InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Edgar E. Escultura en de ongelijkheid van 1 en 0,999

Edgar E. Escultura en de ongelijkheid van 1 en 0,999

Iemand die zich de al jaren met de 0,999... kwestie bezig houdt is Edgar E. Escultura. Hij meent dat de gebruikelijke rekenkunde niet kan kloppen omdat 0,999... duidelijk kleiner dan 1 zou zijn. Daarom propageert hij een eigen getallensysteem waarin het verschil tussen 1 en 0,999... als 'dark number' d* aangeduid wordt. Helderheid is niet Escultura's sterkste kant, maar hij snijdt interessante punten aan.

Opschudding

Op 5 mei 2005 verscheen in The Manila Times een stuk over een vermeende revolutionaire vondst van de Filippijnse professor Edgar E. Escultura. Het betrof de zogeheten Laatste Stelling van Fermat. Deze stelling (eigenlijk een vermoeden omdat Fermat het bewijs er niet bij leverde) is pas sinds kort bewezen door de Britse wiskundige Andrew Wiles. Professor Escultura meende nu dat het bewijs van Wiles niet deugde, en dat de stelling van Fermat niet eens waar was. Escultura zou zelfs tegenvoorbeelden hebben die de onjuistheid van Fermats Laatste Stelling bewezen [7]. Een nogal opmerkelijke claim omdat het bewijs van Wiles wereldwijd bewondering heeft gewekt. Maar geheel onmogelijk was Escultura's bewering niet. In het oorspronkelijke bewijs van Wiles (van 1993) zat immers ook een fout, die hij pas het volgende jaar (1994) wist te repareren.

Laatste Stelling van Fermat

De Laatste Stelling van Fermat klinkt simpel genoeg: de onderstaande vergelijking (1) zou volgens deze stelling geen oplossingen hebben voor natuurlijke getallen n groter dan 2 en positieve natuurlijke getallen a, b en c.

(1) an + bn = cn

Intuïtionisme en constructivisme

Escultura noemt geen specifieke punten waarop Wiles in de fout zou zijn gegaan. In plaats daarvan wijst hij op bekende punten van kritiek die reeds door de zogeheten intuïtionistische en constructivistische grondslagenstromingen binnen wiskunde tegen de reguliere wiskundebeoefening zijn ingebracht. De genoemde stromingen accepteren alleen begrippen en bewijzen waar men zich een duidelijke voorstelling bij kan maken. De wiskunde wordt gezien als een intellectuele activiteit van individuele mensen, en men accepteert daarom in principe enkel resultaten die concreet kunnen worden nagetrokken. Met name het werken met oneindig grote verzamelingen (die als voltooid en gegeven worden beschouwd) en het gebruik van indirecte bewijsvormen (waarbij het bestaan van wiskundige objecten wordt aangetoond zonder dat men voorbeelden kan geven), worden bekritiseerd. Harde bewijzen voor de ondeugdelijkheid van de reguliere wiskunde (in de vorm van logische tegenstrijdigheden) heeft men niet kunnen leveren. Toch valt voor de gegeven kritiek best iets te zeggen. We hebben immers vaak het meeste vertrouwen in begrippen en bewijzen waarvan ons de strekking en betekenis volstrekt helder zijn. Naarmate we ons meer op onbekend terrein begeven, en gaan redeneren over zaken waarvan we ons niet of nauwelijks een voorstelling kunnen maken, neemt ons vertrouwen in de gevonden resultaten af. Ook al is de logica van de bewijsvoering nog zo onberispelijk... Escultura's beschouwingen sluiten hierbij aan, maar voegen er niets aan toe. Zij maken een slordige en samengeraapte indruk, en bewijzen het intuïtionistische en constructivistische standpunt daarmee een slechte dienst. Ook meent Escultura zowat alle belangrijke problemen van de moderne wis- en natuurkunde te hebben opgelost. Zie bijvoorbeeld het werk van Escultura zelf [6], [7], [8] en [9]; zijn polemiek met Larry Freeman [10] en [11], en met de mensen van de Wikipedia [20]. Tenslotte laat Alecks P. Pabico in zijn stuk Anatomy of a hoax [16] weinig van Escultura's publieke optreden heel. Niettemin is een intuïtionistische of constructivistische wiskunde inderdaad mogelijk, hoewel daarbij delen van de gebruikelijke wiskunde komen te vervallen. Op dat gebied is al veel werk verricht. Een heldere uiteenzetting van de intuïtionistische en constructivistische positie geeft Mame Maloney van de University of Chicago in de prijs-winnende 'student paper': Constructivism: A Realistic Approach to Math? [14].

Escultura en Wiles

De kern van Escultura's claim is dat de gebruikelijke wiskunde - en dan met name de rekenkunde - niet deugt. Het bewijs van Wiles, hoe geavanceerd het ook is, beweegt zich binnen het kader van de reguliere wiskunde. Daarom zou het volgens Escultura ook niet in orde zijn. Als alternatief presenteerde Escultura zijn eigen getallensysteem: de nieuwe reële getallen. Voor deze nieuwe getallen zou de Laatste Stelling van Fermat onwaar zijn. Fermat heeft zijn stelling echter niet geformuleerd voor Escultura's nieuwe getallen maar voor de gebruikelijke positieve natuurlijke getallen: 1, 2, 3, 4, 5, ... Omdat intuïtionistische en constructivistische kritiek bovendien de mainstream wiskundige niet kunnen overtuigen, blijft er weinig revolutionairs over.

New real numbers

Escultura ziet zijn 'nieuwe reële getallen' (new real numbers) in wezen als rijtjes cijfers. Verder accepteert hij als uitgangspunt alleen die reële decimale getallen waarvan de cijfers in principe uitgerekend kunnen worden. Daaraan voegt hij nog twee extra objecten toe, te weten d* (dark number het verschil tussen 1 en 0,999...) en u* (unbounded number voor oneindige getallen). Hij meent met zijn nieuwe reële getallen een grote wetenschappelijke doorbraak te hebben bereikt. (Soms laat hij tevens nieuwe reële getallen toe met willekeurige cijfers. Dit staat haaks op zijn constructivistische stellingname, maar lijkt op de vrije keuzerijen van de Nederlandse intuïtionistische wiskundige L.E.J. Brouwer (1881-1966).)

Constructies

De studie van berekenbare getallen, functies en dergelijke is binnen de wiskunde al sinds jaar en dag een erkende tak van sport. Er bestaan verscheidene nauw met elkaar verbonden wiskundige specialismen die zich daarmee bezig houden. Zo zijn daar de recursietheorie, de theoretische informatica en de theorieën van de berekenbare en de constructieve analyse. Berekenbaarheid kan op verschillende manieren worden gedefinieerd, en er zijn op dit gebied al vele resultaten bewezen. Verder heeft de constructieve analyse - met name door het werk van de Amerikaanse wiskundige Errett Albert Bishop (1928–1983) - laten zien dat een flink stuk van de gebruikelijke analyse (integraal- en differentiaalrekening) op constructivistische wijze opnieuw kan worden opgebouwd (zie [2]). Wat ik van Escultura heb gelezen helpt deze tak van wiskunde niet verder.

Decimale getallen

De gedachte om de reële getallen in te voeren op basis van hun decimale representatie is evenmin nieuw. Al in het boek Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (uit 1885) [19], dl. I, pp. 97-124) van de Oostenrijkse wiskundige Otto Stolz (1842-1905) worden de reële getallen op een vergelijkbare manier geïntroduceerd. Hij beschouwt oneindige rijen rationale getallen:

φ0 , φ1 , φ2 , φ3 , ... , φn , ...

Met:

φ0 = c0
φ1 = c0 + c1 . 1/e
φ2 = c0 + c1 . 1/e + c2 . 1/e2
φ3 = c0 + c1 . 1/e + c2 . 1/e2 + c3 . 1/e3
...
φn = c0 + c1 . 1/e + c2 . 1/e2 + c3 . 1/e3 + ... + cn . 1/en
...

Waarbij c0 een geheel getal is; waarbij e het zogenaamde grondtal (een natuurlijk getal groter dan of gelijk aan 2) is; en waarbij c1 , c2 , c3 , ... , cn , ... de 'cijfers' (te kiezen uit 0, 1, 2, ... , e-1) zijn.

Als we werken in het decimale (oftewel tientallige) stelsel vinden we bijvoorbeeld voor het bekende getal π de oneindige rij rationale getallen:

φ0 = 3
φ1 = 3 + 1 . 1/10
φ2 = 3 + 1 . 1/10 + 4 . 1/100
φ3 = 3 + 1 . 1/10 + 4 . 1/100 + 1 . 1/1000
...

Of anders geschreven:

φ0 = 3
φ1 = 3,1
φ2 = 3,14
φ3 = 3,141
...

Stolz stelt vast dat zulke rijen voldoen aan de volgende eigenschap (E):

Voor ieder positief rationaal getal ε (hoe klein ook genomen) bestaat er een natuurlijk getal N zodanig dat:

│φn+ r - φn │ < ε voor alle natuurlijke getallen n > N en alle positieve natuurlijke getallen r.

De optelling en vermenigvuldiging van zulke oneindige rijen rationale getallen worden per term gedefinieerd. De som φ+ ψ en het product φ.ψ van onderstaande rijen:

φ = φ0 , φ1 , φ2 , φ3 , ... , φn , ...
ψ = ψ0 , ψ1 , ψ2 , ψ3 , ... , ψn , ...

zijn dus:

φ+ ψ = φ0+ ψ0 , φ1+ ψ1 , φ2+ ψ2 , φ3+ ψ3 , ... , φn+ ψn , ...
φ . ψ = φ0 . ψ0 , φ1 . ψ1 , φ2 . ψ2 , φ3 . ψ3 , ... , φn . ψn , ...

Twee van zulke oneindige rijen rationale getallen φ en ψ worden als gelijk gerekend dan en slechts dan wanneer er voor ieder positief rationaal getal ε (hoe klein ook genomen) een natuurlijk getal N bestaat zodanig dat:

│φn - ψn │ < ε voor n > N .

Door deze afspraak geldt ook in het systeem van Stolz dat 0,999... = 1. Vervolgens bewijst hij dat sommen en producten van zulke rijen rationale getallen ook zelf weer als decimale getallen kunnen worden geschreven. Op deze manier voortredenerend blijkt uiteindelijk dat de rijen rationale getallen met de eigenschap (E) als de reële getallen te kunnen worden beschouwd. De periodieke decimale getallen komen overeen met de rationale getallen en de niet-periodieke met de irrationale getallen.

Er bestaan ook moderne constructies van de reële getallen op basis van hun decimale (of binaire) representatie (zie [12], [13] en [15]). Ook hier dus niets nieuws onder de zon.

1 ≠ 0,999...

Blijft over dat Escultura meent dat 1 ongelijk is aan 0,999... . Deze twee getallen zijn binnen het gebruikelijke systeem van de reële getallen gelijk, en deze gelijkheid kan binnen dit systeem ook worden bewezen. Op het internet wemelt het echter van de discussies of 1 en 0,999... wel echt gelijk zijn. Toch kan dit niet worden afgedaan als een discussie van leken en pseudowiskundigen. De Amerikaanse wiskundige, computerwetenschapper en schrijver Rudy Rucker meldt in zijn populairwetenschappelijke boek Infinity and the Mind ([17] p. 79) de onderstelling van een oneindig klein (infinitesimaal) verschil tussen 1 en 0,999... helemaal zo gek nog niet te vinden. Jammer genoeg werkt hij dat niet verder uit. Op de Wikipedia [1] staat over de 0,999... kwestie een zeer uitgebreid en lezenswaardig lemma, met vele verwijzingen.

Conclusie

Escultura's beweringen en theorieën voegen - anders dan hij zelf denkt - niets wezenlijks toe aan wat anderen al eerder hebben gedaan. Dat hoeft niet erg te zijn. We kunnen niet allemaal aan de top staan. Wat echter wel hinderlijk is, zijn Escultura's slordigheid en zijn gebrek aan logica. Wis- en natuurkundige theorieën zijn op zich vaak al ingewikkeld genoeg. Wanneer de lezer dan ook nog moet puzzelen wat de schrijver met een bepaalde zin bedoelt, of welke (kennelijk verkeerd weergegeven) tekens ergens hadden moeten staan, wordt het verhaal al snel onbegrijpelijk. De meeste lezers haken dan af. Een enkeling zal zichzelf wellicht te dom vinden. Maar velen zullen er de voorkeur aan geven Escultura's werk als kennelijke onzin terzijde te schuiven. Escultura zal zijn opvattingen en theorieën daarom op een begrijpelijke wijze moeten formuleren - als hij althans nog een publiek over wil houden.
© 2009 - 2017 Bartholomeus, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
De winkansen bij de Lotto en Lucky DayDe Lotto en Lucky Day zijn twee van weinige in Nederland toegestane loterijen. De kans om een grote prijs te winnen is e…
De getallenverzameling der natuurlijke getallenDe getallenverzameling der natuurlijke getallenDeze verzameling getallen mag beschouwd worden als opgebouwd uit de eenvoudigste getallen die we kennen. Het zijn de get…
Rekenen met negatieve getallenRekenen met negatieve getallen is iets wat we al vroeg leren, maar door de jaren heen wordt dat steeds meer weg gestopt…
Oplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallenOplossen van vergelijkingen met de positieve gehele getallenEen wiskundige vergelijking bestaande uit positieve gehele getallen is een gelijkheid waarin een onbekende term x verwer…
De getallenverzameling der gehele getallenDe getallenverzameling der gehele getallenDe getallenverzameling der gehele getallen is een verdere uitbreiding van de getallenverzameling der natuurlijke getalle…
Bronnen en referenties
  • [1] 0.999... (http://en.wikipedia.org/wiki/0.999).
  • [2] Bishop, E A.(1967). Foundations of Constructive Analysis. New York: Academic Press.
  • [3] Computable Number. (http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_number).
  • [4] Construction of the Real Numbers. (http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers).
  • [5] Constructivist Analysis. (http://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_analysis).
  • [6] Escultura's website. (http://users.tpg.com.au/pidro/index.html).
  • [7] Escultura, E.E. (z.j.). Countably infinite counterexamples to Fermat's Last theorem.(http://web.archive.org/web/20041226090617/http://www.users.bigpond.com/pidro/counter-examplestoFLT1.htm).
  • [8] Escultura,E.E. (2001). Mathematics as Representation of Thought. (http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/2000617a_111.pdf).
  • [9] Escultura, E.E. (2006). flt-and-the-new-math-physics. (http://fltnewmathphysics.blogspot.com/2006/06/introduction.html).
  • [10] Freeman, L. (2005). Fermat's Last Theorem - Coprime Numbers. (http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/coprime-numbers.html).
  • [11] Freeman, L. (2006). False Proofs - E.E. Escultura. (http://falseproofs.blogspot.com/).
  • [12] Gowers, T. (2003). What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?(http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/decimals.html).
  • [13] Leviatan, T. (2004). Introducing Real Numbers: When and How? (http://www.icme-organisers.dk/tsg12/papers/leviatan-tsg12.pdf).
  • [14] Maloney, Mame. (2008). Constructivism: A Realistic Approach to Math? (http://www.homsigmaa.org/malc.pdf).
  • [15] McCullough, D. (2006). A sample of Rota’s mathematics. (http://www.math.ou.edu/~dmccullough/teaching/slides/rotamath.pdf).
  • [16] Pabico, A.P. (2005). Anatomy of a hoax. (http://www.pcij.org/blog/?p=73).
  • [17] Rucker, R. (1982). Infinity and the Mind. Boston: Birkhäuser.
  • [18] Schuh, F. (1927). Het getalbegrip, in het bijzonder het onmeetbare getal. Groningen: Noordhoff.
  • [19] Stolz, O. (1885/1886). Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (2 dln.). Leipzig: Teubner.
  • [20] Wiki - Talk: Fermat's Last Theorem/Archive1. (http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Fermat%27s_Last_Theorem/Archive_1).

Reageer op het artikel "Edgar E. Escultura en de ongelijkheid van 1 en 0,999"

Plaats een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Reactie

Bartholomeus (infoteur), 27-08-2009 19:11 #1
Voor een (Engelstalige) discussie over en met Escultura op reddit zie:

http://www.reddit.com/r/math/comments/93n3i/edgar_e_escultura_and_ the_inequality_of_1_and/

Infoteur: Bartholomeus
Laatste update: 04-07-2011
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 20
Reacties: 1
Schrijf mee!