InfoNu.nl > Wetenschap > Natuurkunde > Fourierintegraal bekende signalen

Fourierintegraal bekende signalen

Signalen worden vaak voorgesteld als functie van de tijd. Sommige problemen uitrekenen met tijdfuncties vergt veel werk. Met de Fouriertransformatie kan men een tijdfunctie g(t) ook als frequentiefunctie G(ω) - de Fouriergetransformeerde van g(t) - schrijven. De functie G(ω) is geschikter om mee te rekenen. In veel gevallen kan de functie G(ω) geschreven worden als een som van periodieke functies (zoals sin(at) en cos(at)).
Bron: TronicBron: Tronic

Fouriertransformatie

Tijddomein

In veel gevallen wordt een signaal als functie van de tijd geschreven; de functiewaarde op een zeker moment (t) is de amplitude van het signaal. De tijd en amplitude kunnen zowel continu als discreet zijn:

  • continu - elke waarde (tussen twee uitersten) kan worden aangenomen
  • discreet - slechts een begrensd aantal waarden kan worden aangenomen

(De Fouriertransformatie van tijddiscrete functies wordt hier niet behandeld).

Complexe notatie

Een periodieke functie, die zich herhaalt met frequentie f, is te schrijven als een cirkelbeweging met hoekfrequentie (ω = 2πf).
Stel een vector - met lengte R - draait rond in het complexe vlak met hoeksnelheid ω, dan wijst de vector continu naar
P(x, y) = ( Rcos(ωt), Rsin(ωt) ). Een ronddraaiende vector geeft men aan met:

  • R exp (jωt) = R * (cos(ωt) + jsin(ωt))

Het complexe vlak heeft als (x-as en y-as):
  • y = de imaginaire as (Im), de vector heeft de imaginaire coördinaat = j Rsin(ωt)
  • x = reële as (Re), de reële coördinaat vector = Rcos(ωt)

Hoekfrequentie ω is gelijk aan het aantal rondes dat de vector per seconde aflegt, uitgedrukt in de hoek (pi radialen).

Frequentiedomein
Het is mogelijk om de tijdfunctie g(t) om te zetten naar de frequentiefunctie G(jω) met variabele ω. Bijna alle mogelijke tijdcontinue functies (signalen) kunnen direct beschreven, of benaderd worden door de volgende integraal:

  • G(jω) =1/√(2π) ∫ g(t) exp (-jωt) dt

Deze integraal schrijft het signaal als een som van meerdere periodieke functies. In de som worden deze periodieke functies - of frequentiecomponenten - geschreven als cos(ωt) en sin(ωt) maal een weegfactor, en opgeteld.

Met professionele meetapparatuur, kan men een beeld krijgen van de frequentiefunctie van g(t). Een signaal met sterke frequentiecomponenten bij f = 20 Hz, 40 Hz, 60 Hz, , heeft als frequentiebeeld (spectrum) hoge pieken bij deze frequenties.

Stel de reactie van systeem A op ingangssignaal g(t) is uitgangssignaal h(t).

Bron: TronicBron: Tronic
Is A een lineair systeem, dan zal het uitgangssignaal in het frequentiedomein H(jω) = G(jω) * A(jω) zijn. H(jω) kan eenvoudig worden omgezet naar h(t) door een integraal in omgekeerde richting uit te rekenen.

Om h(t) te vinden moeten we uitvoeren:
  • transformatie van g(t) --> G(jω)
  • oplossing H(jω) in het ω-domein bepalen: H(jω) = G(jω) * A(jω)
  • H(jω) via inverse transformatie omzetten naar tijdfunctie h(t).

Meestal is H(jω) te beschouwen als een som van standaardoplossingen.

Bekende Fourierparen (tijdcontinue functies)

De meeste standaardfuncties hebben een standaardoplossing in het frequentiedomein; dit noemt men een Fourierpaar.
Notatie:

  • g(t) O---O G(ω)

Fouriertransformatie rechthoekfunctie en exp(-at). / Bron: TronicFouriertransformatie rechthoekfunctie en exp(-at). / Bron: Tronic
Niet-periodieke functies
Belangrijke niet-periodieke functies zijn de rechthoekfunctie en de afnemende e-macht. De corresponderende frequentiefuncties X(ω) zijn eenvoudig te vinden. X(ω) stelt het reële gedeelte van X(jω)voor (het imaginaire gedeelte wordt hier buiten beschouwing gelaten).

  • [rechthoek, hoogte 1 voor (t ≤ |τ|)] O---O X(ω) = 2sin(ωτ) / ω

Deze functie heeft componenten met een groot aandeel bij (ω = (2n+1)π/τ ).

  • [afnemende e-macht, exp (-at), (t > 0)] O---O X(ω) = 1 / (a + jω)

Een negatieve ω is een vector die de andere kant opdraait (exp(j(-ω) = cos(ω) -jsin(ω)). Beide functies hebben een top bij (ω = 0); dit betekent dat er een DC-component aanwezig is.
Fouriertransformatie sin(at) en cos(at). / Bron: TronicFouriertransformatie sin(at) en cos(at). / Bron: Tronic
Periodieke functies
Het is logisch dat periodieke continue signalen heel bepaalde frequentiecomponenten op moeten leveren. Toch levert het uitrekenen van de integraal ∫ g(t) exp (jωt)dt voor periodieke functies complicaties op; men lost dit op door gebruik te maken van een zogenaamde deltafunctie.

  • deltafunctie δ(t) = oneindig hoge puls, oneindig kleine breedte, oppervlak 1

Door gebruik te maken van δ(t) verandert de Fourierintegraal voor continue periodieke functies in een soort discrete som van deltafuncties bij zeer bepaalde frequentie's.

Een zuivere sinus sin(at) heeft als getransformeerde twee deltafuncties. X(ω) heeft 2 frequentiecomponenten, een bij (ω = a), en een bij (ω = -a).
Fouriertransformatie blokgolf, frequentie (1/T). / Bron: TronicFouriertransformatie blokgolf, frequentie (1/T). / Bron: Tronic
Een periodieke blokgolf heeft als getransformeerde:

  • X(ω) = ∑ 4 sin (k π/2) δ(ω - k 2π/T)

De X(ω) van de blokgolf laat zien dat men periodieke signalen kan benaderen met een reeks. Zo kan men een blokgolf - met frequentie a - schrijven als:

  • x(t) ≈ 4/π ( sin(at) + 1/3 sin(3at) + 1/5 sin(5at) + .....)

Op dezelfde wijze geldt voor een periodieke zaagtandfunctie:

  • x(t) ≈ 2/π ( sin(at) - 1/2 sin(2at) + 1/3 sin(3at) + .....)
© 2015 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Het RC netwerk, stapresponsieHet RC netwerk, stapresponsieEen RC netwerk is een van de elementaire modellen die gebruikt worden in de elektrotechniek. De R staat voor weerstand e…
Complexe getallenComplexe getallenIn het dagelijks leven rekenen we met getallen uit de reële verzameling R. Complexe getallen, of getalparen, zijn een ui…
Digitaal satelliet tv: de LNBDe LNB is een noodzakelijk onderdeel van satelliet televisie. Kan je digitale satelliet tv ontvangen zonder LNB? Wat is…
Wat is modulatie?Wat is modulatie?Bij telecommunicatie en datacommunicatie moet informatie worden overgebracht van een bron naar een bestemming. Om het si…
Het samplingstheorema van ShannonHet samplingstheorema van ShannonTegenwoordig spreekt men vaak over 'digitalisering' als trend, maar eigenlijk is dit proces al 50 jaar gaande. Signalen…
Bronnen en referenties
  • The Fourier Transform and its Applications- - Prof. B Osgood, EE Department, Stanford University
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic
  • Afbeelding bron 4: Tronic
  • Afbeelding bron 5: Tronic

Reageer op het artikel "Fourierintegraal bekende signalen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 22-03-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Natuurkunde
Bronnen en referenties: 6
Schrijf mee!