InfoNu.nl > Wetenschap > Natuurkunde > De Lorentz transformatie

De Lorentz transformatie

De Lorentz transformatie De Nederlandse fysicus Lorentz wordt ook wel beschouwd als een van de leermeesters van Einstein. Hij werkte de Galilei transformatie verder uit. Deze transformatie geeft de overgang aan van een stilstaand coördinatenstelsel naar een bewegend coördinatenstelsel. Galilei ging ervan uit dat de tijd t in beide stelsels hetzelfde is; dit blijkt in werkelijkheid niet zo te zijn. De tijd t' in een snel bewegend object verloopt langzamer ten opzichte van de tijd t die een waarnemer in een stilstaand object meet.

Lorentz transformatie

-fig 1-<BR>
klik voor vergroting<BR><BR>

stelsel 1, snelheid = 0 → (x, y, z, t)<BR>
stelsel 2, snelheid v → (x', y', z', t')<BR>
 / Bron: Tronic-fig 1-
klik voor vergroting

stelsel 1, snelheid = 0 → (x, y, z, t)
stelsel 2, snelheid v → (x', y', z', t')
/ Bron: Tronic
De Lorentz transformatie beschrijft de overgang tussen twee coördinatenstelsels die opgebouwd zijn met variabelen (x, y ,z, t).

Zie figuur 1, (x, y, z, t) stelt een stilstaand stelsel voor, en (x', y', z', t') een stelsel dat beweegt -in de x-richting- met snelheid v. Op de tijdstippen (t = t' = 0) liggen de stelsels precies op elkaar.

De vergelijkingen voor overgang van (x, y, z, t) naar (x', y', z', t') zijn:
  • x ' = Υ (x - vt)
  • y ' = y
  • z ' = z
  • t ' = Υ (t - vx / c ²)

met Υ = 1 / √[ 1 - v² / c ² ]

De factor Υ (gamma) wordt ook wel Lorentzfactor genoemd. Dezelfde gebeurtenis wordt door waarnemer 1 gemeten in de tijd t [seconden], maar waarnemer 2 meet t ' [seconden] ( = Υ (t - vx / c ²)). Het voor- of achterlopen van klokken als gevolg van zeer hoge snelheden noemt men tijddilatatie. Het verschijnsel van verschillend waargenomen lengtes noemt men lengtecontractie.

Lichtsnelheid = c voor elke waarnemer

-fig 2-<BR>
 / Bron: Tronic-fig 2-
/ Bron: Tronic
De lichtsnelheid c is vaak gemeten en hieruit heeft men de conclusie getrokken:
Onder welke omstandigheid ook c = 299.792.458 [m/s] ≈ 300.000 [km/s]).

Zie figuur 2, stel een lamp is gemonteerd op een raketauto; 300.000 km boven de lamp hangt een spiegel die ook meebeweegt.
  • auto 1 met lamp -bestuurder persoon 1- staat stil in het punt O (gele lichtstraal)
  • auto 2 met lamp -bestuurt door persoon 2- snelheid v (lichtblauwe lichtstraal)

Als de lichtstraal 1 spiegel 1 bereikt heeft, is er precies 1 seconde gepasseerd voor bestuurder 1.

Stel raketauto 2 heeft een hoge snelheid v (v ≈ 1/2 c), en tegelijkertijd in punt O zijn lamp aangezet. Bestuurder 1 en 2 kijken allebei naar lichtstraal 2 (elk verschijnsel is verschillende waarnemers gelijk).

-fig 3- / Bron: Tronic-fig 3- / Bron: Tronic
  • na 1 seconde ziet persoon 1 dat zijn lichtstraal spiegel 1 bereikt heeft
  • binnen 1 seconde kan het licht niet meer dan 300.000 km (c) afleggen
  • dit betekent dat lichtstraal 2 spiegel 2 niet bereikt heeft

persoon 1 ziet:
  • na 1 seconde heeft auto 2 afgelegd: v * 1 seconde = v [km]
  • na 1 seconde heeft lichtstraal 2 afgelegd --- afstand 1 = c * 1 seconde = c [km]

persoon 2 ziet:
  • de tijd op zijn horloge heeft nog niet 1 seconde geduurd
  • lichtstraal 2, gaat recht naar boven --- afstand 2 = √[ c ² - v ² ] = c / Υ [km]

[Υ = 1/√[1 - v²/c ²], vanwege Pythagoras: c ² = v ² + (c / Υ)²]

tijd verstrijkt langzamer bij hoge snelheden -tov stilstaande waarnemer

Hoeveel seconden meet persoon 2 als lichtstraal 1 spiegel 1 bereikt heeft?

Over c km doet zijn lichtstraal precies 1 seconde, dus over afstand 2 doet de lichtstraal (c / Υ) / c = 1/ Υ seconde. Dan moeten we concluderen dat de tijd bij persoon 2 langzamer verloopt dan bij persoon 1.

De verhouding tussen tijd 1 en tijd 2 is:

  • tijd persoon 1 : tijd persoon 2 = 1 seconde : (c / Υ) / c seconde = 1/ Υ

Zowel persoon 1 als persoon 2 hebben de juiste tijdwaarneming gedaan (ze hebben allebei gelijk).

meters zijn korter bij hoge snelheden -tov stilstaande waarnemer

Stel lichtstraal 2 bereikt spiegel 2. Persoon 2 klokt dan dat er precies 1 seconde verstreken is. In zijn waarneming heeft de lichtstraal c kilometer (=recht naar boven) afgelegd.
Persoon 1 ziet echter dat lichtstraal 2 heeft afgelegd: c * Υ kilometer. Hij ziet ook dat de horizontale afstand afgelegd door de raketauto = Υ * v kilometer.

Persoon 2 beweegt met snelheid v. Na 1 seconde heeft hij afgelegd: v * 1 seconde = v kilometer. Dan moeten we concluderen dat de afstanden in meters voor persoon 2 korter lijken dan voor persoon 1.

De verhouding tussen lengte 1 en lengte 2 is:

  • lengte 1 : lengte 2 = v * Υ kilometer : v kilometer = Υ
© 2014 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Elektromagnetisme: LorentzElektromagnetisme: LorentzEen elektrische stroom in een magnetisch veld wekt een kracht op; dit is vastgelegd in de wet van Lorentz. De Nederlands…
Relativiteit en elektriciteitRelativiteit en elektriciteitEen stilstaande waarnemer ziet een magnetische kracht rondom een elektrische stroom; een meebewegende waarnemer ziet een…
Einstein in Nederland, boekbespreking Sybe Izaak RispensEinstein in Nederland, boekbespreking Sybe Izaak RispensEinstein is een icoon geworden en staat symbool voor de geniale mens. Dit beeld is zwaar overdreven. Einstein was een ma…
Einstein speciale relativiteitEinstein speciale relativiteitIn 1905 stelde de natuurkundige Albert Einstein de speciale relativiteitstheorie op. De ideeën over tijd en ruimte zijn…
Relativiteit écht begrijpen: TijddilatatieDit artikel gaat over het fenomeen tijddilatatie. Dit begrip komt uit de speciale relativiteitstheorie van Albert Einste…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Tronic
  • Youtube: special relativity, time dilation and length contraction - dr D Wittman
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic

Reageer op het artikel "De Lorentz transformatie"

Plaats een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Reactie

Jan Hemmer, 13-03-2015 17:54 #1
Over de verstreken tijd van waarnemer 1 en 2 met onderlinge snelheid 1/2C.
Er wordt gesteld dat snelheden relatief zijn, dus zowel waarnemer1 als 2 kunnen we als stilstaand beschouwen.
Dus in de formule:
tijd persoon 1 : tijd persoon 2 = 1 seconde : (c / Υ) / c seconde = 1/ Υ kunnen we persoon1 en 2 omwisselen.
Wat is dan nog de betekenis van de berekening? Reactie infoteur, 13-03-2015
Hallo mijnheer Hemmer (Jan),

De formule :
"tijd persoon 1 : tijd persoon 2 = 1 seconde : (c / Υ) / c seconde = 1/ Υ", geldt alleen voor persoon 1.
Zouden we de zaak omdraaien:
"tijd persoon 2 : tijd persoon 1 = 1 seconde : (c / Υ) / c seconde = 1/ Υ", geldt alleen voor persoon 2.

Maw hoe u de bewegende ander (zijn tijdregistratie, en zijn lengte-registratie) waarneemt, hangt af van uw eigen positie. Voor zowel persoon 1 als persoon 2 verstrijkt de eigen tijd en zien de eigen meters eruit als 'normaal'.

Dit betekent dus niet dat er geen netto-effect is (ik neem aan dat dit is wat u bedoelt).

mvg Tronic

Infoteur: Tronic
Laatste update: 10-03-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Natuurkunde
Bronnen en referenties: 5
Reacties: 1
Schrijf mee!