Kwantumgetallen: van schil tot orbitaal

Een atoom bestaat uit neutronen, protonen en elektronen. De neutronen en de protonen van een atoom vormen de kern van een atoom. De elektronen bevinden zich rond de kern. Elk elektron van een atoom wordt gekenmerkt door een unieke set van vier kwantumgetallen: het hoofdkwantumgetal, het nevenkwantumgetal, het magnetisch kwantumgetal en het spinkwantumgetal. Op basis van de eerste drie kwantumgetallen kan worden bepaald in welk gebied rond de kern het elektron zich bevindt en het vierde kwantumgetal geeft informatie over de rotatie van het elektron rond zijn eigen as. Waar de wetenschapper Bohr en zijn opvolgers een ‘banen’-atoommodel hanteerde om de positie van de elektronen rond de kern te begrijpen, werd later overgeschakeld op het ‘orbitaal’-atoommodel. Het ‘banen’-atoommodel werd echter niet zomaar van tafel geveegd. Een combinatie van beide atoommodellen heeft immers tot zeer bruikbare conclusies geleid.

• Het hoofdkwantumgetal (n)
• Het nevenkwantumgetal (l)
• Het magnetisch kwantumgetal (m_l)
• Het spinkwantumgetal (m_s)
• Het uitsluitingsprincipe van Pauli
• Orbitaaltheorie en het verband met de kwantumgetallen
• Verband met het hoofdkwantumgetal
• Verband met het nevenkwantumgetal
• Verband met het magnetisch kwantumgetal
• Samenvattend schema van de kwantumgetallen en de orbitalen

Het hoofdkwantumgetal (n)

Het hoofdkwantumgetal werd in het leven geroepen door de wetenschapper Bohr. Hij kwam aan de hand van vlamproeven tot het besef dat de elektronen van een atoom zich niet zomaar vrij rond de kern kunnen bewegen. Bij het in een vlam te houden van verschillende zouten, stelde hij vast dat de zouten gekleurd licht uitstraalden. De lichtkleur bleek bovendien afhankelijk te zijn van het in het zout aanwezige metaalion.


De specifieke kleur(en) uitgezonden door een metaalion kunnen worden verklaard door alle elektronen van een atoom op een bepaalde afstand van de kern te plaatsen. Wanneer een atoom of ion energie krijgt (bv. door verwarming met een vlam), dan kan dat atoom of ion deze opgenomen energie omzetten in potentiële energie door de elektronen verder van de kern te laten bewegen. De elektronen bevinden zich dan in een aangeslagen toestand. Dit is echter een onstabiele toestand en de elektronen zullen weer snel terugkeren naar hun oorspronkelijke afstand ten opzichte van de kern, de grondtoestand. Bij de terugkeer naar de grondtoestand komt de energie opgenomen uit de vlam terug vrij onder de vorm van lichtenergie.

ΔE_{potentiële energie} = ΔE_lichtenergie

Omdat voor elk atoom of ion steeds dezelfde vlamkleur wordt waargenomen, kan voor elk atoom of ion ook worden geschreven:

ΔE_{potentiële energie} = ΔE_lichtenergie = constante

Bohr besloot hieruit dat elektronen zich op welbepaalde afstanden van de kern bewogen. Een elektron dat zich dicht bij de kern bevindt, heeft minder energie dan een elektron dat zich verder van de kern bevindt. Een elektron dicht bij de kern ondervindt de aantrekkingskracht van de positief geladen kern immers sterker dan een elektron verder van de kern. Hij noemde de energieniveaus waarop de elektronen van een atoom zich kunnen bevinden, de schillen van het atoom. Bij verwarming kan een elektron van de schil waarop hij zich in de grondtoestand bevindt, overgaan naar een schil verder van de kern gelegen (= absorptie van energie). Bij terugkeer naar de grondtoestand, wordt er licht uitgezonden (=emissie) met een bepaalde energie welke gelijk is aan het energieverschil tussen de aangeslagen en de grondtoestand.

E_licht = h × f = (h × c)/λ

• h = constante van Planck
• f = frequentie van het licht
• c = lichtsnelheid = 3×10⁶ m/s
• λ = golflengte van het licht

Licht met een bepaalde energie heeft dus een bepaalde golflengte of anders gezegd een bepaalde kleur. Elk atoom of ion vertoont een typisch lichtemissiespectrum. Dit betekent dat de afstand tussen de schillen vast staat, tussen de schillen in kan het elektron zich niet bevinden. Bohr nam hetzelfde waar door atomen met wit licht te beschijnen en het doorgelaten licht te analyseren. Wit licht bevat alle golflengten van het zichtbaar licht. In het doorgelaten licht bleken telkens meerdere golflengten te ontbreken. Lichtstralen met deze golflengten waren dus geabsorbeerd door de beschenen atomen. Dit kon worden bewezen door het licht dat na beschijning door de atomen terug werd uitgezonden of geëmitteerd te analyseren. Het uitgezonden licht bestond immers uit de golflengten die in het doorgelaten licht ontbraken. Elk atoom wordt gekarakteriseerd door een aantal spectraallijnen, golflengten die worden geabsorbeerd door het atoom.

Bohr plaatste de elektronen daarom op vaste schillen om de kern. Een atoom kan maximaal 7 schillen bevatten. Deze kregen de namen K, L, M, N, O, P en Q waarbij de K-schil de schil is die zich het dichts bij de kern bevindt en Q-schil degene het verst van de kern verwijderd. Er werd gekozen om de schillen niet A, B, C, D, E, F en G te noemen omdat men toen vermoedde dat er nog meer aan de kern gelegen schillen zouden worden ontdekt. Dit bleek tot nu toe (nog) niet het geval te zijn.

De schillen werden genummerd van 1 tot 7. Dit nummer wordt het hoofdkwantumgetal van de schil genoemd. Algemeen wordt het hoofdkwantumgetal voorgesteld met het symbool n. Het maximaal aantal elektronen dat zich op een schil kan bevinden kan voor schillen K, L, M en N berekend worden met de formule: 2 × n² (met n de waarde van het hoofdkwantumgetal) Dit betekent:

• K: maximaal aantal elektronen: 2 × 1² = 2
• L: maximaal aantal elektronen: 2 × 2²= 8
• M: maximaal aantal elektronen: 2 × 3² = 18
• N: maximaal aantal elektronen: 2 × 4² = 32

Voor de schillen O,P en Q kan deze formule niet meer worden gebruikt. Deze schillen kunnen net als de N-schil maximaal 32 elektronen bevatten daar meer elektronen op éénzelfde baan zou zorgen voor een te grote afstoting tussen de negatief geladen elektronen.

Overzichtstabel

Het nevenkwantumgetal (l)

De wetenschapper Sommerfeld merkte op dat een lichtspectraallijn van een atoom vaak was opgesplitst in verschillende spectraallijnen dicht bij elkaar. Deze lagen zo dicht bij elkaar waardoor Bohr voordien dacht dat het één spectraallijn was. Sommerfeld deelde daarom de hoofdschillen van Bohr op in subschillen. Op basis van zijn experimenten stelde hij vast dat een hoofdschil maximaal kan opgesplitst worden in 4 subschillen. Hij benoemde de subschillen met de letters s, p, d en f waarbij de s-schil de subschil is die het dichtst bij de kern is gelegen en de f-schil deze welke het verst van de kern is verwijderd.

Het aantal subschillen per hoofdschil hangt af van het type hoofdschil:

• Een K-schil (n=1) is niet opgesplitst en bestaat dus uit één subschil: een s-subschil
• Een L-schil (n=2) is opgesplitst in twee subschillen: een s- en een p-subschil
• Een M-schil (n=3) is opgesplitst in drie subschillen: een s-, p- en d-subschil
• Een N-schil (n=4) is opgesplitst in vier subschillen: een s-, p-, d- en f-subschil

Ook de O-, P- en Q-schil zijn opgesplitst in de vier subschillen s, p, d en f

Net zoals de hoofdschillen een hoofdkwantumgetal(n) meekrijgen, krijgt een subschil een nevenkwantumgetal(l)

• s-subschil: nevenkwantumgetal l = 0
• p-subschil: nevenkwantumgetal l = 1
• d-subschil: nevenkwantumgetal l = 2
• f-subschil: nevenkwantumgetal l = 3

Omdat er in een atoom meerdere s-subschillen kunnen voorkomen (één op de K-schil, één op de L-schil, …) schrijft men voor de subschil steeds het hoofdkwantumgetal (bv. 1s: s-subschil of eerste subschil van de eerste hoofdschil; 3d: 3de subschil of d-subschil van de derde hoofdschil)

Het maximaal aantal elektronen per subschil kan gemakkelijk worden afgeleid met de kennis van het maximaal aantal elektronen op de hoofdschil.

• K-schil: Deze schil kan maximaal 2 elektronen bevatten en daar een K-schil alleen een s-subschil bevat, kan een s-subschil dus ook maximaal 2 elektronen bevatten.
• L-schil: Deze schil kan maximaal 8 elektronen bevatten. Daar een L-schil bestaat uit een s- en een p-subschil en we bovendien al weten dat een s-subschil maximaal 2 elektronen kan bevatten, kan een p-subschil maximaal 6 elektronen dragen.
• M-schil: Deze schil kan maximaal 18 elektronen bevatten. Daar een N-schil bestaat uit een s-, een p- en een d-subschil en we bovendien al weten dat een s-subschil maximaal 2 en een p-schil maximaal 6 elektronen bevat, kan een d-subschil maximaal 10 elektronen dragen.
• N-schil: Deze schil kan maximaal 32 elektronen bevatten. Daar een N-schil bestaat uit een s-, een p-, een d- en een f-subschil en we bovendien al weten dat een s-subschil maximaal 2, een p-subschil maximaal 6 en een d-subschil maximaal 10 elektronen bevat, kan een f-subschil maximaal 14 elektronen dragen.

Overzichtstabel

Verband hoofdkwantumgetal-nevenkwantumgetal

Het magnetisch kwantumgetal (m_l)

Wanneer een magnetisch veld wordt aangelegd, blijkt dat de subschillen zich nog verder zullen opsplitsen in magnetische subschillen. De subschillen splitsen zich op in volgende magnetische subschillen:

• Een s-subschil splitst zich niet op (dus één magnetisch subschil)
• Een p-subschil splitst zich op in 3 magnetische subschillen
• Een d-subschil splitst zich op in 5 magnetische subschillen
• Een f-subschil spltst zich op in 7 magnetische subschillen

Ook hier kan weer op basis van het maximaal aantal toegelaten elektronen in de subschillen worden afgeleid hoeveel elektronen er zich maximaal op een magnetisch subschil kunnen bevinden.

• s-subschil: Deze subschil kan maximaal 2 elektronen bevatten. Dit geldt dus ook voor de bijhorende magnetisch subschil.
• p-subschil: Deze subschil kan maximaal 6 elektronen bevatten. De 3 magnetische subschillen kunnen dus elk 2 elektronen bevatten.
• d-subschil: Deze subschil kan maximaal 10 elektronen bevatten. De 5 magnetische subschillen kunnen dus elk 2 elektronen bevatten.
• f-subschil: Deze subschil kan maximaal 14 elektronen bevatten. De 7 magnetische subschillen kunnen dus ook weer elk 2 elektronen bevatten.

Elk magnetische subschil, onafhankelijk tot welke subschil ze behoort, kan dus maximaal 2 elektronen bevatten.

Net zoals de hoofdschil en de subschil, krijgt de magnetisch subschil ook een kwantumgetal: het magnetische kwantumgetal m_l. Het magnetisch kwantumgetal is rechtstreeks gelinkt aan het nevenkwantumgetal, vandaar de l in de index.

• s-subniveau: l = 0 → m_l = 0
• p-subniveau: l = 1 → m_l = -1, 0, +1
• d-subniveau: l = 2 → m_l = -2, -1, 0, +1, +2
• f-subniveau: l = 3 → m_l = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3

Het spinkwantumgetal (m_s)

Naast de reeds besproken kwantumgetallen is er nog een vierde en laatste kwantumgetal: het spinkwantumgetal m_s.

Een elektron kan tijdens zijn beweging rond de kern op twee manieren rond zijn as draaien: met de wijzers van de klok mee (spin-up) of tegen de wijzers van de klok in (spin-down). De waarde van het spinkwantumgetal voor een elektron met spin-up is: m_s = +1/2, voor een elektron met een spin-down is de waarde m_s = -1/2.

Elektronen die beiden spin-up of spin-down om hun as draaien, stoten elkaar af. Elektronen die een tegengestelde spin vertonen, zullen elkaar, ondanks hun gelijke negatieve lading, aantrekken. Door het draaien om hun as zullen elektronen immers een magnetisch veldje genereren welke invloed heeft op een nabij gelegen elektron. Een bewegend elektron zal in een magnetisch veld een kracht ondervinden, de Lorentz-kracht.

De richting van deze Lorentz-kracht kan afgeleid worden met de rechterhandregel. Met je duim, wijsvinger en middelvinger kan je een driedimensioneel assenstelsel voorstellen. Door je wijsvinger in de richting van de stroom I (tegengestelde richting van de beweging van een elektron) en je middelvinger in de richting van het magnetisch veld te richten, zal je duim automatisch de richting van de Lorentz-kracht aanduiden.

Twee elektronen met een tegengestelde spin, zullen beiden onderhevig zijn aan een Lorentz-kracht welke gericht is naar het andere elektron toe wat dus resulteert in een aantrekking tussen beide elektronen.

Het uitsluitingsprincipe van Pauli

De toestand van een elektron kan dus worden voorgesteld door vier kwantumgetallen. Het uitsluitingspincipe van Pauli bepaalt dat in eenzelfde atoom nooit twee elektronen met vier dezelfde kwantumgetallen kunnen bestaan. Dit betekent dus ook dat in een magnetisch orbitaal, waar er zich maximaal 2 elektronen kunnen bevinden, de spinkwantumgetallen niet gelijk mogen zijn. Dit is logisch daar elektronen met gelijke spin en dus met gelijk spinkwantumgetal elkaar afstoten.

Orbitaaltheorie en het verband met de kwantumgetallen

Aan het begin van de 20ste eeuw werd er overgestapt van de schillentheorie naar de orbitaaltheorie. Met de schillentheorie was het immers niet mogelijk om alle aspecten van een chemische binding te verklaren. In die tijd had men reeds weet van het duaal karakter van een foton (een lichtdeeltje). Een foton vertoont immers zowel het gedrag van een golf als van een deeltje. De wetenschapper De Broglie stelde zich in 1922 daarom de vraag of een elektron misschien niet hetzelfde duaal gedrag vertoont. Dat een elektron zich gedraagt als een deeltje, werd sowieso aangenomen maar dat een elektron ook golfeigenschappen zou vertonen, was toen iets nieuws. De vraag werd dan ook gesteld dat indien dit zo zou zijn, een elektron zich wel op een vaste baan zou kunnen bewegen. De wetenschapper Heisenberg bouwde verder op de theorie van De Broglie en kwam tot zijn onzekerheidsprincipe:
Men kan niet tegelijkertijd de plaats en de snelheid van een elektron berekenen en te weten komen:

• Ofwel kent men de plaats goed, maar weet men heel weinig over de snelheid van het elektron
• Ofwel kent men de snelheid goed, maar weet men heel weinig over de plaats van het elektron.

De exacte plaatsbepaling van een elektron is dus niet mogelijk, waardoor men beter een gebied kan onderzoeken waar naar alle waarschijnlijkheid een elektron kan worden aangetroffen. De wetenschapper Schrödinger volgde Heisenberg hierin en hij ontwikkelde een formule, de golffunctie, waarvan het kwadraat de waarschijnlijkheid weergeeft waarmee een elektron in een bepaalde zone kan worden aangetroffen. Dit kwadraat van de golffunctie noemt men een orbitaal. Een orbitaal is een ruimte waar de kans 95% is dat je een elektron horende bij dit orbitaal in deze ruimte zal aantreffen.

Verband met het hoofdkwantumgetal

Het hoofdkwantumgetal geeft aan op welke hoofdschil het elektron zich bevindt volgens het atoommodel van Bohr. Hoe hoger het hoofdkwantumgetal, des te verder het elektron zich van de kern bevindt. De straal van de K-schil is dus kleiner dan die van de L-schil, welke op zijn beurt een kleinere straal heeft dan de M-schil enzoverder. Berekeningen door Schrödinger bevestigde dit gegeven. Het orbitaal horend bij een groter hoofdkwantumgetal heeft inderdaad een groter volume.

Verband met het nevenkwantumgetal

Het verschil in energie tussen de subschillen van eenzelfde hoofdschil is zeer klein. Op het emissiespectrum zijn ze bijna niet van elkaar te onderscheiden. Het is daarom dat Bohr ze in het begin dus niet kon onderscheiden. De vergelijking van Schrödinger toont aan dat de vorm van een orbitaal afhangt van nevenkwantumgetal.

• Een elektron welke zich op een s-subschil bevindt en dus een nevenkwantumgetal van 0 heeft, bevindt zich volgens de orbitaaltheorie van Schrödinger in een bol.
• Een elektron op een p-subschil met een nevenkwantumgetal van 1, bevindt zich volgens de orbitaaltheorie van Schrödinger in een halter.
• Elektronen op een d- of f-orbitaal met nevenkwantumgetallen 2 of 3, bevinden zich volgens de orbitaaltheorie van Schrödinger in meer complexe orbitalen.

Verband met het magnetisch kwantumgetal

Bij het aanleggen van een magnetisch veld blijkt dat orbitalen een verschillende oriëntering kunnen hebben.

• Een s-subschil heeft slechts één magnetische subschil. Een s-orbitaal heeft dan ook de vorm van een bol. Een bol kan zich immers slechts op één manier oriënteren in de ruimte. Van welke kant je een bol ook bekijkt, hij zal er steeds hetzelfde uitzien.
• Een p-subschil heeft drie magnetische subschillen. Dit betekent dat het p-orbitaal, de halter zich op drie manieren kan oriënteren in de ruimte namelijk volgens de x-, y- en z-as.
• Een d-subschil heeft vijf magnetische subschillen. Dit betekent dat het d-orbitaal zich op 5 manieren kan oriënteren in de ruimte.
• Een f-subschil heeft 7 magnetische subschillen. Dit betekent dat het f-orbitaal zich op 7 manieren kan oriënteren in de ruimte.

Samenvattend schema van de kwantumgetallen en de orbitalen