Rekenen met meetresultaten: significante cijfers

Een meetresultaat wordt steeds weergegeven door een getalwaarde gevolgd door een eenheid. De nauwkeurigheid van een meetresultaat hangt af van de nauwkeurigheid van het meettoestel waarmee het meetresultaat werd verkregen. Bij het rekenen met meetresultaten is de manier van afronden niet vrijblijvend. Hoe moet worden afgerond, wordt bepaald door het minst nauwkeurige meetresultaat. De nauwkeurigheid van een meetresultaat kan worden afgeleid uit de significante cijfers (sc) van dat meetresultaat.

• Nauwkeurigheid van een meettoestel
• Significante cijfers
• Rekenen met meetresultaten
• Optellen en aftrekken met meetresultaten
• Vermenigvuldigen en delen met meetresultaten
• Afrondingen zonder komma

Nauwkeurigheid van een meettoestel

De kleinste waarde die je met een meettoestel kan meten, bepaalt de nauwkeurigheid van de meting. De nauwkeurigheid van een meettoestel wordt bepaald door de kleinste schaalverdeling op het meettoestel. Voor digitale toestellen is dit de kleinst afleesbare eenheid.

Stel bijvoorbeeld weegschaal 1 en weegschaal 2 waarmee je respectievelijk kan wegen tot op 1 g en tot op 0.001 g nauwkeurig. Je weegt een voorwerp dat exact 10,00100000... g weegt.

Meetresultaten (in g):

• Met weegschaal 1: m = 10 g
• Met weegschaal 2: m = 10.001 g

Een meetresultaat wordt steeds afgerond tot de kleinste schaalverdeling van het meetinstrument. Met de eerste weegschaal is het dus niet mogelijk om die 0.001 g te meten. Met de veel nauwkeurige weegschaal 2 gaat dat wel.

Het omzetten van de meetresultaten naar een andere eenheid doet uiteraard niks aan de nauwkeurigheid van de meetresultaten.

Meetresultaten (in kg):

• Met weegschaal 1: m = 0.010 kg
• Met weegschaal 2: m = 0.010001 kg

Meetresultaten (in mg):

• Met weegschaal 1: m = 10000 mg
• Met weegschaal 2: m = 10001 mg

In welke eenheid je de meetresultaten ook omzet, de eerste weegschaal zal nooit die ene mg kunnen meten.

Significante cijfers

Een significant cijfer is een cijfer met betekenis. Het aantal significante cijfers wordt bepaald door de nauwkeurigheid van het gebruikte meettoestel. We bekijken weer dezelfde meetresultaten.

Meetresultaten (in g):

• Met weegschaal 1: m = 10 g
• Met weegschaal 2: m = 10.001 g

Bij de eerste meting is het aantal significante cijfers 2 en bij de tweede meting 5. Het omzetten van meetresultaten naar een andere eenheid doet niks aan het aantal significante cijfers van het meetresultaat.

Meetresultaten (in kg):

• Met weegschaal 1: m = 0.010 kg
• Met weegschaal 2: m = 0.010000 kg

Bij de eerste meting is het aantal significante cijfers nog steeds 2 en bij de tweede meting nog steeds 5. Toch tellen we bij het eerste meetresultaat 4 getallen en bij het tweede meetresultaat tellen we er 7. Nullen aan het begin van een getal zijn echter geen significante cijfers, nullen op het einde van een getal zijn dat wel. Nullen aan het begin van een getal heb je nodig om significante cijfers op de juiste plaats achter de komma te plaatsen en hebben op zich dus weinig betekenis.

Maar wat dan met volgende omzetting?

Meetresultaten (in mg):

• Met weegschaal 1: m = 10000 mg
• Met weegschaal 2: m = 10001 mg

Beide meetresultaten hebben nu 5 significante cijfers (sc)? Volgens het lijstje is dit inderdaad zo maar omdat de eerste weegschaal maar tot op 1 gram kan wegen, dien je de resultaten als volgt te noteren.

• Met weegschaal 1: m = 10×10³ mg
• Met weegschaal 2: m = 10001 mg

Je mag immers niet zomaar een meetresultaat omzetten in een eenheid die niet door dat bepaald meettoestel kan worden gemeten. (zie verder bij: afronden zonder komma)

Rekenen met meetresultaten

Optellen en aftrekken met meetresultaten

In een som of verschil bepaalt het meetresultaat bekomen met het minst nauwkeurig meettoestel het laatste significant cijfer van het eindresultaat. Het rekenresultaat is dus nooit nauwkeuriger dan het minst nauwkeurige meetresultaat.

Voorbeeld 1: som van drie massa's
10.02 g + 5.0 g + 0.0010 g = ? (15.021 op rekenmachine)

• 10.02 g: het laatst sc is 2, als twee honderdste van 1 g.
• 5.0 g: het laatste sc is 0, als nul tiende van 1 g.
• 0.0010 g: het laatste sc is de laatste 0, als nul tienduizendste van 1g.

De minst nauwkeurige meting is dus 5.0 g want deze massabepaling werd uitgevoerd met een weegschaal die maar tot op 0.1 g kan wegen. Het laatste sc van de som moet dus ook als tiende van 1 g staan.
→ 10.02 g + 5.0 g + 0.0010 g = 15.0 g

Vermenigvuldigen en delen met meetresultaten

Het aantal significante cijfers van een vermenigvuldiging of deling is gelijk aan het aantal significante cijfers van de minst nauwkeurige factor.

Voorbeeld 2: berekenen van een dichtheid
2.0255 g/2.5 mL = ? (0.8102 op rekenmachine)

• 2.0255 g heeft 5sc.
• 2.5 mL heeft 2sc

Het quotiënt mag dus slechts 2sc hebben.
→ 2.0255 g/2.5 mL = 0.81 g/mL

Let op: met puur wiskundige factoren dient geen rekening te worden gehouden!

Voorbeeld 3: het gemiddelde nemen van 5 getallen
Stel volgende 5 massa’s: 2.02 g, 1.5 g, 3.0056 g, 5.15 g en 3.00 g.

1.5 g werd verkregen met de minst nauwkeurige weegschaal. De som van de 5 massa's is dus een massa tot op 1 tiende van een g nauwkeurig. De factor 5 is geen meetresultaat en kan dus geen invloed hebben op het rekenresultaat. De gemiddelde massa is dus ook tot op 1 tiende van een g nauwkeurig.
→ (2.02 g + 1.5 g + 3.0056 g + 5.15 g + 3.00 g)/5 = 14.7 g/5 = 2.9 g

Afrondingen zonder komma

Stel je komt na berekeningen een meetresultaat uit van 3506 g en het meetresultaat mag eigenlijk slechts 2sc hebben. Dan dien je het getal na de 5 af te ronden en je krijgt dan 35 × 10² g.

Voorbeeld 4: de oppervlakte van een rechthoek berekenen
Je wil de oppervlakte van een rechthoekig weiland berekenen.

Oppervlakte van een rechthoek = lengte × breedte

• lengte = 50.1 m (3sc)
• breedte = 80.44 m (4sc)

lengte * breedte = 50.1 m × 80.44 m = ? (op rekenmachine: 4030.044)
Het rekenresultaat mag slechts 3sc hebben zoals de lengte. Het resultaat is dus 403 × 10 m².