InfoNu.nl > Wetenschap > Natuurkunde > Differentiaalvergelijkingen en Laplace

Differentiaalvergelijkingen en Laplace

Differentiaalvergelijkingen en Laplace Veel verschijnselen in de natuurkunde worden beschreven met differentiaalvergelijkingen. Hoe ver kun je met een bepaalde kracht een schokdemper indrukken? Dat hangt af van hoever de demper al ingedrukt is (dus het verleden van de demper speelt een rol). Dit soort gedrag modelleert men met differentiaalvergelijkingen; de Laplace-methode vereenvoudigt het oplossen van deze vergelijkingen.

Differentiaalvergelijkingen oplossen

Een differentiaalvergelijking (dv) heeft als oplossing een functie f(x). Een dv heeft meestal de volgende vorm:

.... + a3 * f '''(x) + a2 * f ''(x) + a1 * f '(x) + a0 * f(x) + b = g(x)

  • f(x) -- een zekere functie
  • f '(x) -- afgeleide van deze functie
  • f ''(x ) en f '''(x) -- de tweede en derde afgeleide van f(x)

De hoogste afgeleide die in de vergelijking voorkomt bepaalt de orde van de dv. Het geval hierboven is dus een 3e orde dv.

De methode van Laplace vergemakkelijkt het oplossen van dv. Via deze methode zetten we een functie - van variabele x of t - om naar een andere functie met een complexe variabele s.

  • f(x) --> F(s)
  • f(t) --> F(s)

De complexe variabele s is een complex getal; s bestaat uit een reëel gedeelte (a) en een imaginair gedeelte (b):

  • s = a + j * b

Als we een dv hebben met variabele x of t doen we het volgende:

  1. Laplace-transformatie van de hele vergelijking : L [...a2*f ''(x)+a1*f '(x)+a0*f(x)+b=g(x)] -----> F(s) * H(s) = G(s)
  2. oplossing in het s-domein bepalen : F(s) = G(s) / H(s)
  3. uitkomstfunctie F(s) weer om zetten naar het oorspronkelijke domein
  4. (levert de oplossing f(x) of f(t))

Enkele veel voorkomende Laplace-transformaties zijn:
functie f(t) Laplace-functie F(s)
afgeleide functie d/dt f(t)s F(s)
integraal functie ∫ f(t) dt1/s F(s)
stapfunctie a(t) (f(t) = a, vanaf t=0) a/s
a*ta/s²
exp(at)1/(s-a)
exp(-at)1/(s+a)
sin(at)a/(s²+a²)
cos(at)s/(s²+a²)

De vergelijking .... + a3 * f '''(x) + a2 * f ''(x) + a1 * f '(x) + a0 * f(x) + b = g(x) ziet er in het s-domein zo uit:

  • F(s) * H(s) = G(s)

met F(s) als oplossing die kan worden omgezet naar f(x).

Differentiaalvergelijking

Stel willen weten hoe een mechanische veer zich gedraagt (in een zekere tijdsperiode) wanneer we de veer gaan indrukken of uitrekken. De wet van Hooke stelt dat de kracht KR die men uitoefent op de veer en de uitrekking x van de veer recht evenredig zijn:

  • KR / x = c

KR staat voor kracht (Newton), x voor de uitrekking (meter), en c voor het lineaire verband deze 2 grootheden.

Meestal is een veer opgehangen in een mechanische constructie en verbonden met voorwerpen die een massa bezitten en/of een zekere wrijving met de omgeving hebben. Vaak weten we alleen de grootte van een kracht die op een zeker punt inwerkt op het systeem. Het gedrag van het gehele systeem wordt nu afhankelijk van de tijd (of voorgeschiedenis van de veer).

Een veer slaat elastische energie op; wanneer een veer uitgerekt of ingedrukt wordt wil de veer terugduwen met een zekere kracht om weer in de oorspronkelijke stand terug te keren. Om dit tijdafhankelijke gedrag te kunnen beschrijven gaan we bovenstaande vergelijking omschrijven:

KR / x = c, of
KR = c * x, differentiëren
KR ' = c * x '

de uitdrukking x' is de uitrekking per tijdseenheid, oftewel de snelheid v(t).

KR '(t) = c * v(t)

(dit is een differentiaalvergeljiking).

De afgeleide van de kracht (als functie van de tijd) is recht evenredig met de snelheid van de uitrekking.

  • (dv) --- KR '(t) = c * v(t)
  • oplossing KR(t)



Voorbeeld

Stel de mechanische veer uit het begin van dit artikel wordt ingedrukt met een constante kracht. De veer zit vast aan de grond en heeft ook wat wrijving met de omringende lucht of andere mechanische onderdelen. We weten dat het totale systeem uit 2 onderdelen bestaat: de veer die elastische energie kan opslaan en de wrijving die het systeem heeft met de omgeving.

  • veer --- F '(t) = c * v(t).
  • wrijving --- F(t) / v(t) = w

We mogen aannemen dat de snelheid van de veer-uitrekking gelijk is aan de snelheid waarmee de wrijving langs de omgeving beweegt (deze onderdelen zijn namelijk dezelfde). De uitdrukking w stelt de wrijving voor.

Wanneer we vanaf zeker moment (bijvoorbeeld t = 0 s) een constante kracht uitoefenen, kunnen we dit opvatten als een stapfunctie:
Fa(t) = Fa , vanaf t = 0.

Nu omschrijven naar Laplace:
  • veer ---------------- s * Fv(s) = c * v(s)
  • wrijving ----------- Fw(s) / v(s) = w
  • krachtbron ------- F(s) = Fa / s

We stellen nu dat de kracht afkomstig van de krachtbron zich verdeelt over de veer en de wrijvingsdelen; dan vinden we uiteindelijk:

  • Y(s) = Fv(s) = Fa * [ 1 / s - 1 / (s + c/w)]

Kijken in de tabel hierboven en uitschrijven, levert de transformatie naar het tijddomein:

y(t) = Fa(t) * ( 1 - exp(- t * c/w) )

- klik voor vergroting - / Bron: Tronic- klik voor vergroting - / Bron: Tronic
In de figuur hiernaast zijn zowel de stapfunctie Fa(t) als de kracht op de veer y(t) te zien. De stapfunctie Fa(t) stelt de krachtbron voor die vanaf zeker tijdstip (in dit geval vanaf t = 0,2) met constante kracht werkzaam is.
De functie y(t) is elastische kracht van de veer. Vanaf het moment dat de kracht de veer indrukt, stijgt de opgeslagen kracht eerst snel en na enige tijd nadert het met steeds minder toename de waarde van de krachtbron Fa.
De uitrekking van de veer ziet eruit als y(t). Een speciaal moment is in de figuur aangeduid door de stippellijn. Wanneer t = w/c, is de factor (1 - exp(- t * c/w)) gelijk aan 0,63, oftewel de veerkracht heeft 63% bereikt van de waarde van de constante kracht Fa. De waarde van (c/w) legt vast wanneer dit punt bereikt wordt. We kunnen ook stellen dat het gedrag van het veersysteem door deze 2 parameters wordt bepaald.
© 2011 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Het RC netwerk, stapresponsieHet RC netwerk, stapresponsieEen RC netwerk is een van de elementaire modellen die gebruikt worden in de elektrotechniek. De R staat voor weerstand e…
Netwerktheorie het RLC netwerkNetwerktheorie het RLC netwerkEen RLC netwerk of RLC kring is een circuit dat bestaat uit een weerstand R, een condensator C en een spoel L. Resonanti…
Indeling van virussenVirussen worden op basis van hun structuur en functie ingedeeld in groepen. In dit artikel worden de klassificatie en no…
Kansrekening, La PlaceKansrekening, La PlaceIn marketing houdt men zich steeds met de vraag bezig hoe groot de kans is dat een product succesvol al zijn, hoe groot…
Wiskunde de afgeleide en differentiërenWiskunde de afgeleide en differentiërenDe afgeleide van een functie f(x) geeft ons informatie over hoe snel de functie stijgt of daalt in een zeker punt (x,y).…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Tronic
  • Power Electronics, third edition, Mohan/Undeland
  • Afbeelding bron 1: Tronic

Reageer op het artikel "Differentiaalvergelijkingen en Laplace"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 08-01-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Natuurkunde
Bronnen en referenties: 3
Schrijf mee!