InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Wiskunde periodieke functies

Wiskunde periodieke functies

Wiskunde periodieke functies Een functie die zichzelf herhaalt na een zeker interval (periode) noemt men een periodieke functie. Iedere dag hebben we te maken met regelmaat en herhaling van de natuur; per etmaal wordt het een keer dag en een keer nacht, per dag wordt het twee keer eb en vloed. De manier om periodieke functies in de wiskunde te beschrijven is met functies zoals sinus en cosinus, sin(x) en cos(x).
-fig 1-<BR>
cirkelbeweging met straal = 1<BR>
- klik voor vergroting - / Bron: Tronic-fig 1-
cirkelbeweging met straal = 1
- klik voor vergroting - / Bron: Tronic

Periodiek

De eenvoudigste manier om in een vlak af te beelden dat bepaalde toestanden zich met dezelfde regelmaat herhalen, is met een (eenparige) cirkelbeweging - zie figuur 1. Wanneer we rond de cirkel lopen, komen we op zeker moment weer op het beginpunt uit.

Een punt op een cirkel met straal 1 beweegt zich met constante snelheid over de cirkel. De omtrek van de cirkel = 2πr = 2π. De hoek ß geeft aan hoever de beweging gevorderd is; bij (ß = 180º -> afgelegde weg = π) is het punt halverwege de cirkel, bij (ß = 180º -> 2π) is het beginpunt weer bereikt.

Met een stippellijn houden we de y-coördinaat van het punt bij.

  • sin(x) = y-coördinaat van de (eenparige) cirkelbeweging met straal (r = 1)

-fig 2- sin(x) / Bron: Tronic-fig 2- sin(x) / Bron: Tronic

sin(x) en cos(x)

Periodieke functies herhalen zichzelf met dezelfde regelmaat; voor iedere x geldt dat na een vast interval - of periode P - de functie f(x) weer dezelfde waarde aanneemt.

In wiskundige taal: f (x) = f (x + P).

De periode P van de sinus- en cosinus-functie is gelijk aan 2π, dus:

  • sin(x + 2π) = sin(x)
  • cos(x + 2π) = cos(x)

-fig 3- cos(x) / Bron: Tronic-fig 3- cos(x) / Bron: Tronic
De cosinusfunctie neemt dezelfde waarden aan als de sinus; de cosinus ontstaat door een sinus een 1/2π naar achteren te verschuiven:

  • cos(x) = sin(x + 1/2π)

De sinus en cosinus zijn familie van elkaar, alleen het beginpunt verschilt.

y-waarden in tabelvorm

functie01/4π (45º)1/3π(60º)1/2π(90º)π(180º)3/2π (270º)2π (360º)
sin(x)01/2√21/2√310-10
cos(x)11/2√21/20-101

belangrijke eigenschappen van sin(x) en cos(x)

  • -1 ≤ sin(x) ≤ 1
  • -1 ≤ cos(x) ≤ 1
  • sin²(x) + cos²(x) = 1
  • sin(-x) = - sin(x)
  • cos(-x) = cos(x)

Geluid en trillingen

Trillingen en audiosignalen

Periodieke functies worden vaak gebruikt om signalen of trillingen te beschrijven. Stel een trilling herhaalt zich na de periodetijd T; we schrijven voor 'x' (2π t/T). De kleine t is de tijd.

  • functie g(t) = sin(2π t/T)

Deze functie herhaalt zich (1/T) keer per seconde, of de frequentie van deze functie is f = 1/T [Hz]. De functiewaarde op een tijdstip (t) noemt men ook wel amplitude. De trillingfunctie met amplitude U0 wordt dan:

  • functie g(t) = U0 * sin(2π t/T) = U0 * sin(2π f t)

-fig 4- periodiek signaal / Bron: Tronic-fig 4- periodiek signaal / Bron: Tronic
Opgetelde periodieke functies
In de praktijk blijkt dat veel verschijnselen zoals audio- of spraaksignalen nooit een perfecte sinusfunctie zijn, maar een som van een heleboel periodieke functies met allemaal verschillende frequenties.

Als frequenties in een signaal een veelvoud zijn van de basis- of grondfrequentie spreekt men ook wel van 'harmonischen'. Zie de figuur 4- het is duidelijk te zien dat dit een periodiek signaal, na ongeveer 9 à 10 tijdeenheden herhaalt het signaal zich.

-fig 5- / Bron: Tronic-fig 5- / Bron: Tronic
Wanneer men dit signaal analyseert, blijkt dat het een optelsom is van 3 periodieke functies (figuur 5), met elk een even grote amplitude. De grondfrequentie f0 is 110 [Hz]; daarnaast zijn er twee andere componenten: 2*f0 en 3*f0, respectievelijk 220 en 330 [Hz].

Het oorspronkelijke signaal kunnen we ook schrijven als:

  • f (t) = U0 [ sin(110 * 2π t) + sin(220 * 2π t) + sin(330 * 2π t) ]
© 2015 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
De lengte van een zijde van een driehoek berekenenOp de middelbare school krijg je vaak les over de cosinus, de sinus en de tangens. Aan de hand van twee lengtes van een…
Goniometrie - theorie en voorbeeldenGoniometrie - theorie en voorbeeldenIn de technische wiskunde wordt veel gewerkt met vaardigheden zoals algebra en meetkunde. Zo moeten functies gelijk zijn…
Wiskunde - radialenWiskunde - radialenWanneer je aan de slag gaat met cirkels wordt al snel met het begrip 'radialen' gewerkt. De radiaal is een maat om aan t…
Samenstellen en ontbinden van krachtenSamenstellen en ontbinden van krachtenStelsels van krachten, die gelegen zijn in één vlak en aangrijpen in één punt, kan men vervangen door één daaraan gelijk…
Hoeken berekenen met de cosinusOp de middelbare school krijgt bijna elke leerling te maken met het berekenen van hoeken. De een krijgt dit eenvoudig do…
Bronnen en referenties
  • L. A. Reichard (auteur Getal & Ruimte)
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic
  • Afbeelding bron 4: Tronic
  • Afbeelding bron 5: Tronic

Reageer op het artikel "Wiskunde periodieke functies"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 28-12-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 6
Schrijf mee!