InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Wiskunde Taylor

Wiskunde Taylor

De Taylorreeks is een methode om een functie f(x) te benaderen rond een bepaald punt (x=xp). De functie f(x) wordt geschreven als som van een aantal afgeleides van f(x); dit noemt men ook wel een polynoom. De schrijfwijze f(x) = f(a) + (x-a)/1! f '(a) .....+ (x-a)^n /n! f n (a) levert een benadering van f(x) voor het punt (x=a). De Taylormethode levert vaak een functie op waarmee eenvoudiger te rekenen valt.

Polynoom

Een polynoom is de wiskundige benaming voor een veelterm:

  • p(x) = a0 + a1 x + a2 x² + a3 x³ + ..... + an x^n

Polynomen zijn gemakkelijk te bewerken. Operaties zoals vermenigvuldigen met een ander polynoom, ontbinden in factoren, differentiëren, en integreren zijn eenvoudig uit te voeren. Stel een polynoom p(x) = x² + 3x + 2, dan

  • p ' (x) = 2x + 3
  • ∫ p(x)dx = 1/3 x³ + 3/2 x² + 2x + c
  • p(x) / (x + 1) = (x + 2) ↔ p(x) = (x + 1)(x + 2)

De laatste uitdrukking kan worden bepaald met een staartdeling:

(x + 1) / x² + 3x + 2 \ x + 2
............. x² + x
......................2x + 2
......................2x + 2

Taylor

Het kan voordelig zijn om een functie f(x) rond een bepaald punt om te zetten in een polynoom. Daarna kan men bovengenoemde bewerkingen uitvoeren op de functie. De Taylorreeks van f(x) rond punt (x=a) is:

Bron: TaylorBron: Taylor
  • f(x) = f(a) + (x-a)/1! f '(a) + (x-a)² /2! f ''(a) + (x-a)³ /3! f '''(a) +......+ (x-a)^n /n! f n (a)

(f n staat voor de n-de afgeleide van f(x))

voorwaarde: f(x) is n maal differentieerbaar

De eerste afgeleide f '(a) maal een stukje Δx levert een stukje Δy -zie figuur. Omdat:

  • f '(a) ≈ Δy / Δx Ι (x-a) ↔ Δy = f '(x) (x-a)

zal de functie (boven) f(x) benaderen voor x in de buurt van a.

De benadering van f(x) wordt nauwkeuriger door meerdere termen met hogere afgeleiden te nemen.

standaard tayorreeksen

Enkele taylorreeksen van bekende functies rond het punt (x=0) zijn:

functieTaylorreeks rond (x=0)
e^x1+ x + x²/2 + x³/6 + ....
a^x1+ ln(a) x + ln(a)²/2 x² + ln(a)³/6 x³ + ....
sin(x)x - x³/6 + x^5/120 + ....
cos(x)1 - x²/2 + x^4/24 + ....



Voorbeelden

Bron: TronicBron: Tronic
1. De hoek θ = 5°. Gevraagd sin(θ).
Omschrijven naar pi-radialen: θ = 5° = 5/360 2π ≈ 0,03π
θ is zeer klein, daarom stellen we θ ≈ 0. Dan kunnen we Taylor gebruiken voor sin(θ) rond (θ=0):

  • sin(θ) = θ - θ³/6 + θ^5/120 + .... ≈ θ = 0,03π

Bron: TronicBron: Tronic
2. Hoeveel is ∫ 1/(1-x) dx tussen de grenzen (x=-1/2) en (x=0)?
1/(1-x) rond (x=0) is te schrijven als 1 + x + x² + x³ + x^4 + .....

∫ 1/(1-x) dx = ∫ (1 + x + x² + x³ + x^4) dx = [ 1/2x² + 1/3x³ + 1/4x^4 + .... ] | (x=-1/2) en (x=0)
= [ 1/2(-1/2)² + 1/3(-1/2)³ + 1/4(-1/2)^4 ] - 0
= [ 1/2(-1/2)² + 1/3(-1/2)³ + 1/4(-1/2)^4 ]

(De standaardoplossing in geval 2 is ∫ 1/(1-x) dx = - ln(1-x) | (x=-1/2) en (x=0) = -ln(3/2) + ln(1). De taylorreeks wordt gebruikt in gevallen waar een standaardoplossing niet zomaar voorhanden is).
© 2014 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Wiskunde de afgeleide en differentiërenWiskunde de afgeleide en differentiërenDe afgeleide van een functie f(x) geeft ons informatie over hoe snel de functie stijgt of daalt in een zeker punt (x,y).…
Stromingen organisatiekunde: klassieke organisatiekundeStromingen organisatiekunde: klassieke organisatiekundeDe klassieke organisatiekunde gaat voornamelijk over de rol van de manager in een formele hiërarchie binnen een organisa…
Ladbrokes.com World Darts ChampionshipDe Ladbrokes.com World Darts Championship is hét belangrijkste dartstoernooi van de PDC. De winnaar mag zich een jaar la…
Wiskunde breuksplitsenWiskunde breuksplitsenBreuksplitsen is een methode uit de wiskunde om een bepaalde breuk eenvoudiger te maken voor verdere bewerking. Het word…
Wiskunde functies introductieWiskunde functies introductieFuncties en grafieken vormen een hoofdbestanddeel van de wiskunde. Wat zijn functie's en hoe worden ze gebruikt? Een fun…
Bronnen en referenties
  • Afbeelding bron 1: Taylor
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic

Reageer op het artikel "Wiskunde Taylor"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 08-01-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 3
Schrijf mee!