau's kan het systeem niet bestaan; dit is verboden gebied.

voor (n=1), of voor 1 elektron en 1 proton, is de term (mq ^4/8ε²h²) exact uit te rekenen = -13, 6 [eV]

De energie van het waterstofatoom (H) kan alleen de waarde -13,6*(1/n²) [eV] aannemen; n een integer van 1, 2, 3, .., ∞

Lees verder

© 2013 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Wat is ionisatie?Wat is ionisatie?Waaruit bestaat een atoom? Wat is een proton, elektron en neutron? Wat is de lading en massa van deze deeltjes? Wat is i…
Kwantumfysika SchrödingerKwantumfysika SchrödingerIn 1926 ontwikkelde Erwin Schrödinger de golfmechanica, gebaseerd op Planck's kwantum-hypothese en de ideeën van de Brog…
Kwantumcomputer bootst waterstofmolecuul naKwantumcomputer bootst waterstofmolecuul naOnderzoekers van de universiteiten van Harvard en Queensland hebben met succes een kwantumcomputer gebouwd die natuurlij…
KwantummechanicaIn het begin van de vorige (20e) eeuw hebben een aantal wetenschappers een nieuwe natuurkundige theorie ontwikkeld, die…
Hoe is een atoom opgebouwd?Een atoom, het kleinste bouwsteentje van elk element dat we kennen. Vrijwel alle eigenschappen van de materie op de were…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Tronic
  • Solving Schrodinger fo a Hydrogen atom, www.youtube.com/watch?v=4UV7hca0F28
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic

Reageer op het artikel "Golfvergelijking waterstofatoom oplossen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 30-12-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Natuurkunde
Bronnen en referenties: 4
Schrijf mee!