InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Wiskunde integreren en oppervlakte

Wiskunde integreren en oppervlakte

Wiskunde integreren en oppervlakte Differentiëren en integreren zijn het hoofdonderwerp van de wiskunde, die ook wel calculus wordt genoemd. De afgeleide, 'differentiaal', geeft informatie over de helling van de functie f. De integraal geeft een indicatie van een zeker 'totaal', dat een functie f(x) in de x-richting heeft bewerkstelligd. Voor het bepalen van een integraal, moet je aan het oppervlak tussen de functie f en de horizontale as denken. Het oppervlak kunnen we ook zien als oneindig veel opgetelde kleine oppervlaktes, voor optellen gebruiken we de tekens: ∑ en ∫ .

De integraal

Het bepalen van de integraal van een zekere functie wordt integreren genoemd. Integreren is een van de belangrijkste wiskundige operatie's die in de wetenschap worden gebruikt. Het werd ongeveer gelijktijdig uitgevonden in de 17e eeuw door Leibniz en Newton.

> voorbeeld van integraalrekening
Wanneer de snelheid van een hardloper op elk moment gelijk is, kan de afgelegde afstand binnen een zekere tijd, berekend worden. De afstand is de snelheid van de hardloper vermenigvuldigd met de tijd waarin hij gelopen heeft: s = v * t.

- fig 1 -<BR>
klik voor vergroting / Bron: Tronic- fig 1 -
klik voor vergroting / Bron: Tronic
Stel dat de snelheid van de hardloper niet constant is geweest, maar variabel; in het begin liep hij harder dan aan het eind. We kunnen nu de afstand bepalen door de tijd te verdelen in kleine stukjes Δt, en telkens voor een klein stukje de vermenigvuldiging uit te voeren. Voor de snelheid nemen we de gemiddelde snelheid over de tijdsduur Δt:

Δs = v(t) * Δt

De totaal afgelegde afstand wordt dan:

s = Σ Δs = Σ ( v(t) * Δt )

Zie figuur 1, de hardloper als voorbeeld: In totaal loopt hij 1 uur, in het eerste 1/2 uur bedraagt zijn snelheid 15 km/uur, en in het tweede 1/2 uur 10 km/uur, dan zal de totaal afgelegde afstand zijn:

s = Σ Δs = Δs1 + Δs2 = v1(t) Δt1 + v2(t) Δt2 = 15 * 1/2 + 10 * 1/2 = 7,5 + 5 = 12,5 km.

Σ betekent sommeren of optellen. Wanneer we Δt steeds kleiner kiezen, zal de uitkomst steeds nauwkeuriger zijn. Daarom neemt men in de wiskunde de limiet van Δt--> 0, genoteerd als 'dx'. De algemene notatie in de wiskunde van een integraal is:

  • ∫ f(x) dx

Men geeft hiermee aan dat er een sommatie wordt uitgevoerd van oneindig kleine stukjes f(x)dx. De dx stelt een oneindig klein stukje voor op de x-as. Een integraal wordt meestal berekend tussen twee punten; bijvoorbeeld tussen x=a en x=b. Dit noemt men een interval.

Oppervlakte

- fig 2 - / Bron: Tronic - fig 2 - / Bron: Tronic
Figuur 2 is afgebeeld hoe een som kan worden gezien als het oppervlak tussen de functie f(x), en de x-as, op een bepaald interval.
Als interval nemen we x=0 tot x=7. Als Δx=1, dan voeren we in totaal 8 keer de vermenigvuldiging f(x)Δx uit. Dit is identiek aan 8 keer een klein stukje oppervlakte tussen f(x) en de x-as. We gaan ervan uit dat f(x) op een klein stukje interval constant is.

De totale integraal, of het totale oppervlak, is gelijk aan de som van deze 8 oppervlaktes. Zo'n som noemt men ook wel Riemann-som. De uitkomst is het nauwkeurigst, wanneer de stukjes Δx zo klein mogelijk gekozen worden. Dit is het geval wanneer we ∫f(x)dx berekenen (ipv grafisch op te lossen).

Een computer maakt vaak gebruik van een Riemann-som. De som van Σ f(x) * Δx kan voor zeer veel kleine stukjes Δx eenvoudig en snel berekend worden. Er bestaan echter ook veel standaardfuncties met standaardoplossingen voor bepaalde integralen. Voor zo'n standaardoplossing gebruikt men de functie die ook wel primitieve wordt genoemd.

Bekende primitieven

De oppervlaktefunctie van een zekere functie noemt men ook wel primitieve, en wordt aangeduid als F(x).

  • d/dx F(x) = F ' (x) = f(x)

Wanneer we op interval [a,b] de integraal moeten bepalen van de functie f(x) dan geldt:

  • ∫ f(x)dx, op x [a,b] = F(b) - F(a)

Van de gangbare wiskundige functie's zijn de primitieven bekend. Het dakje ^ betekent 'tot de macht', en a en b zijn constanten:

  • a --> ax + b
  • nx^(n-1) --> x^n + b
  • 1/x --> ln(x) + b
  • cos(x) --> sin(x) + b
  • -sin(x) --> cos(x) + b
  • 1/cos²(x) --> tan(x) + b
  • e^x --> e^x + b
  • ln(a)a^x --> a^x + b

(de b valt altijd weg bij het nemen van de afgeleide, want b is een constante)

Afgelegde afstand berekenen (Cooper-test)

- fig 3 - / Bron: Tronic- fig 3 - / Bron: Tronic
Een bekende trainingsmethode voor hardlopers is de Cooper-test. In deze training gaat het erom zover mogelijk te lopen in 12 minuten tijd. Aan de hand van de afgelegde afstand is te bepalen hoe het met de conditie van de loper gesteld is. Voor een mannelijke loper van gemiddelde leeftijd is 2 a 2,5 km een redelijke score. Een goede score wordt behaald bij afstanden van 2,4 tot 2,8 km.

Integraal nemen met Riemann-som

In figuur 3 zijn afgebeeld twee lopers die ieder ongeveer 2,5 km afstand in 12 minuten hebben afgelegd. De afgelegde afstand is eenvoudig te bepalen door naar het oppervlak onder de snelheid-tijd functie te kijken. Loper 1 liep de hele test met dezelfde snelheid, namelijk 12,5 km/uur.

  • afstand loper 1 = 12,5 km/uur * 12 min = 12,5 * 0,2 uur = 2,5 km

Loper 2 ging enthousiast van start: in het begin liep hij 15 km/uur maar al snel kwam hij in een dip terecht. Na 6 minuten liep hij nog maar 4 km/uur, daarna herstelde hij zich weer. Door de Riemann-som (lichtblauw) van loper 2 uit te rekenen komen we uit op:

  • afstand loper 2 = 15 km/uur * 1 min + 12,5 km/uur * 1 min + 10 km/uur * 1 min + 8 km/uur * 1 min + ............. = 2,25 km

Integraal berekenen

- fig 4 - / Bron: Tronic- fig 4 - / Bron: Tronic
We nemen voor de tijdseenheid uren in plaats van minuten, dat rekent makkelijker (12 minuten = 0,2 uur, 6 minuten = 0,1 uur ...). We stellen dat de snelheidsfunctie's van loper 1 en loper 2 zijn:

  • f1 (t) = 12,5
  • f2 (t) = 10 + 5 cos (10π * t)

dan zijn afstand 1 en 2 eenvoudig te berekenen (voor de grenzen t=0 tot t=0,2):
  • afstand 1 = ∫ f1 (t) dt = ∫ 12,5 dt = [ 12,5 * t ] | (t=0 tot t=0,2) = (12,5 * 0,2) - (12,5 * 0) = 2,5 km
  • afstand 2 = ∫ f2 (t) dt = ∫ 10 + 5 cos (10π * t) dt = [10 * t + 1/10π * sin(10π * t)] | (t=0 tot t=0,2) = (10 * 0,2 + 0) - (0 + 0) = 2 km
© 2009 - 2018 Tronic, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Wiskunde de afgeleide en differentiërenWiskunde de afgeleide en differentiërenDe afgeleide van een functie f(x) geeft ons informatie over hoe snel de functie stijgt of daalt in een zeker punt (x,y).…
Wiskunde TaylorDe Taylorreeks is een methode om een functie f(x) te benaderen rond een bepaald punt (x=xp). De functie f(x) wordt gesch…
Wiskunde - de afgeleide en extreme waardesWiskunde - de afgeleide en extreme waardesHoe bereken je de extreme waardes, ook wel minimum en maximum, en hoe stel je een raaklijn op? Vaak wordt dit gezien als…
Uitleg productregelUitleg productregelDe productregel is een regel voor het differentiëren van een formule waarin twee termen worden vermenigvuldigd. Met deze…
Wiskunde, een grote mysterie?Wiskunde, een grote mysterie?Wiskunde is een zeer brede richting in de wetenschap. Het is een van de oudste wetenschappen en kan beschouwd worden als…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: tronic
  • LA Reichard (auteur Getal en Ruimte)
  • Afbeelding bron 1: Tronic
  • Afbeelding bron 2: Tronic
  • Afbeelding bron 3: Tronic
  • Afbeelding bron 4: Tronic

Reageer op het artikel "Wiskunde integreren en oppervlakte"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Tronic
Laatste update: 28-12-2017
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 6
Schrijf mee!