InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > De inhoud van een bol

De inhoud van een bol

De inhoud van een bol De Griekse uitvinder Archimedes -tevens wiskundige- berekende lang geleden als eerste correct de inhoud van een bol. Deze inhoud blijkt samen te hangen met de inhoud van een kegel en de inhoud van een cilinder. Archimedes rekende ook met de uitputtingsmethode, die de basis vormde voor de integraalrekening. De integraalrekening werd pas in de 17e eeuw voltooid door Newton en Leibnitz.

Inhoud = 4/3 π r ³

Tegenwoordig kunnen we met integraalrekening snel de inhoud van een bol bepalen. Daar is wel een integraal over drie variabelen (x, y, z) of (r, Φ, Θ) voor nodig. Hoe deed Archimedes het?

Inhoud afschatten

Stel we willen de inhoud van een bol met straal r weten. De inhoud van de volgende figuren is bekend:

 (2 kegels ≈ 2 r ³) <-----> (2 cilinders ≈ 6 r ³)<BR>
 / Bron: Tronic (2 kegels ≈ 2 r ³) <-----> (2 cilinders ≈ 6 r ³)
/ Bron: Tronic
  • een kegel - straal r, hoogte r ------ inhoud = 1/3π r ³
  • een cilinder - straal r, hoogte r --- inhoud = π r ³
  • (een kubus - ribbe 2r --------------- inhoud = 8 r ³)

Deze inhouden kunnen we gebruiken om de inhoud van een bol te benaderen.

Met een beetje redeneren komen we al snel tot de ontdekking dat de inhoud van een bol ergens tussen die van twee kegels (2 * 1/3π r ³) en een cilinder met hoogte 2r (2 * π r ³) in moet zitten, een klein beetje afronden en schatten levert (2/3πr ³ ≈ 2 r ³) en (2πr ³ ≈ 6 r ³).

  • 2 r ³ ‹ inhoud bol ‹ 6 r ³

inhoud grafisch bepalen

Bron: ArchimedesBron: Archimedes
Een van de dingen die Archimedes ontdekte is de relatie tussen cilinder-, kegel-, en bolinhoud.

Stel we zetten de kegel op z'n kop met daarnaast een halve bol. De straal en hoogte van beide figuren is r.
Dan doorsnijden we ter hoogte h de kegel en bol door met een plat vlak. We krijgen dan 2 snijcirkels; sc1 donkerblauw (snijcirkel van de kegel) en sc2 lichtblauw (snijcirkel van de halve bol) - zie figuur.

Bron: ArchimedesBron: Archimedes
  • het oppervlak sc1 = π h ²
  • het oppervlak sc2 = π a ² = π [ √(r ² - h ²) ] ² = π (r ² - h ²)

Bij elkaar opgeteld : oppervlak sc1 + sc2 = π r ²

= oppervlak van het grondvlak van de cilinder.

Bron: ArchimedesBron: Archimedes
Dit geldt voor elke hoogte h, de kegel is even hoog als de halve bol. Inhoud = hoogte * oppervlak dus:

  • inhoud kegel + inhoud halve bol = inhoud cilinder met hoogte r

voor de inhoud van een bol vinden we dan:

inhoud bol = 2 * [ inhoud(cilinder) - inhoud(kegel)] = 2 * 2/3π r² = 4/3π r ³

inhoud bol = 4/3π r ³

controle

  1. dit komt in ieder geval overeen met de afschatting : (2/3π r ³ ≈)2 r ³ ‹ inhoud ‹ 6 r ³ (≈ 2π r ³)
  2. de volume-integraal ∫∫∫ dr dΦ dΘ komt op dezelfde oplossing uit

Controle met bolcoördinaten

Bron: TronicBron: Tronic
In plaats van met het rechthoekige (x, y, z) stelsel te rekenen, kunnen ronde figuren zoals een bol of cilinder ook eenvoudig uitgedrukt worden met de bolcoördinaten (r, φ, Θ). De variabele r geeft de grootte van straal r aan ten opzichte van een middelpunt of middellijn.
De variabelen φ en Θ drukken allebei een hoek uit; we stellen ons een lijn voor die van de oorsprong naar een zeker punt A op een bol loopt.

  • punt A wordt aangeduid met (ra, φa, Θa)

De bol waarop A ligt heeft straal ra; hoek Θ kan draaien tussen (0...2π) en φ tussen (0...π) hebben. Stel de inhoud van de een bol is V. Voor een heel klein stukje bol kan ook dV geschreven worden:

  • dV = r ² sin(φ) dφ dΘ dr

Om de totale inhoud van een bol te vinden moet geintegreerd worden van (r = 0..R), voor de hoeken van (Θ = 0...2π) en (φ = 0...π):

V = ∫ dV = ∫ ∫ ∫ r ² sin(φ) dφ dΘ dr = 1/3 R ³ [Θ] [-cos(φ)] = 1/3 R ³ [2π - 0] [- (cos(π) - cos(0)) ] = 4/3 π R ³

Inhoud aardbol

Op internet is te vinden dat de omtrek -bij de equator- van de aarde ongeveer 40.075 [km] bedraagt. Delen door 2π levert straal r.

  • r = 40.075 / 2π = 6381 [km]
  • Inhoud = 4/3 π (6381 km) ³ = 1,09 * 10E12 [km ³]

Dit is een benadering van de werkelijke waarde, want in werkelijkheid is de aarde geen perfecte bol.
© 2014 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Uitvinders & ArchimedesUitvinders & ArchimedesArchimedes is bij velen vooral bekend van de uitroep Eureka. U weet wel, in bad gedaan. Maar hij deed veel meer. Elke da…
Computerpioniers: Gottfried Wilhelm (von) LeibnitzComputerpioniers: Gottfried Wilhelm (von) LeibnitzGottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716) was een briljant onderzoeker en wetenschapper op een breed aantal terreinen.…
Einstein algemene relativiteitEinstein algemene relativiteitIn 1915 publiceerde Albert Einstein de algemene relativiteitstheorie. De ideeën van Newton over de zwaartekracht werden…
Meridianen, ijkpunten voor tijd- en plaatsbepalingReeds aan het begin van onze jaartelling bracht Claudius Ptolemaeus (87-150 n.Chr.) de tot dan toe bekende wereld in kaa…
Pi, getallen tot in het oneindigePi, getallen tot in het oneindigeHet getal Pi, oneindig gebruikt in de wiskunde, met oneindig veel decimalen achter de komma. Wat is ‘het geheim’ achter…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Archimedes
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Archimedes
  • Afbeelding bron 3: Archimedes
  • Afbeelding bron 4: Archimedes
  • Afbeelding bron 5: Tronic

Reageer op het artikel "De inhoud van een bol"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 16-01-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 6
Schrijf mee!