InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Vectoren, inproduct en uitproduct

Vectoren, inproduct en uitproduct

Vectoren, inproduct en uitproduct Een vector wordt in de wiskunde gebruikt om een pijl -met een grootte en een richting- aan te geven. Om te kunnen rekenen met vectoren, moeten rekenregels ingevoerd worden, zodat bijvoorbeeld het optellen en aftrekken van twee vectoren mogelijk wordt. Voor het product van twee vectoren kunnen we het inproduct en het uitproduct gebruiken; beide producten hebben aparte eigenschappen.

Vector

De meest gebruikelijke manier om onze driedimensionale ruimte R3 weer te geven, is met behulp van een Cartesisch coördinatenstelsel. De drie assen van dit stelsel - x, y, z - staan loodrecht op elkaar.

-fig 1- / Bron: Tronic-fig 1- / Bron: Tronic
In R3 heeft elk punt een coördinaat (x, y, z).

Zie figuur 1, punt A wordt aangegeven als onderdeel van R3: A(xa, ya, za).
Wanneer we een pijl trekken van de oorsprong O(0, 0, 0) naar A, kunnen we zeggen:

  • vector a = [xa ya za]

Tussen de [haakjes] staan de [richtingscoördinaten] van a. Deze vector heeft de lengte (ook wel grootte of 'norm' genoemd):

  • lengte = || a || = √ (xa² + ya² + za²)

- fig 2- / Bron: Tronic- fig 2- / Bron: Tronic
Meerdere vectoren samen kunnen een vectorruimte definiëren. Twee vectoren a en b optellen levert een nieuwe vector c:

  • c = a + b = [xa ya za] + [xb yb zb] = [(xa+xb) (ya + yb) (za + zb)]

Door vectoren op te tellen ('kop-staart leggen'), kunnen oppervlakken en inhouden (3D-figuren) worden aangeduid. Als een vector vermenigvuldigd wordt met een getal, wordt de vector langer (of korter).

Inproduct

Het inproduct (a b) van twee vectoren is een getal. Het geeft informatie over de hoek tussen a en b (of: in hoeverre wijzen twee vectoren naar hetzelfde punt?).

(a b) = de lengte van de loodrechte projectie van a op b, maal lengte b

-fig 3-<BR>
Inproduct, loodrechte projectie <U>a</U> op <U>b</U><BR>
 / Bron: Tronic-fig 3-
Inproduct, loodrechte projectie a op b
/ Bron: Tronic
Het inproduct kan worden uitgeschreven als functie van de richtingcoördinaten of als functie van de hoek Φ tussen a en b, zie figuur 3.

  • (a b) = (xa*xb) + (ya*yb) + (za*zb)
  • (a b) = ||a|| ||b|| cos(Φ)

Φ(a, b) = 0(a b) = maximaal = ||a|| ||b||
Φ(a, b) >>(a b) <<
Φ(a, b) = 90(a b) = 0

Als de hoek Φ onbekend is, kan het inproduct gebruikt worden om Φ te bepalen:

  • Φ = arccos [ (a b) / (||a|| ||b|) ]

Uitproduct

Het uitproduct (a x b) van twee vectoren is weer een vector. De vector (a x b) staat loodrecht op zowel a als b. De lengte van deze vector geeft aan hoeveel oppervlak het parallellogram heeft, dat opgespannen wordt door a en b (zie figuur 4).

lengte (a x b) = oppervlak parallellogram, opgespannen door a en b

- fig 4-<BR>
Uitproduct <U>a</U> x <U>b</U> (klik=vergroting)<BR>
 / Bron: Tronic- fig 4-
Uitproduct a x b (klik=vergroting)
/ Bron: Tronic
Het uitproduct kan worden uitgeschreven als functie van de richtingcoördinaten of als functie van de hoek Φ tussen a en b.

  • (a x b) = determinant [(x,y,z), a, b] = [ (ya zb - yb za) (-xa zb + xb za) (xa yb - ya xb) ]
  • |(a x b)| = ||a|| ||b|| sin(Φ)

Φ(a, b) = 0, (Φ=180)|(a x b)| = 0
Φ(a, b) >>|(a x b)| >>
Φ(a, b) = 90|(a x b)| = maximaal = ||a|| ||b||


Perkenwet van Kepler

- fig 5-<BR>
ellipsvormige baan aarde<BR>
 / Bron: Kepler- fig 5-
ellipsvormige baan aarde
/ Bron: Kepler
Perkenwet
Een voorbeeld van het gebruik van het uitproduct is de afleiding van de perkenwet van Kepler. Zie figuur 5 (klik voor vergroting), de aarde draait in een ellipsvormige baan om de zon; de zon staat hierbij in een van de brandpunten van de ellips.

In de 16-de eeuw stelde Kepler dat de oppervlaktes van de driehoeken op (een gedeelte van) de ellips, die omsloten worden door de baan van de aarde, voor gelijke tijdsperioden gelijk zijn.

Oppervlak(t1) = oppervlak(t2), t1 = t2, de aarde heeft in periode t1 een hogere baansnelheid dan in de even lang durende periode t2 (daar is de baansnelheid lager).

-fig 6- / Bron: Tronic-fig 6- / Bron: Tronic
Als de beweging van de aarde wordt beschreven met vectoren, kan de perkenwet bewezen worden. Stel de vector r(t) wijst naar het punt waarop de aarde zich bevindt op tijdstip t; de baansnelheid van de aarde wordt weergegeven door de vector v(t).

Het uitproduct (r(t) x v(t)) geeft de grootte aan van het parallellogram dat opgespannen wordt door deze twee vectoren (figuur 6 en 7).

Voor de snelheid v(t) is ook te schrijven:
  • v(t) = lim Δt->0 [r(t+Δt) - r(t)] / Δt
  • ...r(t+Δt) en -r(t) kop/staart leggen..
  • ...levert een vector op die loodrecht de baan staat..
  • r'(t) = d r(t)/dt = v(t)

-fig 7-<BR>
de helft van het parallellogram<BR>
 / Bron: Tronic-fig 7-
de helft van het parallellogram
/ Bron: Tronic
Differentiëren van r(t) x v(t) levert:
(r(t) x v(t)) ' =
r'(t) x v(t)
r(t) x v'(t) +
--------------
v(t) x v(t)
r(t) x v'(t) +
--------------
..0 + 0 = 0

  • v(t) x v(t) = 0, het uitproduct van een vector met zichzelf is nul
  • r(t) x v'(t) = r(t) x a(t) = 0, de versnelling a(t) wijst in de dezelfde (tegengestelde) richting als r(t) (Φ=180)

In een stukje Δt heeft de aarde een oppervlak op de ellips omsloten van 1/2 * opgespannen parallellogram (= driehoek). De verandering in het oppervlak per eenheid Δt moet dan zijn: 1/2 |(r(t) x v(t))|.

Voor een heel klein stukje oppervlak geldt: O = 1/2 |(r(t) x v(t))| * Δt.
  • r(t) x v(t) is een vector met constante lengte, want (r(t) x v(t))' = 0 (de grootte varieert niet)
  • |(r(t) x v(t))| ook constant, dus voor elk stuk Δt moet O gelijk zijn

Newton

Newton leidde uit de perkenwet de gravitatiewet af:

  • F = G * m1 * m2 / r²

De zwaartekracht tussen aarde en zon hangt af van onderlinge massa's (m1 en m2) en de straal (van de baan/ellips) in het kwadraat:

  • m1, m2 = massa's van beide lichamen [kg]
  • G = gravitatieconstante = 6,67 * 10E-11 [Nm²/kg²]
  • F = kracht [N]
© 2014 - 2017 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Elektromagnetisme: LorentzElektromagnetisme: LorentzEen elektrische stroom in een magnetisch veld wekt een kracht op; dit is vastgelegd in de wet van Lorentz. De Nederlands…
Complexe getallenComplexe getallenIn het dagelijks leven rekenen we met getallen uit de reële verzameling R. Complexe getallen, of getalparen, zijn een ui…
Vector tekenen met Inkscape, superieurVector tekenen met Inkscape, superieurInkscape is niet een gewoon tekenprogramma, maar een open source vector tekenprogramma. Inkscape is zeer vooruitstrevend…
Afrikaanse paardenpestAfrikaanse Paardenpest (Engels: African Horse Sickness) is een virusziekte die vooral voorkomt bij paarden en paardachti…
Gentherapie, science fiction?Gentherapie, science fiction?Hoewel gentherapie een veelbelovende behandeling is voor veel genetische ziekten. Blijven de technieken riskant en is er…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: Tronic
  • Fundamental Physics 1, Mechanics, Alonso, Finn, 1986
  • Wiskunde II lessen, Baudartius college, Weenink
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic
  • Afbeelding bron 4: Tronic
  • Afbeelding bron 5: Kepler
  • Afbeelding bron 6: Tronic
  • Afbeelding bron 7: Tronic

Reageer op het artikel "Vectoren, inproduct en uitproduct"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 07-10-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 10
Schrijf mee!