InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Omega-analyse en 0,999

Omega-analyse en 0,999

Curt Schmieden en Detlef Laugwitz hebben de zogeheten 'omega-analyse' (een vorm van differentiaal- en integraalrekening met oneindig grote en kleine getallen) ontwikkeld. Dit systeem kan als voorloper van de meer omvattende en abstractere niet-standaard analyse van Abraham Robinson worden beschouwd. Binnen de omega-analyse kunnen we een type decimale getallen (de parareële getallen) construeren waarvoor 0,999... < 1,000... .

Omega-analyse

De basisideeën van de omega-analyse  zijn in wezen vrij eenvoudig. (Zie voor meer informatie [8], [14] en [16].) Dit systeem van de Duitse wiskundigen Curt Schmieden (1905-1992) en Detlef Laugwitz (1932-2000) is te beschouwen als een voorloper van de niet-standaard analyse van Abraham Robinson [13]. Het wiskundige verband tussen de omega-analyse en de niet-standaard analyse wordt behandeld in [8]. Schmieden en Laugwitz gaan in hun systeem uit van oneindige rijtjes reële of rationale getallen die componentsgewijze bij elkaar opgeteld en met elkaar vermenigvuldigd worden. Deze rijtjes beschouwen ze als omega-getallen (Ω-Zahlen). Voor het gemak gaan we hier uit van rijtjes reële getallen. Rijtjes die voor elke component het zelfde getal hebben komen overeen met de gewone reële getallen. Zo komen de getallen 1, 2 en √3 overeen met respectievelijk:

(1, 1, 1, 1, ... , 1, ...) ,
(2, 2, 2, 2, ... , 2, ...) ,
(√3, √3, √3, √3, ... , √3, ...) .

De som en het product van het tweede en derde rijtje zijn:

(2+√3, 2+√3, 2+√3, 2+√3, ... , 2+√3, ...) ,
(2 .√3, 2 .√3, 2 .√3, 2 .√3, ... , 2 .√3, ...) .

Hiermee zijn in één klap 'kopieën' van alle reële getallen in de omega-analyse opgenomen. Voor het gemak zullen we een rijtje waarvan alle componenten gelijk zijn aan een reëel getal α noteren als α*. We zullen ze omega-kopieën noemen. Met dergelijke rijtjes kunnen we rekenen als waren het de reële getallen zelf.

Maar alle  omega-getallen a en b - of dit nu wel of niet omega-kopieën zijn - laten zich schrijven in de vorm:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,
b = (b0 , b1 , b2 , b3 , ... , bn , ...) .

In het algemene geval hebben we dus:

a + b = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , ... , an + bn , ...) ,
a . b  = ( a0 . b0 , a1 . b1 , a2 . b2 , a3 . b3 , ... , an . bn , ...) .

Verder noemen we a gelijk aan b (geschreven als a = b) dan en slechts dan wanneer an = bn voor alle natuurlijke getallen n (inclusief 0).

We noemen a uiteindelijk gelijk aan b (geschreven als a ~ b) dan en slechts dan wanneer er een natuurlijk getal N bestaat zodanig dat: an = bn voor alle n > N.

We noemen a bij benadering gelijk aan b (geschreven als a ≈ b) dan en slechts dan wanneer er voor ieder positief reëel getal ε (hoe klein ook genomen) een natuurlijk getal N bestaat zodat│ an - bn │< ε voor alle natuurlijke getallen n > N.

Wanneer twee omega-getallen gelijk zijn, zijn zij ook altijd uiteindelijk gelijk en bij benadering gelijk. En wanneer twee omega-getallen uiteindelijk gelijk zijn, zijn zij ook altijd bij benadering gelijk.

Commutatieve ring

Het is eenvoudig aan te tonen dat de omega-getallen tezamen met de boven gegeven optelling + en vermenigvuldiging . voldoen aan de onderstaande eigenschappen:

(i) Voor alle omega-getallen a en b, zijn a+b en a.b ook omega-getallen (+ en . zijn interne bewerkingen ).

(ii) Voor alle omega-getallen a en b, geldt: a+b = b+a en a.b = b.a (commutativiteit ).

(iii) Voor alle omega-getallen a, b en c, geldt: a + (b+c) = (a+b) + c en a .(b.c) = (a .b).c (associativiteit ).

(iv) Voor alle omega-getallen a, b en c, geldt: a . (b + c) = a .b + a .c (distributiviteit ).

(v) Er bestaat een omega-getal 0 zodat a + 0 = a voor alle omega-getallen a (bestaan van een nulelement ).

(vi) Er bestaat een omega-getal 10 zodat a . 1 = a voor alle omega-getallen a (bestaan van een éénelement ).

(vii) Voor alle omega-getallen a heeft a + x = 0 een omega-getal x als oplossing (bestaan van een tegengestelde ).

Het nul-element 0 en het een-element 1 zijn:

0 = (0, 0, 0, ... , 0, ...) ,
1 = (1, 1, 1, ... , 1, ...) .

Dat er voor alle omega-getallen a een tegengestelde -a bestaat is eenvoudig in te zien. We schrijven hiertoe het omega-getal a als:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) .

Dan voldoet het omega-getal -a met

-a = (-a0 , -a1 , -a2 , -a3 , ... , -an , ...) ,

duidelijk aan de vergelijking a + -a = 0.

Het verschil  a - b van twee omega-getallen definiëren we als a + -b.

Dat ook aan de andere eigenschappen is voldaan bewijst men gemakkelijk uit de overeenkomstige eigenschappen van de reële getallen.

Een (getallen)systeem dat aan de eigenschappen (i) t/m (vii) voldoet heet in de abstracte algebra een commutatieve ring. Ook ons systeem van de omega-getallen met de aangegeven optelling en vermenigvuldiging is dus een commutatieve ring.

Volgorde

Voor het gemak schrijven we hier en later {x}k voor de k-de component  xk van het omega-getal:

x = (x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn , ...) .

De volgorde van de omega-getallen definiëren we als volgt.

We noemen a groter dan  b (geschreven als a > b) dan en slechts dan wanneer er een natuurlijk getal N bestaat zodanig dat {a}n > {b}n voor alle n > N.

We noemen a kleiner dan  b (geschreven als a < b) dan en slechts dan wanneer er een natuurlijk getal N bestaat zodanig dat {a}n < {b}n voor alle n > N.

De omega-getallen α* en β*, die overeen komen met de reële getallen α en β, kunnen we schrijven als de constante rijtjes:

α* = (α , α , α , α , ... , α , ...) ,
β* = (β , β , β , β , ... , β , ...) .

Daarvoor geldt natuurlijk:

α* = β* dan en slechts dan wanneer α = β ,
α* > β* dan en slechts dan wanneer α > β ,
α* < β* dan en slechts dan wanneer α < β .

De gekozen definitie voor de volgorde van omega-getallen respecteert zoals we zien de volgorde van de gebruikelijke reële getallen.

In het bijzonder geldt voor de omega-kopieën 0,999...* en 1* (van de reële getallen 0,999... en 1) dat: 0,999...* = 1*. Dit is als volgt in te zien. Het al dan niet gelijk zijn van twee omega-kopieën α* en β* (voor reële getallen α en β) wordt bepaald door vergelijking van de overeenkomstige componenten van α* en β*. Maar alle componenten van α* zijn α en alle componenten van β* zijn β. Het al dan niet gelijk zijn van de twee omega-kopieën α* en β* berust dus op het al dan niet gelijk zijn van de reële getallen α en β. Binnen het systeem van de reële getallen geldt dat 0,999... en 1 gelijk zijn. Voor 0,999...* en 1* moet daarom hetzelfde gelden. Pas later in dit artikel zullen we de parareële getallen introduceren. Deze zijn anders dan de omega-kopieën gedefinieerd. We zullen dan ook zien dat de parareële getallen «+0,999...» en «+1,000...» ongelijk zijn.

Er zijn omega-getallen a en b waarvoor geen van de vijf relaties a = b, a ~ b, a ≈ b, a > b of a < b gelden. Hieronder staat een voorbeeld:

a = (1, 0, 1, 0, 1, ... , 1, 0, ...) ,
b = (0, 1, 0, 1, 0, ... , 0, 1, ...) .

Omdat we dat nog nodig zullen hebben, definiëren we hier alvast de absolute waarde │a│van een omega-getal a . Voor:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,

nemen we:

│a│ = (│a0 │, │a1 │, │a2 │, │a3 │, ... , │an │, ...) .

Tot slot nog een voorbeeld. Laat:

a = (0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, ...) .

Dan geldt:

-a = (0, -1, -2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -2, ...) .

En ook:

│a │ =│-a│ = (0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, ...) .

Oneindig grote en oneindig kleine omega-getallen

Het mooie is nu dat we gemakkelijk een rijtje kunnen bedenken waarvan de componenten alsmaar groter worden. Onder het omega-getal Ω verstaan we:

Ω = (0, 1, 2, 3, ... , n, ...) .

De componenten van dit rijtje Ω halen op den duur ieder te kiezen positief reëel getal α in. Er geldt dus:

│Ω │ > α*

voor alle positieve reële getallen α . Omega-getallen met deze eigenschap noemen we oneindig groot.

Een precieze definitie luidt als volgt: We noemen een omega-getal a dan en slechts dan oneindig groot  als er voor ieder positief reëel getal r (hoe groot ook genomen) een natuurlijk getal N bestaat zodat:│{a}n│ > r voor alle n > N.

Oneindig kleine of infinitesimale omega-getallen gaat ook. Het onderstaande voorbeeld ω wordt gevonden door (op de eerste component na) de omgekeerden van de componenten van het vorige rijtje te nemen:

ω = (1, 1, ½, ⅓, ... , 1/n , ...) .

De componenten van dit rijtje ω worden (op de eerste component na) steeds kleiner maar blijven positief. Voor ieder positief reëel getal α komt er een punt van waar af de componenten van het bovenstaande rijtje kleiner maar nog steeds positief zijn. Er geldt dus:

0 <│ω│ < α* ,

voor alle positieve reële getallen α. De omega-getallen met deze eigenschap noemen we oneindig klein (of infinitesimaal ).

Een precieze definitie luidt hier: We noemen een omega-getal a dan en slechts dan oneindig klein  of infinitesimaal  als er voor ieder positief reëel getal ε (hoe klein ook genomen) een natuurlijk getal N bestaat zodat: 0 < │{a}n│ < ε voor alle n > N.

(Hier rekenen we nul niet tot de infinitesimalen. Dat heeft voor- en nadelen. Of we dat wel of niet doen is dan ook een kwestie van afspraak.)

Voor ω.Ω vinden we:

ω.Ω = (1.0, 1.1, ½ .2, ⅓ .3, ... , 1/n . n , ...) ,
ω.Ω = (0, 1, 1, 1, ... , 1 , ...) .

Dus: ω.Ω ≠ 1 (maar ω.Ω ~ 1 ).

Delen gaat niet altijd

Voor al de reële getallen x behalve voor 0, bestaat het omgekeerde getal 1/x . Om hier een functie q  van alle  reële getallen (dus inclusief 0) naar de reële getallen van te maken, definiëren we:

q(x) = 1/x voor x ≠ 0, en q(0) = 0 .

Een dergelijke truc kunnen we steeds toepassen om reële functies die niet  voor alle reële getallen zijn gedefinieerd, om te zetten in functies die wel voor alle reële getallen gedefinieerd zijn. Dit heeft als nadeel dat de zo verkregen functie voor zekere argumenten betekenisloze nul-uitkomsten heeft. Het voordeel is echter dat we ons bij de uitbreiding van reële functies tot functies van de omega-getallen naar de omega-getallen niet steeds over eventuele beperkingen in het definitiegebied van de reële functies hoeven te bekommeren.

Vervolgens definiëren we de functie q* van de omega-getallen naar de omega-getallen aldus:

Voor alle argumenten:

x = (x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn , ...) ,

laten we:

q*(x) = (q(x0 ), q(x1 ), q(x2 ), q(x3 ), ... , q(xn ), ...) .

Verder noemen we een omega-getal:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,

precies dan nul-vrij  wanneer geen van de componenten a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ... gelijk is aan 0.

Voor alle nul-vrije omega-getallen a geldt dan:

q*(a) .a = (q(a0 ), q(a1 ), q(a2 ), q(a3 ), ... , q(an ), ...) . (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,
q*(a) .a = (q(a0 ). a0 , q(a1 ).a1 , q(a2 ).a2 , q(a3 ).a3 , ... , q(an ).an , ...) ,
q*(a) .a = ((1/a0 ). a0 , (1/a1 ).a1 , (1/a2 ).a2 , (1/a3 ).a3 , ... , (1/an ).an , ...) ,
q*(a) .a = (1, 1, 1, 1, ... , 1, ...) ,
q*(a) .a = 1 .

In het bijzonder geldt ook voor alle omega-getallen α* (met α ≠ 0) dat:

q*(α*) . α* = 1 .

Daarom kunnen we binnen de omega-getallen door α* delen (voor α ≠ 0), juist zoals dat bij de gewone reële getallen het geval is.

Een omega-getal a noemen we uiteindelijk nul-vrij  dan en slechts dan wanneer er een natuurlijk getal N bestaat zodanig dat geen van de componenten aN+1 , aN+2 , aN+3 , ... , aN+n , ... gelijk aan 0 is.

Een voorbeeld is Ω. We vinden:

q*(Ω) = q*((0, 1, 2, 3, ... , n, ...)) ,
q*(Ω) = (q(0), q(1), q(2), q(3), ... , q(n), ...) ,
q*(Ω) = (0, 1, ½, ⅓, ... , 1/n , ...) .

Men gaat eenvoudig na dat:

q*(Ω) . Ω ~ 1 .

Dit geldt algemener. We zullen nu bewijzen dat voor alle  uiteindelijk nul-vrije omega-getallen a geldt dat:

q*(a) . a ~ 1 .

Bewijs: Voor a schrijven we weer:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,

Er geldt dan:

q*(a) .a = (q(a0 ), q(a1 ), q(a2 ), q(a3 ), ... , q(an ), ...) . (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,
q*(a) .a = (q(a0 ). a0 , q(a1 ).a1 , q(a2 ).a2 , q(a3 ).a3 , ... , q(an ).an , ...) .

Omdat er voor alle uiteindelijk nul-vrije omega-getallen a een bijbehorend natuurlijk getal N bestaat zodanig dat geen van de componenten aN+1 , aN+2 , aN+3 , ... , aN+n , ... gelijk aan 0 is, geldt vanaf dat natuurlijke getal N dat:

q(aN+1 ).aN+1 = (1/aN+1 ).aN+1 = 1 ,
q(aN+2 ).aN+2 = (1/aN+2 ).aN+2 = 1 ,
q(aN+3 ).aN+3 = (1/aN+3 ).aN+3 = 1 ,
... ,
q(aN+n ).aN+n = (1/aN+n ).aN+n = 1 ,
... .

Het product q*(a) . a is dus van de vorm:

q*(a) . a = (c0 , c1 , c2 , c3 , ... , cN , 1, 1, 1, 1, ... , 1, ...) .

Dat wil zeggen: q*(a) . a ~ 1 .

Waarmee het bewijs geleverd is.

Dus geldt voor alle nul-vrije omega-getallen a dat : q*(a) . a = 1 .
En geldt voor alle uiteindelijk nul-vrije omega-getallen a dat: q*(a) . a ~ 1 .

(Merk op dat de nul-vrije omega-getallen ook altijd uiteindelijk nul-vrij zijn.)

Dit geeft aanleiding zowel voor alle nul-vrije als voor alle uiteindelijk nul-vrije omega-getallen a het omega-omgekeerde getal a-1 te definiëren als:

a-1 = q*(a) .

Verder definiëren we voor alle omega-getallen a en alle nul-vrije en alle uiteindelijk nul-vrije omega-getallen b de deling a:b als: a:b = a . b-1 .

Voor alle nul-vrije omega-getallen b geldt dan:

(a:b) . b = (a . b-1) . b ,
(a:b) . b = a . (b-1 . b) ,
(a:b) . b = a . (q*(b) . b) ,
(a:b) . b = a . 1 ,
(a:b) . b = a .

En voor alle uiteindelijk nul-vrije omega-getallen b geldt:

(a:b) . b = (a . b-1) . b ,
(a:b) . b = a . (b-1 . b) ,
(a:b) . b = a . (q*(b) . b) ,
(a:b) . b ~ a . 1 ,
(a:b) . b ~ a .

Er zijn echter ook nog omega-getallen a ≠ 0 die niet  uiteindelijk nul-vrij worden. Het onderstaande rijtje is een voorbeeld:

(0, 1, 0, 1, ..., 0, 1, ...) .

Voor zulke omega-getallen a is q*(a) op triviale wijze nog steeds gedefinieerd, maar er bestaan geen omega-getallen b zodat   b. a = 1  of  b.a ~ 1 . Het omega-omgekeerde getal a-1  hebben we voor een dergelijk geval dan ook niet gedefinieerd. Deling gaat uitstekend voor alle nul-vrije omega-getallen, en voor alle uiteindelijk nul-vrije omega-getallen is er (middels de uiteindelijke gelijkheid ~ ) een mouw aan te passen. Maar voor sommige van 0 verschillende omega-getallen is deling - zoals we gezien hebben - niet mogelijk. Hier moeten we binnen het systeem van de omega-analyse dus steeds alert op blijven.

Functies

In de definitie van het tegengestelde -x van een omega-getal x, van de absolute waarde│x│van een omega-getal x en van de functiewaarde q*(x) voor een omega-getal x zien we een zelfde patroon. Steeds wordt een functie van de (verzameling van de) reële getallen naar de (verzameling van de) reële getallen omgevormd tot een functie van de (verzameling van de) omega-getallen naar de (verzameling van de) omega-getallen door de oorspronkelijke reële functie op de componenten van de als argument optredende omega-getallen toe te passen. Voor:

x = (x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn , ...) ,

hebben we immers:

-x = ( -x0 , -x1 , -x2 , -x3 , ... , -xn , ...) ,
│x│ = ( │x0 │, │x1 │ , │x2 │, │x3 │, ... , │xn │, ...) ,
q*(x) = (q(x0 ) , q(x1 ) , q(x2 ) , q(x3 ) , ... , q(xn ) , ...) .

(De optelling en vermenigvuldiging van twee omega-getallen volgen evengoed het zelfde patroon.)

Voor alle functies f van de reële getallen naar de reële getallen zullen we nu onder de functie f* van de omega-getallen naar de omega-getallen die functie verstaan die door het onderstaande schema is gedefinieerd:

f*(x) = (f(x0 ), f(x1 ), f(x2 ), f(x3 ), ... , f(xn ), ...) .

Of wat uitgebreider:

f*((x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn , ...)) = (f(x0 ), f(x1 ), f(x2 ), f(x3 ), ... , f(xn ), ...) .

Deze functie f* is te beschouwen als een vertaling naar het rijk van de omega-getallen van de oorspronkelijke reële functie f. Maar is f* nu ook een 'getrouwe versie' van f ? Stel dat een reële functie f voor een reëel argument α de reële functiewaarde β = f(α) heeft. Dan willen we graag dat de functie f* voor het argument α* als functiewaarde f*(α*) het omega-getal β* heeft. Alleen zo kunnen we f* als een uitbreiding van f beschouwen. Laten we eens zien of dat ook zo is.

Stel dat f een functie van de reële getallen naar de reële getallen is. Neem verder aan dat geldt β = f(α) voor zekere reële getallen α en β. Dan vinden we:

f*(α*) = f*((α , α , α , α , ... , α , ...)) ,
f*(α*) = (f(α), f(α), f(α), f(α), ... , f(α), ...) ,
f*(α*) = (β, β, β, β, ... , β, ...) ,
f*(α*) = β* .

Dus is f* inderdaad een uitbreiding van f . We kunnen het sterretje daarom in de praktijk vaak weglaten. Omdat de omega-kopieën α* zich net als de reële getallen α gedragen kan in de praktijk ook daar het sterretje vaak worden weggelaten. Tijdens de opbouw van de theorie is het onderscheid tussen functies f van de reële getallen naar de reële getallen en functies f* van de omega-getallen naar de omega-getallen voor een heldere uiteenzetting echter onontbeerlijk.

Identiteiten

Reële identiteiten zijn vergelijkingen die waar zijn, welke reële getallen we ook voor de afzonderlijke variabelen invullen.

Voorbeelden:

(a) (x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2 ,
(b) exp(x+y) = exp(x) . exp(y) ,
(c) sin(2.x) = 2.sin(x).cos(x) .

Zulke identiteiten worden binnen de wiskunde om de haverklap gebruikt. We kunnen bewijzen dat voor de omega-getallen overeenkomstige identiteiten gelden. Hier zullen we alleen de geldigheid binnen de omega-analyse van (b) bewijzen. De andere gevallen gaan op dezelfde wijze. Bij zulke bewijzen maken we gebruik van het feit dat onze omega-getallen - per definitie - oneindige rijtjes reële getallen zijn.

Voor alle omega-getallen:

x = (x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn , ...) ,
y = (y0 , y1 , y2 , y3 , ... , yn , ...) ,

geldt:

exp(x0 + y0 ) = exp(x0 ) . exp(y0 ) ,
exp(x1 + y1 ) = exp(x1 ) . exp(y1 ) ,
exp(x2 + y2 ) = exp(x2 ) . exp(y2 ) ,
exp(x3 + y3 ) = exp(x3 ) . exp(y3 ) ,
... ,
exp(xn + yn ) = exp(xn ) . exp(yn ) ,
... .

Oftewel:

exp({x+y}0 ) = {exp*(x)}0 . {exp*(y)}0 ,
exp({x+y}1 ) = {exp*(x)}1 . {exp*(y)}1 ,
exp({x+y}2 ) = {exp*(x)}2 . {exp*(y)}2 ,
exp({x+y}3 ) = {exp*(x)}3 . {exp*(y)}3 ,
... ,
exp({x+y}n ) = {exp*(x)}n . {exp*(y)}n ,
... .

Waardoor:

{exp*(x+y)}0 = {(exp*(x) . exp*(y))}0 ,
{exp*(x+y)}1 = {(exp*(x) . exp*(y))}1 ,
{exp*(x+y)}2 = {(exp*(x) . exp*(y))}2 ,
{exp*(x+y)}3 = {(exp*(x) . exp*(y))}3 ,
... ,
{exp*(x+y)}n = {(exp*(x) . exp*(y))}n ,
... .

Dus:

exp*(x+y) = exp*(x) . exp*(y) .

Waarmee het bewijs geleverd is.

Limieten

Uitspraken over limieten in de 'gewone' analyse zijn vaak te vertalen in uitspraken over de bij-benadering-gelijkheid in de omega-analyse. We geven twee belangrijke voorbeelden:

Limieten van rijen

Voor de limiet van een oneindige rij reële getallen a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ... geldt de definitie:

Laat L een zeker reëel getal zijn. Dan noteren we de bewering dat er voor ieder positief reëel getal ε (hoe klein ook genomen) een natuurlijk getal N bestaat zodanig dat │an - L│< ε voor alle n > N als:

lim  an = L .
n→ ∞

De boven aangegeven rij reële getallen correspondeert met het omega-getal:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) .

Nu geldt, zoals men eenvoudig nagaat, dat:

lim  an = L    <=>    a ≈ L* .
n→ ∞

Wat wil zeggen dat de eerste en de tweede uitspraak logisch gelijkwaardig zijn: als de eerste uitspraak waar is moet ook de tweede waar zijn, en omgekeerd.

Limieten van functies

Laat f een functie van de reële getallen naar de reële getallen zijn. Onder f* verstaan we weer de eerder omschreven generalisatie van f tot een functie van de omega-getallen naar de omega-getallen. De bewering dat er voor een reëel getal L voor ieder positief reëel getal ε (hoe klein ook genomen) een positief reëel getal δ bestaat zodanig dat uit 0 < │x - a│< δ volgt dat
│f(x) - L│< ε , noteren we als:

lim  f(x) = L     (α)
x→ a
Dan is de bovenstaande bewering (α) logisch gelijkwaardig aan de onderstaande bewering (β):

Voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen h geldt f*(a* + h) ≈ L*     (β)

Bewijs: We hebben twee zaken te bewijzen. Ten eerste (α) => (β) en ten tweede (β) => (α).

We beginnen met (α) => (β). Laten we dus veronderstellen dat (α) waar is. En laat ε0 een positief reëel getal zijn. Dan is er een positief reëel getal δ zodat uit 0 <│x - a│< δ volgt dat│f(x) - L│< ε0 . Laat δ0 zo'n positief reëel getal zijn. Dan geldt dus:

0 < │x - a│< δ0    =>    │f(x) - L│< ε0 .

Als bovendien h een nul-vrij infinitesimaal omega-getal is dan is er ook voor δ0 een natuurlijk getal N zodat 0 <│{h}n│< δ0 voor alle natuurlijke getallen n > N. Laat N0 zo'n getal zijn. Er geldt dan:

n > N0    =>     0 <│{h}n│< δ0 ,
n > N0    =>     0 <│(a + {h}n ) - a│< δ0 .

Bijgevolg geldt:

n > N0    =>    0 <│(a + {h}n ) - a│< δ0    =>    │f(a + {h}n ) - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │f(a + {h}n ) - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │f({a*}n + {h}n ) - {L*}n│< ε0 ,
n > N0    =>    │f({a* + h}n ) - {L*}n│< ε0 ,
n > N0    =>    │{f*(a* + h)}n - {L*}n│< ε0 .

Voor ε0 hebben we alleen aangenomen dat het een positief reëel getal is. We hebben verder voor h alleen verondersteld dat het een nul-vrij infinitesimaal omega-getal is. Dus zijn er voor alle  positieve reële getallen ε0 en alle  nul-vrije infinitesimale omega-getallen h bijbehorende N0 zodat:

n > N0    =>    │{f*(a* + h)}n - {L*}n│< ε0 .

Voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen h geldt daarom:

f*(a* + h) ≈ L* .

Waarmee is bewezen dat uit:

lim  f(x) = L   .......................................................................................   (α),
x→ a
volgt dat:

f*(a* + h) ≈ L* , voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen h   ......................   (β).

Vervolgens bewijzen we dat (β) => (α). We veronderstellen nu dus dat (β) waar is. In dat geval geldt voor ieder nul-vrij infinitesimaal omega-getal h dat:

f*(a* + h) ≈ L* .

Laat nu g zo'n nul-vrij infinitesimaal omega-getal zijn. Voor het gemak schrijven we:

g = (g0 , g1 , g2 , g3 , ... , gn , ...) .

Dan is er voor ieder positief reëel getal ε een natuurlijk getal N zodat:

│{f*(a* + g)}n - {L*}n│< ε voor alle natuurlijke getallen n > N.

De uitdrukking U = │{f*(a* + g)}n - {L*}n│ uit het bovenstaande kunnen we ook schrijven als:

U = │{f*(a* + g)}n - {L*}n│,
U = │f({a* + g}n ) - L│,
U = │f({a*}n + {g}n ) - L│,
U = │f(a + gn ) - L│.

Zodat er voor ieder positief reëel getal ε een natuurlijk getal N is zodat:

│f(a + gn ) - L│< ε voor alle natuurlijke getallen n > N.

Dus geldt:

lim  f(a + gn ) = L .
n→ ∞
Omdat we voor onze specifieke g alleen verondersteld hebben dat het een nul-vrij infinitesimaal omega-getal is, volgt het bovenstaande voor al zulke nul-vrije infinitesimale omega-getallen. Daarom mogen we in de onderstaande algemene formulering opnieuw h gebruiken. We schrijven voor het gemak:

h = (h0 , h1 , h2 , h3 , ... , hn , ...) .

Dan vinden we dus:

lim  f(a + hn ) = L , voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen h ....................... (γ)
n→ ∞
Dus hebben we alvast bewezen dat: (β) => (γ) .

Stel nu eens dat (α) niet  zou gelden. Dus dat:

lim  f(x) = L ,
x→ a
niet waar zou zijn. Dan is er minstens één positief reëel getal ε waarvoor er geen  positief reëel getal δ is zodat uit 0 < │x - a│< δ volgt dat │f(x) - L│< ε . Laat ε0 zo'n getal zijn. Voor ε0 is er dan geen positief reëel getal δ zodat uit 0 < │x - a│< δ volgt dat
│f(x) - L│< ε0 . Wat voor positief reëel getal δ we ook kiezen er zijn dus steeds waarden voor x die voldoen aan 0 < │x - a│< δ maar waarvoor │f(x) - L│≥ ε0 . We kiezen nu voor alle natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, ..., n, ... voor δ de positieve reële getallen δn = 10-n . Dan zijn er voor x waarden x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn , ... zodat:

0 < │x0 - a│< δ0 = 1             &    │f(x0 ) - L│≥ ε0 ,
0 < │x1 - a│< δ1 = 1/10        &    │f(x1 ) - L│≥ ε0 ,
0 < │x2 - a│< δ2 = 1/100      &    │f(x2 ) - L│≥ ε0 ,
0 < │x3 - a│< δ3 = 1/1000    &    │f(x3 ) - L│≥ ε0 ,
... ,
0 < │xn - a│< δn = 10-n         &    │f(xn ) - L│≥ ε0 ,
... .

Vorm nu het omega-getal y met yn = xn - a . Daarvoor geldt dus:

y = (x0 - a , x1 - a , x2 - a , x3 - a , ... , xn - a , ...) .

We zien dat y een nul-vrij infinitesimaal omega-getal is. Bovendien geldt:

│f(a + y0 ) - L│≥ ε0 ,
│f(a + y1 ) - L│≥ ε0 ,
│f(a + y2 ) - L│≥ ε0 ,
│f(a + y3 ) - L│≥ ε0 ,
... ,
│f(a + yn ) - L│≥ ε0 ,
... .

Er geldt nu dus niet  dat:

lim  f(a + yn ) = L ,
n→ ∞
voor het nul-vrije infinitesimale omega-getal y.

Dit resultaat is echter in strijd met (γ). We hebben dus gevonden dat uit de aanname dat (α) niet waar is (te noteren als ¬(α)) volgt dat (γ) niet waar is (te noteren als ¬(γ)). In symbolen:

¬(α) => ¬(γ) .

We hebben al eerder bewezen dat: (β) => (γ). In het geval dat (β) waar is kan het dus niet zo zijn dat (α) onwaar is, want dan zou (γ) zowel waar als onwaar zijn. Bijgevolg moet (α) in het geval dat (β) waar is ook wel waar zijn.

Oftewel:

(β) => (α).

Hiermee is het bewijs voltooid.

Het bovenstaande maakt het mogelijk een aantal elementaire regels voor limieten uit de gebruikelijke analyse om te zetten in elementaire regels voor de 'bij-benadering-gelijkheid' uit de omega-analyse.

Oneindige reeksen

In de gebruikelijke analyse wordt de som  S van een oneindige reeks:

a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ,

beschouwd als de limiet  van de rij partiële sommen:
         0
S0 = ∑ ai = a0 ,
       i = 0
         1
S1 = ∑ ai = a0 + a1 ,
       i = 0
         2
S2 = ∑ ai = a0 + a1 + a2 ,
       i = 0
         3
S3 = ∑ ai = a0 + a1 + a2 + a3 ,
       i = 0
... ,
         n
Sn = ∑ ai = a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an ,
       i = 0
... .
                                                                                 n
Met andere woorden:    S   =    lim   Sn   =   lim       ∑  ai .
                                                n → ∞          n → ∞   i = 0
Omdat deze limiet niet in alle gevallen bestaat, is de som van een oneindige reeks niet in alle gevallen bepaald.

Het verband met de omega-analyse kan aldus gelegd worden. Omdat voor iedere oneindige reeks van reële getallen:

a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ,

alle partiële sommen S0 , S1 , S2 , S3 , ... , Sn , ... bestaan en bovendien zelf reële getallen zijn, definieert de oneindige rij van deze partiële sommen het omega-getal S' met:

S' = (S0 , S1 , S2 , S3 , ... , Sn , ...) .

Eerder vonden we de onderstaande betrekking tussen de limiet van een oneindige rij reële getallen en de bij-benadering-gelijkheid van omega-getallen:

lim   bn =  L   <=>    b ≈ L* ,
n→ ∞
waarin: b = (b0 , b1 , b2 , b3 , ... , bn , ...) .

(Om verwarring met de termen van de oneindige reeks te voorkomen, hebben we de betrekking hier met b's in plaats van met a's geschreven.)

Toegepast op oneindige reeksen levert dit:

lim Sn =  L    <=>     S' ≈ L* .
n→ ∞

Een andere benadering generaliseert de partiële som Sn zodat deze ook voor oneindig grote natuurlijke omega-getallen n bepaald kan worden. Hiervoor moeten we dan wel weten welke omega-getallen als natuurlijke omega-getallen kunnen gelden. We definiëren:

Alleen die omega-getallen noemen we natuurlijke omega-getallen  waarvan alle componenten natuurlijke getallen zijn.

Laat nu S(x) = Sx voor natuurlijke reële getallen x, en S(x) = 0 voor niet-natuurlijke reële getallen x. Dan is S(x) een functie van de reële getallen naar de reële getallen. Vervolgens laat zich deze functie S(x) van de reële getallen naar de reële getallen op de bekende wijze generaliseren tot een functie S*(x) van de omega-getallen naar de omega-getallen. Ons interesseren nu alleen die functiewaarden S*(x) waarvoor x een natuurlijk omega-getal is. Voor het gemak zullen we S*(x) voor zulke x als S*x  schrijven. Met deze gegeneraliseerde partiële som kunnen we dan de partiële som voor oneindig grote indices berekenen.

Voor n = Ω vinden we bijvoorbeeld:

S*Ω   =   (S0, S1, S2, S3, ... , Sn , ...)   =   S'.

Of anders geschreven (waarbij we het sterretje hebben weggelaten):

  Ω
  Σ  ai   =   (S0, S1, S2, S3, ... , Sn , ...)   =   S'.
i = 0
Iedere oneindige reeks van reële getallen (of deze nu wel of niet in de gebruikelijke zin een limiet heeft) kan dus in principe binnen de omega-analyse worden uitgerekend. Het resultaat is steeds een omega-getal.

Ook 'dwaze' reeksen als:

1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + ... ,
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... ,
3 + 1.101 + 4.102 + 1.103 + 5.104 + 9.105 + ... ,

leveren omega-getallen. De laatste reeks is een soort omgedraaide pi. We zien uit dit voorbeeld dat binnen de omega-analyse ook oneindig grote 'decimale getallen' met links van de komma oneindig veel cijfers kunnen worden ingevoerd. (Ik bedoel hier niet  de 10-adische getallen.) Zelfs getallen met zowel links als rechts van de komma oneindig veel cijfers zijn mogelijk. Bijvoorbeeld:

- ... 9 ... 9999,343434343434343434343434 ... 34 ... .

We werken in zulke gevallen met het rijtje partiële sommen:

S0 =                                                                                   ± (a0 ),
S1 =                                                                    ± (a1 .10 + a0 + a-1 .10-1 )
S2 =                                                    ± (a2 .102 + a1 .10 + a0 + a-1 .10-1 + a-2 .10-2 )
S3 =                                   ± (a3 .103 + a2 .102 + a1 .10 + a0 + a-1 .10-1 + a-2 .10-2 + a-3 .10-3 )
                                                                                               ...
Sn =           ± (an .10n + ... + a3 .103 + a2 .102 + a1 .10 + a0 + a-1.10-1+ a-2 .10-2+ a-3 .10-3... + a-n .10-n )
                                                                                               ...
                                                          (+ voor positieve en - voor negatieve getallen)

In mijn jonge jaren heb ik lange tijd gezocht naar een grondslag voor dergelijke 'getallen'. Welnu - hier is die! Later ontdekte ik dat het internet-warhoofd Archimedes Plutonium ook met zulke 'doubly infinites' goochelde (zie [11] en [12]). Serieuzer gaat Frank C. DeSua te werk. Dubbelzijdig oneindige decimale uitdrukkingen die ter linkerzijde uiteindelijk periodiek worden heten bij hem double-decimals. DeSua heeft er een interpretatie voor bedacht waardoor ze eigenlijk reële getallen representeren [2]. Het probleem van al dergelijke creaties is echter niet of zij logisch mogelijk zijn (met de begrippen en technieken van de moderne wiskunde kan men de meest vreemde wiskundige objecten scheppen), maar of ze interessante wiskunde opleveren. Een moeilijk punt...

Differentiaalquotiënt en afgeleide functie

Laat f een functie van de reële getallen naar de reële getallen zijn. Dan definiëren we het differentiaalquotiënt  (df*/dx)(x) van f* voor het argument x en de nul-vrije infinitesimaal dx als:

(df*/dx)(x) = (f*(x+dx) - f*(x)) . (dx)-1 .

Het is duidelijk dat dit differentiaalquotiënt altijd bestaat.

De afgeleide functie f ' van de functie f van de reële getallen naar de reële getallen bestaat niet altijd. Deze functie is binnen de gebruikelijke analyse voor ieder reëel argument a waarvoor de limiet bestaat gedefinieerd als:

f '(a)  =  lim (f(a+h) - f(a)).h-1 .
            h → 0
Nu kunnen we bewijzen dat:

f '(a) = L   <=>   [(df*/dx)(a*) ≈ L* voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen dx] .

Bewijs: Voor het gemak van de bewijsvoering noteren we de bewering dat f '(a) = L (voor zekere reële getallen a en L) als (ζ). De bewering dat (df*/dx)(a*) ≈ L* voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen dx, noteren we als (η). We hebben derhalve te bewijzen dat: (ζ) <=> (η). Dit bewijs valt in twee delen uiteen. Ten eerste (ζ) => (η) en ten tweede (η) => (ζ).

We beginnen met (ζ) => (η). Laten we veronderstellen dat (ζ) waar is. Dus dat f '(a) = L voor zekere reële getallen a en L. Dan moet er voor ieder positief reëel getal ε (hoe klein ook genomen) een positief reëel getal δ bestaan zodanig dat uit 0 <│h│< δ volgt dat │(f(a+h) - f(a)).h-1 - L│< ε . Laat ε0 een positief reëel getal zijn. Dan is er dus een positief reëel getal δ (noem één zo'n getal δ0 ) zodat:

0 < │h│< δ0   =>   │(f(a +h) - f(a)).h-1 - L│< ε0 .

Laat vervolgens dx een nul-vrij infinitesimaal omega-getal zijn. Dan is er voor ieder positief reëel getal θ (hoe klein ook genomen) een natuurlijk getal N zodat: 0 <│{dx}n│< θ voor alle n > N. We kunnen daarom ook een natuurlijk getal N0 vinden zodat:

n > N0   =>    0 < │{dx}n│ < δ0 .

Dus geldt:

n > N0    =>     0 < │{dx}n│ < δ0     =>    │(f(a + {dx}n ) - f(a)).({dx}n )-1 - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │(f(a + {dx}n ) - f(a)).({dx}n )-1 - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │(f({a*}n + {dx}n ) - f({a*}n )).({dx}n )-1 - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │(f({a* + dx}n ) - f({a*}n )).({dx}n )-1 - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │({f*(a* + dx)}n - {f*(a*)}n ).({dx}n )-1 - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │({f*(a* + dx)}n - {f*(a*)}n ).q({dx}n ) - L│< ε0 ,
n > N0    =>    │{f*(a* + dx) - f*(a*)}n .{q*(dx)}n - L │< ε0 ,
n > N0    =>    │{f*(a* + dx) - f*(a*)}n .{(dx)-1 }n - L │< ε0 ,
n > N0    =>    │{(f*(a* + dx) - f*(a*)) . (dx)-1 }n - {L*}n│< ε0 .

We hebben voor ε0 alleen verondersteld dat het een positief reëel getal is. Het boven gevonden resultaat geldt dan ook algemeen. Daarom is er voor ieder positief reëel getal ε een natuurlijk getal N zodat:

n > N    =>    │{(f*(a* + dx) - f*(a*)) . (dx)-1 }n - {L*}n│< ε .

En bijgevolg:

(f*(a* + dx) - f*(a*)) . (dx)-1 ≈ L* ,
(df*/dx)(a*) ≈ L* .

We hebben voor dx alleen verondersteld dat het een nul-vrij infinitesimaal omega-getal is. Dus geldt voor alle reële getallen a en L die aan f '(a) = L voldoen, dat:

(df*/dx)(a*) ≈ L*, voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen dx .

Waarmee (ζ) => (η) bewezen is.

Vervolgens bewijzen we (η) => (ζ). We veronderstellen nu dus dat (η) waar is. In dat geval geldt voor zekere reële getallen a en L en voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen dx dat:

(df*/dx)(a*) ≈ L*.

Laten we nu de functie ga van de reële getallen naar de reële getallen - uitgaande van de functie f van de reële getallen naar de reële getallen - voor alle reële getallen a definiëren als:

ga(h) = (f(a+h) - f(a)).h-1 voor h ≠ 0, en ga(0) = 0 .

Dan geldt wanneer dx een nul-vrij omega-getal is voor alle natuurlijke getallen n (inclusief 0) dat:

{ga*(dx)}n   =   ga({dx}n ) ,
{ga*(dx)}n   =   (f(a + {dx}n ) - f(a)) . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   (f({a*}n + {dx}n ) - f({a*}n )) . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   (f({a* + dx}n ) - f({a*}n )) . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   ({f*(a* + dx)}n - {f*(a*)}n ) . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   ({f*(a* + dx)}n + -{f*(a*)}n ) . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   ({f*(a* + dx)}n + {-(f*(a*))}n ) . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   {f*(a* + dx) + -(f*(a*))}n . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   {f*(a* + dx) - f*(a*)}n . ({dx}n )-1 ,
{ga*(dx)}n   =   {f*(a* + dx) - f*(a*)}n . q({dx}n ) ,
{ga*(dx)}n   =   {f*(a* + dx) - f*(a*)}n .{q*(dx)}n ,
{ga*(dx)}n   =   {f*(a* + dx) - f*(a*)}n .{(dx)-1 }n ,
{ga*(dx)}n   =   {(f*(a* + dx) - f*(a*)) . (dx)-1 }n .

Dus:

ga*(dx) = (f*(a* + dx) - f*(a*)) . (dx)-1 .

Oftewel voor nul-vrije infinitesimale omega-getallen dx geldt:

ga*(dx) = (df*/dx)(a*) .

Derhalve geldt (uitgaande van de veronderstelling dat (η) waar is) voor alle nul-vrije infinitesimale omega-getallen dx dat:

ga*(dx) ≈ L*.

Nu kunnen we het al eerder gevonden resultaat aangaande de limieten van functies toepassen. Dit levert:

lim  ga(h)  =   L .
h→ 0
Invullen van ga geeft:

lim  ((f(a+h) - f(a)) . h-1)   =   L.
h→ 0

Oftewel:

f '(a) = L.

Waarmee ook (η) => (ζ) bewezen is.

Meer van dat moois

De verleiding is groot hier ook andere basisbegrippen uit de analyse zoals de continuïteit van functies en het begrip van de integraal te behandelen. We zouden zelfs nog veel verder kunnen gaan. Detlef Laugwitz heeft aangegeven hoe binnen de omega-analyse ook de zogeheten gegeneraliseerde functies - zoals de deltafunctie van Dirac - kunnen worden ingevoerd (zie [6]). Zelfs een versie van de operatorencalculus van de Poolse wiskundige Jan Mikusiński (1913 - 1987) kan binnen de omega-analyse worden uitgewerkt (zie [7]). Hoewel heel interessant zou dat allemaal veel te ver voeren. Bovendien leidt dit af van de bedoeling van dit artikel: het construeren van een alternatief getallensysteem waarin 1 ≠ 0,999...9... .

Jeugdherinnering

Detlef Laugwitz, één van de grondleggers van de omega-analyse, vertelt het volgende over zijn kennismaking met infinitesimalen:

"Other reminiscences go back to my childhood. I suppose I was a boy of about 12 when our mathematics teacher asked what a circle and its tangent have in common. My spontaneous answer was: Nothing. A point was "nothing" to me. If they had anything in common, this something must have some extension, very small, practically invisible of course. My teacher, whom I remember quite well, did not subdue this curious aberration of my mind. Moreover, at about the same time he even encouraged another glimpse of the infinitesimal which must have occured to everybody who does not simply believe in textbooks: Is 0.9... really equal to 1? Shouldn't it be less than 1? Actually, the usual "proofs" at that level are far from convincing, and objections like those ascribed to Zeno of Elea should come to the mind of everyone who is not infected by the 19th century dogma of the real numbers." (Zie [9] p. 2.)

Een veelbelovende opmerking. Detlef D. Spalt, een student van Laugwitz, geeft een verdere uitwerking ([15] pp. 352-370). Onze beschouwingen sluiten daar op aan.

Parareële getallen

De decimale schrijfwijze van reële getallen heeft binnen de gebruikelijke theorie van de reële getallen een precies omschreven betekenis die ertoe leidt dat 1 = 0,999...9... . Onze bedoeling is echter een interpretatie te vinden waarin deze gelijkheid niet geldt. Nu kan het niet zo zijn dat zowel 1 = 0,999...9... als 1 ≠ 0,999...9... . We moeten dus duidelijk maken dat onze alternatieve interpretatie van 0,999...9... een andere is dan de gebruikelijke. Dit kan op vele manieren. Ik kies ervoor om onze alternatieve decimale getallen, die ik parareële getallen  zal noemen, te schrijven als «t cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ...», dus met Franse aanhalingstekens. Zo wordt het ook in de notatie duidelijk dat dit niet  de gebruikelijke decimale getallen zijn. Om positieve en negatieve getallen te kunnen onderscheiden kiezen we voor t respectievelijk het teken '+' of het teken '-'. We spreken af uitdrukkingen van de vorm

«t cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ...» ,

te beschouwen als aanduiding  van het bijbehorende oneindige rijtje reële getallen:

0 , φ1 , φ2 , φ3 , ... , φn , ...) .

Met:

φ0   =   sg(t).(cm .10m + ... + c3 .103 + c2 .102 + c1 .10 + c0 )
φ1   =   sg(t).(cm .10m + ... + c3 .103 + c2 .102 + c1 .10 + c0 + c-1 .10-1 )
φ2   =   sg(t).(cm .10m + ... + c3 .103 + c2 .102 + c1 .10 + c0 + c-1 .10-1 + c-2 .10-2 )
φ3   =   sg(t).(cm .10m + ... + c3 .103 + c2 .102 + c1 .10 + c0 + c-1 .10-1 + c-2 .10-2 + c-3 .10-3 )
...
φn   =   sg(t).(cm .10m + ... + c3 .103 + c2 .102 + c1 .10 + c0 + c-1 .10-1 + c-2 .10-2 + c-3 .10-3 + ... + c-n .10-n )
...

Hierin is sg(+) = 1 en sg(-) = -1. Verder zijn cm , ... , c3 , c2 , c1 , c0 , c-1 , c-2 , c-3 , ... , c-n , ... de cijfers (te kiezen uit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9). Zodat:

φ0   =   sg(t) . cm ... c3c2c1c0
φ1   =   sg(t) . cm ... c3c2c1c0,c-1
φ2   =   sg(t) . cm ... c3c2c1c0,c-1c-2
φ3   =   sg(t) . cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3
...
φn   =   sg(t) . cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n
...

Iedere uitdrukking van de vorm «t cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ...» duidt dus het daarbij horende rijtje reële getallen aan. Zulke oneindige rijtjes reële getallen zijn per definitie omega-getallen. Met de parareële getallen kan daarom op de reeds voor de omega-getallen aangegeven wijze gerekend worden. Naast de parareële getallen behoren ook alle omega-kopieën a* van de reële getallen a tot de omega-getallen. De parareële getallen staan dus als het ware naast de (kopieën van de) reële getallen.

We kunnen de φk ook (op het teken na) zien als partiële sommen van de reeks:

(cm .10m + ... + c3 .103 + c2 .102 + c1 .101 + c0 .100 ) + c-1 . 10-1 + c-2 .10-2 + c-3 .10-3 + ... + c-n .10-n + ... .

Oftewel:
                    n
φn = sg(t) . Σ c-i .10-i .
                  i = -m
Omdat:

Ω = (0, 1, 2, 3, ... , n, ...)     &     «t cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ...» = (φ0 , φ1 , φ2 , φ3 , ... , φn , ...) ,

mogen we nu ook schrijven:
                                                                                      Ω
«t cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ...»    =    (sg(t))* . Σ c-i .10-i .
                                                                                    i = -m
Hierin is de som op onze gebruikelijke manier gegeneraliseerd tot een functie van de (natuurlijke) omega-getallen naar de omega-getallen.

In de bijzondere gevallen van «+1,000...» en «+0,999...» krijgen we de rijtjes:

«+1,000...0...»   =   (1; 1,0; 1,00; 1,000; ... ; 1,000...0 (met n nullen) ; ...) ,
«+0,999...9...»   =   (0; 0,9; 0,99; 0,999; ... ; 0,999...9 (met n negens) ; ...) .

We zien onmiddellijk dat:

«+0,999...9...»   <   «+1,000...0...» .

Kennelijk geldt:

«+1,000...0...» - «+0,999...9...»   =   (1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001; ...) .

Het bovenstaande verschil, dat door professor Edgar E. Escultura het dark number d* genoemd wordt (zie [3]), is evenals het eerder gegeven voorbeeld ω als infinitesimaal te beschouwen. We zullen Escultura's notatie overnemen. Maar om duidelijk te maken dat dit niet  de omega-kopie van een reëel getal d is, zullen we d* cursief (als d* ) schrijven. We vinden dus:

«+1,000...0...»   =   «+0,999...9...» + d* .

Bewijs dat 0,999... = 1 faalt

Een bekend argument waarom de getallen 1 en 0,999... gelijk zouden zijn, gaat aldus:

9 . 0,999...   =   (10 - 1) . 0,999... ,
9 . 0,999...   =   10 . 0,999... - 1 . 0,999... ,
9 . 0,999...   =   9,999... - 0,999... ,
9 . 0,999...   =   9 ,
0,999...   =   9/9 ,
0,999...   =   1 .

Als de parareële getallen een consistent systeem vormen moet de bovenstaande, op de reële getallen toegesneden afleiding voor de parareële getallen onmogelijk zijn. Laten we eens zien:

«+9,000...0...» . «+0,999...9...»   =   «+9,000...0...» . «+0,999...9...» ,
«+9,000...0...» . «+0,999...9...»   =   (9, 9, 9, 9, ...) . «+0,999...9...» ,
«+9,000...0...» . «+0,999...9...»   =   (10-1, 10-1, 10-1, 10-1, ...) . «+0,999...9...» ,
«+9,000...0...» . «+0,999...9...»   =   ((10, 10, 10, 10, ...) - (1, 1, 1, 1, ...)) . «+0,999...9...» ,
«+9,000...0...» . «+0,999...9...»   =   («+10,000...0...» - «+1,000...0...») . «+0,999...9...» .

Tot hiertoe verloopt alles voor de parareële getallen hetzelfde als voor de reële getallen. Voor het gemak noteren we («+10,000...0...» - «+1,000...0...») . «+0,999...9...» hieronder als ψ. Zodat eveneens:

«+9,000...0...» . «+0,999...9...»   =   ψ .

Uitwerken van ψ geeft:

ψ   =   («+10,000...0...» - «+1,000...0...») . «+0,999...9...» ,
ψ   =   («+10,000...0...» + -«+1,000...0...») . «+0,999...9...» ,
ψ   =   («+10,000...0...» + « -1,000...0...») . «+0,999...9...» ,
ψ   =   «+0,999...9...».(«+10,000...0...» + «-1,000...0...») ,
ψ   =   «+0,999...9...».«+10,000...0...» + «+0,999...9...».«-1,000...0...» ,
ψ   =   (0; 0,9; 0,99; 0,999; ...).(10, 10, 10, 10, ...) + (0; 0,9; 0,99; 0,999; ...).(-1, -1, -1, -1, ...) ,
ψ   =   (0; 9; 9,9; 9,99; ...) + (0; -0,9; -0,99; -0,999; ...) ,
ψ   =   ((9; 9,9; 9,99; 9,999; ...) + (-9; -0,9; -0,09; -0,009; ...)) + (0; -0,9; -0,99; -0,999; ...) ,
ψ   =   ((-9; -0,9; -0,09; -0,009; ...) + (9; 9,9; 9,99; 9,999; ...)) + (0; -0,9; -0,99; -0,999; ...) ,
ψ   =   (-9; -0,9; -0,09; -0,009; ...) + ((9; 9,9; 9,99; 9,999; ...) + (0; -0,9; -0,99; -0,999; ...)) ,
ψ   =   (-9; -0,9; -0,09; -0,009; ...) + (9, 9, 9, 9, ...) ,
ψ   =   (9, 9, 9, 9, ...) + (-9; -0,9; -0,09; -0,009; ...) ,
ψ   =   (9, 9, 9, 9, ...).(1, 1, 1, 1, ...) + (9, 9, 9, 9, ...).(-1; -0,1; -0,01; -0,001; ...) ,
ψ   =   (9, 9, 9, 9, ...).((1, 1, 1, 1, ...) + (-1; -0,1; -0,01; -0,001; ...)) ,
ψ   =   (9, 9, 9, 9, ...).((1, 1, 1, 1, ...) + -(1; 0,1; 0,01; 0,001; ...)) ,
ψ   =   (9, 9, 9, 9, ...).((1, 1, 1, 1, ...) - (1; 0,1; 0,01; 0,001; ...)) ,
ψ   =   «+9,000...0...» . («+1,000...0...» - d* ) .

Dit resultaat substitueren we weer in «+9,000...0...» . «+0,999...9...»  =  ψ. Dus:

«+9,000...0...» . «+0,999...9...»   =   «+9,000...0...» . («+1,000...0...» - d* ) .

Dit ziet er alvast heel anders uit dan het reële geval. Maar het is exact wat gezien de definitie van d*  was te verwachten. Omdat «+9,000...0...» = (9, 9, 9, 9, ...) kunnen we wel, net als in het reële geval, aan beide zijden «+9,000...0...» wegdelen. Dat geeft:

«+0,999...9...»   =   «+1,000...0...» - d* .

Waaruit we zien dat alles keurig loopt zoals we dat voor de parareële getallen wensen; en dat «+0,999...9...» en «+1,000...0...» inderdaad een infinitesimaal verschil hebben.

Geen gesloten systeem

Wanneer we twee reële getallen α en β bij elkaar optellen of met elkaar vermenigvuldigen krijgen we de som α+β of het product α .β, hetgeen opnieuw reële getallen zijn. Dit feit dat de optelling en vermenigvuldiging van reële getallen interne  bewerkingen zijn, is een belangrijke eigenschap van de reële getallen. Voor omega-kopieën α* en β* van de reële getallen α en β gaat dat ook nog goed. Dat wil zeggen voor alle reële getallen α en β geldt:

α* + β* = (α+β)* ,
α* . β*   = (α .β)* .

De omega-kopieën van de reële getallen vormen binnen de omega-getallen voor de optelling en vermenigvuldiging dus ook een gesloten systeem.

Voor de parareële getallen gaat dat niet meer op. Immers:

«+1,000...0...» + «-0,999...9...»   =   (1, 1/10, 1/100, 1/1000, ... , 1/10n, ...) .

Deze uitkomst (d* ) is een strikt dalende oneindige rij positieve reële getallen. Dit kan gezien de definitie van de parareële getallen onmogelijk zelf een parareëel getal zijn. De parareële getallen vormen derhalve voor de optelling geen gesloten systeem.

Voor het vervolg is het handig nog wat afspraken te maken. Laat b een reëel getal zijn, k een positief natuurlijk getal en a een omega-getal met:

a   =   (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) .

Dan definiëren we de hybride  optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en machtsverheffing als:

a + b   =   (a0 + b, a1 + b, a2 + b, a3 + b, ... , an + b, ...) ,
a - b   =   (a0 - b, a1 - b, a2 - b, a3 - b, ... , an - b, ...) ,
b . a   =   (b.a0 , b.a1 , b.a2 , b.a3 , ... , b.an , ...) ,
ak   =   ((a0 )k , (a1 )k , (a2 )k , (a3 )k , ... , (an )k , ...) .
ka   =   (k^(a0 ) , k^(a1 ) , k^(a2 ) , k^(a3 ) , ... , k^(an ) , ...) .

Het is duidelijk dat:

a + b   =   a + b*  (hierin is de eerste som hybride en de tweede een som van omega-getallen),
a - b   =   a - b*  (hierin is het eerste verschil hybride en het tweede een verschil van omega-getallen),
b . a   =   b*. a  (hierin is het eerste product hybride en het tweede een product van omega-getallen),
ak     =   a.a.a.a. ... .a  (met k factoren a) .

Een decimale schrijfwijze voor d*

Hoe zou een uitgebreide decimale schrijfwijze van d*  eruit moeten zien? We hebben:

d*   =   (1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001; ...) ,
d*   =   (1, 1/10, 1/100, 1/1000, ... , 1/10n, ...) ,
d*   =   (100 , 10-1, 10-2, 10-3, ... , 10-n, ...) ,
d*   =   10 .

Er is dus aanleiding d*  te schrijven als:

d*   =   +0,000...0...;...0...0001000...0... .
                                                   
De '1' staat daarbij op de met -Ω geïndiceerde plaats.

Dat alle -nΩ als onderling verschillende omega-getallen moeten worden beschouwd zien we als volgt. Voor alle natuurlijke getallen n vinden we:

(-nΩ) - (-(n+1)Ω)   =   -nΩ + -(-(n+1)Ω) ,
(-nΩ) - (-(n+1)Ω)   =   -nΩ + (n+1)Ω) ,
(-nΩ) - (-(n+1)Ω)   =   -nΩ + (nΩ + Ω) ,
(-nΩ) - (-(n+1)Ω)   =   (-nΩ + nΩ) + Ω ,
(-nΩ) - (-(n+1)Ω)   =   0* + Ω ,
(-nΩ) - (-(n+1)Ω)   =   Ω .

Dus is -nΩ > -(n+1)Ω voor alle natuurlijke getallen n. Oftewel:

0 > -Ω > -2Ω > -3Ω > ... > -nΩ > -(n+1)Ω > ... .

Verder geldt voor alle natuurlijke getallen a, b, n en i dat:

{-nΩ - a}i - {-(n+1)Ω + b}i   =   (-n.i - a) - (-(n+1).i + b) ,
{-nΩ - a}i - {-(n+1)Ω + b}i   =   -n.i - a + (n+1).i - b ,
{-nΩ - a}i - {-(n+1)Ω + b}i   =   i - (a + b) .

Dus:

(-nΩ - a) > (-(n+1)Ω + b) .

Daarom kunnen we voor onze uitgebreide decimale schrijfwijze na de gewone rij indices 0, -1, -2, -3, ... , -n, ... in principe ook nog beschikken over een (meervoudig) oneindige rij indices:

... ,   -Ω+3,   -Ω+2,   -Ω+1,   -Ω,   -Ω-1,   -Ω-2,   -Ω-3, ... ;
... , -2Ω+3, -2Ω+2, -2Ω+1, -2Ω, -2Ω-1, -2Ω-2, -2Ω-3, ... ;
... , -3Ω+3, -3Ω+2, -3Ω+1, -3Ω, -3Ω-1, -3Ω-2, -3Ω-3, ... ;
... ,
... , -nΩ+3, -nΩ+2, -nΩ+1, -nΩ, -nΩ-1, -nΩ-2, -nΩ-3, ... ;
... .

(Door te werken met machten van Ω kan dit zo nodig nog weer verder worden uitgebreid. Daarna kan men Ω tot zichzelf verheffen. Enzovoort. Enzovoort.)

Omdat:

d*   =   (100, 10-1, 10-2, 10-3, ... , 10-n, ...) ,

geldt:

(d* )m   =   ((100 )m, (10-1 )m, (10-2 )m, (10-3 )m, ... , (10-n )m, ...) ,
(d* )m   =   (100.m, 10-1.m, 10-2.m, 10-3.m, ... , 10-n.m, ...) ,
(d* )m   =   (10-m.0, 10-m.1, 10-m.2, 10-m.3, ... , 10-m.n, ...) ,
(d* )m   =   10^(-m.0, -m.1, -m.2, -m.3, ... , -m.n, ...) ,
(d* )m   =   10^(-m.(0, 1, 2, 3, ... , n, ...)) ,
(d* )m   =   10^(-m.Ω) ,
(d* )m   =   10-mΩ .

Het ligt daarom voor de hand om (d* )m voor positieve natuurlijke getallen m te schrijven als:

(d* )m   =   +0,000...0...;...0...0001000...0... .
                                                        -mΩ

Op zoek naar een algemener voorstelling

De uitgebreide decimale schrijfwijzen voor d*  en (d* )m zijn interessant. Is het wellicht mogelijk nog veel meer parareële en daarvan afgeleide omega-getallen op een dergelijke wijze te noteren? We proberen hier wat voorbeelden. Voor de duidelijkheid wijs ik er nog op dat deze paragraaf een heuristisch karakter heeft. Bewezen wordt hier niets! Pas met de daarna te introduceren 'omega-decimale ontwikkeling' zullen de hier gevonden resultaten een stevige wiskundige basis verkrijgen.

We hebben al gezien dat we mogen schrijven: 
                                                                                      Ω
«t cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ...»    =    (sg(t))* . Σ   c-i .10-i .
                                                                                    i = -m
Of met de hybride vermenigvuldiging geschreven:
                                                                                 Ω
«t cm ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ...»    =    sg(t) . Σ   c-i .10-i .
                                                                               i = -m
Daarom zou het mooi zijn als:

«t cm...c3c2c1c0,c-1c-2c-3...c-n...»   =   t cm...c3c2c1c0,c-1c-2c-3...c-n ...;...d-Ω+n...d-Ω+3d-Ω+2d-Ω+1d000...0... .

Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen. Voor «+0,999...9...» is het aannemelijk te schrijven:

«+0,999...9...»   =   +0,999...9...;...9...9999000...0... .
                                                                         
Op dezelfde wijze kunnen we dan voor «+0,333...3...» schrijven:

«+0,333...3...»   =   +0,333...3...;...3...3333000...0... .
                                                                         
Maar wat zou u = «+5,000...0...».«+0,333...3...» moeten worden? Uitwerken geeft:

{u}n   =   {«+5,000...0...» . «+0,333...3...»}n ,
{u}n   =   {«+5,000...0...»}n .{«+0,333...3...»}n ,
{u}n   =   (5,000...0 (met n nullen)).(0,333...3 (met n drieën)) ,
{u}n   =   5.(⅓ . 0,999...9 (met n negens)) ,
{u}n   =   5 . ⅓ . (1 - 10-n ) ,
{u}n   =   (1,666...6...).(1 - 10-n ) ,
{u}n   =   (1,666...6...) - (1,666...6...).10-n .

Zodat:

{u}0   =   (1,666...6...) - (1,666...6...).10-0   =   (1,6666666666...) - (1,6666666666...)   =   0 ,
{u}1   =   (1,666...6...) - (1,666...6...).10-1   =   (1,6666666666...) - (0,1666666666...)   =   1,5 ,
{u}2   =   (1,666...6...) - (1,666...6...).10-2   =   (1,6666666666...) - (0,0166666666...)   =   1,65 ,
{u}3   =   (1,666...6...) - (1,666...6...).10-3   =   (1,6666666666...) - (0,0016666666...)   =   1,665 ,
... ,
{u}n   =    (1,666...6...) - (1,666...6...).10-n   =   (1,6666666666...) - (0,000...01666...)   =   1,666...65 .
... .                                                                                                                           -n                                   -n

(Hierbij is de uitdrukking voor {u}n berekend voor n ≥ 2.)

Als een voor de hand liggende uitgebreide decimale schrijfwijze voor u vinden we dan:

u = +1,666...6...;...6...6665000...0... .
                                             

Tot slot een iets ingewikkelder geval. Is er ook een uitgebreide decimale schrijfwijze voor v = «+4,999...9...» .«+0,333...3...» ? Voor de n-de component van v vinden we:

{v}n   =   {«+4,999...9...».«+0,333...3...»}n ,
{v}n   =   {«+4,999...9...»}n .{«+0,333...3...»}n ,
{v}n   =   (4,999...9 (met n negens)).(0,333...3 (met n drieën)) ,
{v}n   =   (4,999...9 (met n negens)).(⅓ . 0,999...9 (met n negens)) ,
{v}n   =   (5 - 10-n ).(⅓ . (1 - 10-n )) ,
{v}n   =   ⅓ .(5 - 10-n ).(1 - 10-n ) ,
{v}n   =   ⅓ .(5 - 5.10-n - 1.10-n + 10-2n ) ,
{v}n   =   ⅓ .(5 - 6.10-n + 10-2n ) ,
{v}n   =   (1,666...6...) - 2.10-n + (0,333...3...).10-2n .

Uitrekenen geeft:

{v}0   =   0 ,
{v}1   =   1,47 ,
{v}2   =   1,6467 ,
{v}3   =   1,664667 ,
{v}4   =   1,66646667 ,
{v}5   =   1,6666466667 ,
{v}6   =   1,666664666667 ,
... ,
{v}n   =   1,666...6664666...6667 (voor n ≥ 2) .
... .                             -n              -2n

Een voor de hand liggende uitgebreide decimale schrijfwijze van v is:

v   =   +1,666...6...;...6...6664666...6...;...6...6667000...0... .
                                                                                 -2Ω
We zien dat v een langere infinitesimale staart dan u heeft. Opnieuw een intuïtief bevredigend resultaat.

Omega-decimale ontwikkeling

Hierboven hebben we een aantal fraaie suggesties gevonden met betrekking tot een mogelijke uitgebreide decimale schrijfwijze van parareële en andere daarvan afgeleide omega-getallen. We hebben daarbij expres eenvoudige omega-getallen bekeken. Deze wijzen ons de weg voor de moeilijker omega-getallen. En die zijn niet moeilijk te vinden! Zelfs voor de parareële versies van elementaire irrationale getallen als √2, π en e  stoten we al op de moeilijkheid dat hun decimale ontwikkelingen niet langer de fraaie regelmatige patronen van de boven gegeven voorbeelden bezitten. We hebben voor het algemene geval dan ook een flexibeler, maar helaas minder mooie, representatie nodig. De boven gevonden eenvoudige uitgebreide decimale schrijfwijzen zullen er daarbij als speciale gevallen uit moeten rollen. Hierboven keken we steeds waar de relevante cijfers in de decimale voorstelling van de opeenvolgende componenten van een te beschouwen omega-getal uiteindelijk op uitliepen. Maar we willen ook overweg kunnen met de veelvoorkomende situatie dat deze cijfers niet  uiteindelijk een vaste waarde bereiken. Alleen dan kunnen we van een algemeen  toepasbare representatie spreken.

We beginnen met een aantal definities:

Alleen die omega-getallen a noemen we gehele omega-getallen  waarvan alle componenten {a}n gehele getallen zijn.

Alleen die omega-getallen a noemen we omega-cijfers  waarvoor alle componenten {a}n uit de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 zijn gekozen.

Alleen die oneindige rijen tekens t = (t0 , t1 , t2 , t3 , ... , tn , ...) noemen we omega-tekens  waarvoor alle t0 , t1 , t2 , t3 , ... , tn , ... uit de tekens + en - zijn gekozen. Net als bij een omega-getal noemen we de termen van een omega-teken componenten. We schrijven ook hier voor het gemak {t}k voor de k-de component  tk van het omega-teken: t = (t0 , t1 , t2 , t3 , ... , tn , ...) .

Onder de omega-kopie  +*  van het plusteken  '+'  verstaan we de oneindige rij bestaande uit enkel plussen:
+*   =   (+, +, +, +, ... , +, ...) .

Onder de omega-kopie  -*  van het minteken  '-'  verstaan we de oneindige rij bestaande uit enkel minnen:
-*   =   (-, -, -, -, ... , -, ...) .

Twee omega-tekens t en t' rekenen we precies dan gelijk  wanneer voor alle natuurlijke getallen n (inclusief 0) geldt dat {t}n gelijk is aan {t'}n . Het gelijk zijn van t en t' noteren we als: t = t'.

Twee omega-tekens t en t' rekenen we precies dan uiteindelijk gelijk  wanneer er een natuurlijk getal N bestaat zodanig dat {t}n gelijk is aan {t'}n voor alle natuurlijke getallen n > N. Het uiteindelijk gelijk zijn van t en t' noteren we als: t ~ t'.

Wellicht ten overvloede wijs ik erop dat we voor het + en - teken uitgaan van de onderstaande afspraken:

a = b    voor   a = +  &   b = + ,
a ≠ b    voor   a = +  &   b =  - ,
a ≠ b    voor   a =  -  &   b = + ,
a = b    voor   a =  -  &   b =  -  .

Verder kan ieder reëel getal a (zoals men in de wiskunde-literatuur gemakkelijk kan nazoeken) op precies één manier worden geschreven in de decimale vorm:

a   =   t ... cn ... c3c2c1c0,c-1c-2c-3 ... c-n ... ,

waarbij:

(i) het teken t alleen + of - kan zijn,
(ii) de cijfers ..., cn,..., c3, c2, c1, c0, c-1, c-2, c-3, ..., c-n, ... enkel 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9 kunnen zijn,
(iii) er geen geheel getal N is zodat ck = 9 voor k < N ,
(iv) t = + voor het geval dat ck = 0 voor alle gehele getallen k .

De voorwaarden (iii) en (iv) staan er ten behoeve van de eenvoud en eenduidigheid. We zullen de zo gedefinieerde decimale schrijfwijze de gestipuleerde decimale schrijfwijze  noemen.

Onze bedoeling is de gestipuleerde decimale schrijfwijze voor reële getallen te generaliseren tot een 'omega-decimale ontwikkeling' voor omega-getallen. Om dit soepel te laten verlopen zullen we ter aanduiding van het teken en de cijfers van de gestipuleerde decimale schrijfwijze gebruik maken van respectievelijk een 'reële tekenfunctie' en een 'reële cijferfunctie'. Die definiëren we als volgt:

Onder de reële tekenfunctie  rt  verstaan we de "functie" die voor ieder reëel getal a als "functiewaarde" rt (a) het teken t uit de (boven omschreven) gestipuleerde decimale schrijfwijze voor a oplevert.

Onder de reële cijferfunctie  rc  verstaan we de functie die voor ieder geheel getal k en ieder reëel getal a als functiewaarde rc(k,a) het cijfer ck uit de (boven omschreven) gestipuleerde decimale schrijfwijze voor a oplevert.

Met deze definities geldt nu uiteraard voor ieder reëel getal a dat:

a   =   rt (a) ... rc(n,a) ... rc(3,a)rc(2,a)rc(1,a)rc(0,a),rc(-1,a)rc(-2,a)rc(-3,a) ... rc(-n,a) ... .

Door generalisatie van de reële tekenfunctie en de reële cijferfunctie kunnen we nu eenvoudig een 'omega-decimale ontwikkeling' voor omega-getallen vinden. Dat gaat aldus:

Onder de omega-tekenfunctie  ot  verstaan we de "functie" die voor ieder omega-getal a de onderstaande "functiewaarde" oplevert:

ot (a)   =   (rt ({a}0 ), rt ({a}1 ), rt ({a}2 ), rt ({a}3 ), ... , rt ({a}n ), ...) .

Het is duidelijk dat de omega-tekenfunctie voor ieder omega-getal a een omega-teken oplevert.

Onder de omega-cijferfunctie  oc  verstaan we de functie die voor ieder geheel omega-getal k en ieder omega-getal a de onderstaande functiewaarde oplevert:

oc(k,a)   =   (rc({k}0 ,{a}0 ), rc({k}1 ,{a}1 ), rc({k}2 ,{a}2 ), rc({k}3 ,{a}3 ), ... , rc({k}n ,{a}n ), ...) .

Het is eveneens duidelijk dat de omega-cijferfunctie voor ieder geheel omega-getal k en ieder omega-getal a een omega-cijfer oplevert.

Tenslotte verstaan we voor ieder omega-getal a onder zijn omega-decimale ontwikkeling  het door a voorgebrachte omega-teken t = ot (a) tezamen met alle door a voorgebrachte omega-cijfers cm = oc(m,a). Een omega-decimale ontwikkeling vormt - door de vele mogelijke indices m - derhalve een geweldig complex object. Om er toch enige voorstelling van te geven zullen we in de praktijk alleen een beginstuk feitelijk noteren, en de rest door puntjes suggereren. Bijvoorbeeld aldus:

a   =   t ... cn* ... c3*c2*c1*c0*,c-1*c-2*c-3* ... c-n* ...  ,

waarin:

t   =   ot (a) ,
... ,
cn*   =   oc( n*, a) ,
... ,
c3*   =   oc( 3*, a) ,
c2*   =   oc( 2*, a) ,
c1*   =   oc( 1*, a) ,
c0*   =   oc( 0*, a) ,
c-1*  =   oc(-1*, a) ,
c-2*  =   oc(-2*, a) ,
c-3*  =   oc(-3*, a) ,
... ,
c-n*  =   oc(-n*, a) ,
... .

Oftewel:

a   =   ot (a) ... oc(n*,a) ... oc(3*,a)oc(2*,a)oc(1*,a)oc(0*,a),oc(-1*,a)oc(-2*,a)oc(-3*,a) ... oc(-n*,a) ... .

Merk op dat we hier inderdaad alleen het allereerste begin van de omega-decimale ontwikkeling feitelijk hebben opgeschreven. Ook van de gestipuleerde decimale schrijfwijze voor reële getallen kunnen we niet alle cijfers noteren. Maar bij de reële getallen hebben de cijfers in ieder geval nog wel een betrekkelijk overzichtelijke dubbel oneindige rij indices:

                                                            ... , n , ... , 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, ... , -n, ... .

Dit zijn - toegegeven - weliswaar oneindig veel indices, maar al deze indices zelf zijn eindige getallen. Bovendien heeft iedere index in deze rij een duidelijke plaats ten opzichte van alle andere indices. Voor de gehele omega-getallen, die als indices voor omega-decimale ontwikkelingen optreden, geldt dat niet langer. Er zijn oneindig grote gehele omega-getallen zoals Ω en -2.Ω+4. En er zijn ook gehele omega-getallen zoals (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...) die noch groter dan 0, noch kleiner dan 0, noch gelijk aan 0 zijn. In omega-decimale ontwikkelingen komen er dus cijfers met indices voor die het als het ware vertikken om in de rij te gaan staan. Bedenk dus steeds goed dat een omega-decimale ontwikkeling niet alleen voor de betrekkelijk overzichtelijke rij indices:

                                                    ... , n* , ... , 3*, 2*, 1*, 0*, -1*, -2*, -3*, ... , -n*, ... ,

omega-cijfers heeft, maar dat in een omega-decimale ontwikkeling alle  gehele omega-getallen als index voor omega-cijfers optreden. Een omega-decimale ontwikkeling heeft dus heel veel omega-cijfers!

Een alternatieve schrijfwijze - die we de omega-decimale matrix  zullen noemen - rolt ot (a) en de oc(k,a) in de omega-decimale ontwikkeling van het omega-getal a als het ware naar beneden uit. Laat a een omega-getal zijn met:

a   =   (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,

dan is het beginstuk van de omega-decimale matrix van a :

                                                                             a =
rt (a0 ) ... rc(n,a0 ) ... rc(3,a0 )rc(2,a0 )rc(1,a0 )rc(0,a0 ),rc(-1,a0 )rc(-2,a0 )rc(-3,a0 ) ... rc(-n,a0 ) ...
rt (a1 ) ... rc(n,a1 ) ... rc(3,a1 )rc(2,a1 )rc(1,a1 )rc(0,a1 ),rc(-1,a1 )rc(-2,a1 )rc(-3,a1 ) ... rc(-n,a1 ) ...
rt (a2 ) ... rc(n,a2 ) ... rc(3,a2 )rc(2,a2 )rc(1,a2 )rc(0,a2 ),rc(-1,a2 )rc(-2,a2 )rc(-3,a2 ) ... rc(-n,a2 ) ...
rt (a3 ) ... rc(n,a3 ) ... rc(3,a3 )rc(2,a3 )rc(1,a3 )rc(0,a3 ),rc(-1,a3 )rc(-2,a3 )rc(-3,a3 ) ... rc(-n,a3 ) ...
                                                                             ...
rt (an ) ... rc(n,an ) ... rc(3,an )rc(2,an )rc(1,an )rc(0,an ),rc(-1,an )rc(-2,an )rc(-3,an ) ... rc(-n,an ) ...
                                                                             ... .

Omdat dit juist de gestipuleerde decimale schrijfwijzen van a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ... zijn, is elk omega-getal a uit zijn omega-decimale matrix en dus ook uit zijn omega-decimale ontwikkeling te herleiden. Twee verschillende omega-getallen hebben dus nooit dezelfde omega-decimale ontwikkeling.

Welk deel van de omega-decimale ontwikkeling we ook feitelijk opschrijven hangt geheel van het probleem af waarin we geïnteresseerd zijn. Wat we straks nog willen doen is het vergelijken van de eerder op heuristische wijze gevonden aannemelijke uitgebreide decimale schrijfwijzen van een aantal eenvoudige omega-getallen met hun voorstelling door middel van de algemeen toepasbare omega-decimale ontwikkeling. De onderstaande explicaties van delen van de omega-decimale ontwikkeling zijn daar speciaal op toegesneden.

Laat a een willekeurig omega-getal zijn met:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,

en laat hieronder (een wat groter beginstuk van) de omega-decimale ontwikkeling van a staan:

t ...c3*c2*c1* c0*,c-1*c-2*c-3*...;...c-Ω+3c-Ω+2c-Ω+1cc-Ω-1c-Ω-2c-Ω-3 ...;...c-2Ω+3c-2Ω+2c-2Ω+1c-2Ωc-2Ω-1c-2Ω-2c-2Ω-3...;... .

Dan geldt dus:

t   =   ot (a)   =   (rt (a0 ), rt (a1 ), rt (a2 ), rt (a3 ),  ...  , rt (an ),  ...) ,
... ,
c3*    =   oc( 3*, a)   =   (rc(  3, a0 ), rc( 3, a1 ), rc( 3, a2 ), rc(  3, a3 ),  ...  , rc( 3, an ),  ...) ,
c2*    =   oc( 2*, a)   =   (rc(  2, a0 ), rc( 2, a1 ), rc( 2, a2 ), rc(  2, a3 ),  ...  , rc( 2, an ),  ...) ,
c1*    =   oc( 1*, a)   =   (rc(  1, a0 ), rc( 1, a1 ), rc( 1, a2 ), rc(  1, a3 ),  ...  , rc( 1, an ),  ...) ,
c0*    =   oc( 0*, a)   =   (rc(  0, a0 ), rc( 0, a1 ), rc( 0, a2 ), rc(  0, a3 ),  ...  , rc( 0, an ),  ...) ,
c-1*   =   oc(-1*, a)   =   (rc(-1, a0 ), rc(-1, a1 ), rc(-1, a2 ), rc(-1, a3 ),  ...  , rc(-1, an ),  ...) ,
c-2*   =   oc(-2*, a)   =   (rc(-2, a0 ), rc(-2, a1 ), rc(-2, a2 ), rc(-2, a3 ),  ...  , rc(-2, an ),  ...) ,
c-3*   =   oc(-3*, a)   =   (rc(-3, a0 ), rc(-3, a1 ), rc(-3, a2 ), rc(-3, a3 ),  ...  , rc(-3, an ),  ...) ,
... ,
... ,
c-Ω+3   =   oc(-Ω+3, a)   =   (rc(  3, a0 ), rc( 2, a1 ), rc( 1, a2 ), rc( 0, a3 ),  ...  , rc(-n+3, an ),  ...) ,
c-Ω+2   =   oc(-Ω+2, a)   =   (rc(  2, a0 ), rc( 1, a1 ), rc( 0, a2 ), rc(-1, a3 ),  ...  , rc(-n+2, an ),  ...) ,
c-Ω+1   =   oc(-Ω+1, a)   =   (rc(  1, a0 ), rc( 0, a1 ), rc(-1, a2 ), rc(-2, a3 ),  ...  , rc(-n+1, an ),  ...) ,
c       =   oc(-Ω,      a)   =   (rc(  0, a0 ), rc(-1, a1 ), rc(-2, a2 ), rc(-3, a3 ),  ...  , rc(-n,     an ),  ...) ,
c-Ω-1    =   oc(-Ω-1,   a)   =   (rc(-1, a0 ), rc(-2, a1 ), rc(-3, a2 ), rc(-4, a3 ),  ...  , rc(-n-1,  an ),  ...) ,
c-Ω-2    =   oc(-Ω-2,   a)   =   (rc(-2, a0 ), rc(-3, a1 ), rc(-4, a2 ), rc(-5, a3 ),  ...  , rc(-n-2,  an ),  ...) ,
c-Ω-3    =   oc(-Ω-3,   a)   =   (rc(-3, a0 ), rc(-4, a1 ), rc(-5, a2 ), rc(-6, a3 ),  ...  , rc(-n-3,  an ),  ...) ,
... ,
... ,
c-2Ω+3   =   oc(-2Ω+3, a)   =   (rc(  3, a0 ), rc( 1, a1 ), rc(-1, a2 ), rc(-3, a3 ),  ...  , rc(-2n+3, an ),  ...) ,
c-2Ω+2   =   oc(-2Ω+2, a)   =   (rc(  2, a0 ), rc( 0, a1 ), rc(-2, a2 ), rc(-4, a3 ),  ...  , rc(-2n+2, an ),  ...) ,
c-2Ω+1   =   oc(-2Ω+1, a)   =   (rc(  1, a0 ), rc(-1, a1 ), rc(-3, a2 ), rc(-5, a3 ),  ...  , rc(-2n+1, an ),  ...) ,
c-2Ω       =   oc(-2Ω,      a)   =   (rc(  0, a0 ), rc(-2, a1 ), rc(-4, a2 ), rc(-6, a3 ),  ...  , rc(-2n,      an ),  ...) ,
c-2Ω-1    =   oc(-2Ω-1,   a)   =   (rc(-1, a0 ), rc(-3, a1 ) , rc(-5, a2 ), rc(-7, a3 ),  ...  , rc(-2n-1,  an ),  ...) ,
c-2Ω-2    =   oc(-2Ω-2,   a)   =   (rc(-2, a0 ), rc(-4, a1 ) , rc(-6, a2 ), rc(-8, a3 ),  ...  , rc(-2n-2,  an ),  ...) ,
c-2Ω-3    =   oc(-2Ω-3,   a)   =   (rc(-3, a0 ), rc(-5, a1 ) , rc(-7, a2 ), rc(-9, a3 ),  ...  , rc(-2n-3,  an ),  ...) ,
... ,
... .

Laat opnieuw a een willekeurig omega-getal zijn met:

a = (a0 , a1 , a2 , a3 , ... , an , ...) ,

en laat ook hieronder (voor een positief natuurlijk getal k) weer een beginstuk van de omega-decimale ontwikkeling van a staan:

t ...c3*c2*c1* c0* ,c-1*c-2*c-3*...;...c-kΩ+3c-kΩ+2c-kΩ+1c-kΩ c-kΩ-1c-kΩ-2c-kΩ-3 ...;... .

Dan geldt:

t   =   ot (a)   =   (rt (a0 ), rt (a1 ), rt (a2 ), rt (a3 ),  ...  , rt (an ),  ...) ,
... ,
c3*    =   oc( 3*, a)   =   (rc(  3, a0 ), rc( 3, a1 ), rc( 3, a2 ), rc( 3, a3 ),  ...  ,  rc( 3, an ),  ...),
c2*    =   oc( 2*, a)   =   (rc(  2, a0 ), rc( 2, a1 ), rc( 2, a2 ), rc( 2, a3 ),  ...  ,  rc( 2, an ),  ...) ,
c1*    =   oc( 1*, a)   =   (rc(  1, a0 ), rc( 1, a1 ), rc( 1, a2 ), rc( 1, a3 ),  ...  ,  rc( 1, an ),  ...) ,
c0*    =   oc( 0*, a)   =   (rc(  0, a0 ), rc( 0, a1 ), rc( 0, a2 ), rc( 0, a3 ),  ...  ,  rc( 0, an ),  ...) ,
c-1*   =   oc(-1*, a)   =   (rc(-1, a0 ), rc(-1, a1 ), rc(-1, a2 ), rc(-1, a3 ),  ...  , rc(-1, an ),  ...) ,
c-2*   =   oc(-2*, a)   =   (rc(-2, a0 ), rc(-2, a1 ), rc(-2, a2 ), rc(-2, a3 ),  ...  , rc(-2, an ),  ...) ,
c-3*   =   oc(-3*, a)   =   (rc(-3, a0 ), rc(-3, a1 ), rc(-3, a2 ), rc(-3, a3 ),  ...  , rc(-3, an ),  ...) ,
... ,
... ,
c-kΩ+3   =   oc(-kΩ+3, a)   =   (rc(  3, a0 ), rc(-k+3, a1 ), rc(-2k+3, a2 ), rc(-3k+3, a3 ),  ...) ,
c-kΩ+2   =   oc(-kΩ+2, a)   =   (rc(  2, a0 ), rc(-k+2, a1 ), rc(-2k+2, a2 ), rc(-3k+2, a3 ),  ...) ,
c-kΩ+1   =   oc(-kΩ+1, a)   =   (rc(  1, a0 ), rc(-k+1, a1 ), rc(-2k+1, a2 ), rc(-3k+1, a3 ),  ...) ,
c-kΩ       =   oc(-kΩ,      a)   =   (rc(  0, a0 ), rc(-k,     a1 ), rc(-2k,      a2 ), rc(-3k,      a3 ),  ...) ,
c-kΩ-1    =   oc(-kΩ-1,   a)   =   (rc(-1, a0 ), rc(-k-1,  a1 ), rc(-2k-1,   a2 ), rc(-3k-1,   a3 ),  ...) ,
c-kΩ-2    =   oc(-kΩ-2,   a)   =   (rc(-2, a0 ), rc(-k-2,  a1 ), rc(-2k-2,   a2 ), rc(-3k-2,   a3 ),  ...) ,
c-kΩ-3    =   oc(-kΩ-3,   a)   =   (rc(-3, a0 ), rc(-k-3,  a1 ), rc(-2k-3,   a2 ), rc(-3k-3,   a3 ),  ...) ,
... ,
... .

De boven gevonden formules gaan we zo dadelijk gebruiken. Wanneer de lezer geïnteresseerd is in andere delen van de omega-decimale ontwikkeling zal hij de formules die deze delen beschrijven op basis van de definitie van de omega-decimale ontwikkeling gemakkelijk ook zelf wel kunnen vinden.

Voorbeelden

Eerder vonden we als aannemelijke uitgebreide decimale schrijfwijze voor een aantal eenvoudige omega-getallen:

(i)   d*   =   +0,000...0...;...0...0001000...0... .
                                                          
(ii)   (d*)m   =   +0,000...0...;...0...0001000...0... .
                                                              -mΩ
(iii)   «+0,999...9...»   =   +0,999...9...;...9...9999000...0... .
                                                                                 
(iv)   «+0,333...3...»   =   +0,333...3...;...3...3333000...0... .
                                                                                 
(v)   «+5,000...0...».«+0,333...3...»   =   +1,666...6...;...6...6665000...0... .
                                                                                                            
(vi)   «+4,999...9...».«+0,333...3...»   =   +1,666...6...;...6...6664666...6...;...6...6667000...0... .
                                                                                                                                             -2Ω
We zullen nu laten zien dat deze heuristische resultaten bij het gebruik van de omega-decimale ontwikkeling behouden blijven.

(i) Voor d*  geldt zoals bekend dat:

d*   =   (1;   0,1;   0,01;   0,001;   0,0001;   0,00001;   0,000001;  ...) .

Anders geschreven:

{d* }0   =   + ...0001,000000000... ,
{d* }1   =   + ...0000,100000000... ,
{d* }2   =   + ...0000,010000000... ,
{d* }3   =   + ...0000,001000000... ,
{d* }4   =   + ...0000,000100000... ,
{d* }5   =   + ...0000,000010000... ,
{d* }6   =   + ...0000,000001000... ,
... .

Dus:

t   =   (+, +, +, +, ... , +, ...)   ~   +* ,
... ,
c3*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c2*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c1*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c0*      =   (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-1*     =   (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2*     =   (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-3*     =   (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
... ,
... ,
c-Ω+3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-Ω+2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-Ω+1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c        =   (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)   ~   1*,
c-Ω-1     =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-Ω-2     =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-Ω-3     =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
... ,
... ,
c-2Ω+3   =   (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2Ω+2   =   (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2Ω+1   =   (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2Ω       =   (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
... ,
... .

Hetgeen klopt met:

d*   =   +0,000...0...;...0...0001000...0... .
                                                   

(ii) Voor (d* )m geldt (voor positieve natuurlijke getallen m) dat:

(d* )m   =   (100 , 10-1, 10-2, 10-3, ... , 10-n, ...)m,
(d* )m   =   ((100)m, (10-1)m, (10-2)m, (10-3)m, ... , (10-n)m, ...) ,
(d* )m   =   (1, 10-m, 10-2m, 10-3m, ... , 10-nm, ...) ,
(d* )m   =   (1; 0,000...001; 0,000...001; 0,000...001; ... ; 0,000...001; ...) .
                                         -m                 -2m                 -3m                        -nm
Anders geschreven:

{(d* )m }0   =   + ...0001,0000000000... ,

{(d* )m }1   =   + ...0000,000...001000... ,
                                                      -m
{(d* )m }2   =   + ...0000,000...001000... ,
                                                     -2m
{(d* )m }3   =   + ...0000,000...001000... ,
                                                     -3m
... ,

{(d* )m }n   =   + ...0000,000...001000... ,
                                                     -nm
... .

Dus:

t  =  (+, +, +, +, ... , +, ...)  ~  +* ,
... ,
c3*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c2*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c1*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c0*      =   (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-1*     =   (0, ?, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-2*     =   (0, ?, ?, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-3*     =   (0, ?, ?, ?, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
... ,
... ,
c-mΩ+3   =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-mΩ+2   =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-mΩ+1   =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-mΩ       =   (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)   ~   1*,
c-mΩ-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-mΩ-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
c-mΩ-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0*,
... ,
... .

Om te weten wat er op de plaatsen van de vraagtekens komt te staan moeten we de exacte waarde van m weten. Voor het verband met de eerder gevonden aannemelijke uitgebreide decimale schrijfwijze van (d* )m maakt dat echter niet uit. Het omega-teken en de relevante omega-cijfers zijn zoals we zien hoe dan ook uiteindelijk gelijk aan omega-kopieën van het teken en de cijfers uit de uitgebreide decimale schrijfwijze:

(d* )m   =   +0,000...0...;...0...0001000...0... .
                                                        -mΩ

(iii) Voor «+0,999...9...» geldt per definitie:

«+0,999...9...»   =   (0;   0,9;   0,99;   0,999;   0,9999;   0,99999;   0,999999;  ...) .

Anders geschreven:

{«+0,999...9...»}0   =   + ...0000,000000000... ,
{«+0,999...9...»}1   =   + ...0000,900000000... ,
{«+0,999...9...»}2   =   + ...0000,990000000... ,
{«+0,999...9...»}3   =   + ...0000,999000000... ,
{«+0,999...9...»}4   =   + ...0000,999900000... ,
{«+0,999...9...»}5   =   + ...0000,999990000... ,
{«+0,999...9...»}6   =   + ...0000,999999000... ,
... .

Dus:

t   =   (+, +, +, +, +, +, +, +, +, +, ...)   ~   +* ,
... ,
c3*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c2*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c1*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c0*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-1*     =   (0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ...)   ~   9* ,
c-2*     =   (0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ...)   ~   9* ,
c-3*     =   (0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ...)   ~   9* ,
... ,
... ,
c-Ω+3   =   (0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ...)   ~   9* ,
c-Ω+2   =   (0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ...)   ~   9* ,
c-Ω+1   =   (0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ...)   ~   9* ,
c       =   (0, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ...)   ~   9* ,
c-Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
... ,
... ,
c-2Ω+3   =   (0, 0, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω+2   =   (0, 0, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω+1   =   (0, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω       =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
... ,
... .

Hetgeen overeenstemt met:

«+0,999...9...»   =   +0,999...9...;...9...9999000...0... .
                                                                         

(iv) Voor «+0,333...3...» geldt per definitie:

«+0,333...3...»   =   (0;   0,3;   0,33;   0,333;   0,3333;   0,33333;   0,333333;  ...) .

Anders geschreven:

{«+0,333...3...»}0   =   + ...0000,000000000... ,
{«+0,333...3...»}1   =   + ...0000,300000000... ,
{«+0,333...3...»}2   =   + ...0000,330000000... ,
{«+0,333...3...»}3   =   + ...0000,333000000... ,
{«+0,333...3...»}4   =   + ...0000,333300000... ,
{«+0,333...3...»}5   =   + ...0000,333330000... ,
{«+0,333...3...»}6   =   + ...0000,333333000... ,
... .

Dus:

t   =   (+, +, +, +, +, +, +, +, +, +, ...)   ~   +* ,
... ,
c3*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c2*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c1*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c0*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-1*     =   (0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...)   ~   3* ,
c-2*     =   (0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...)   ~   3* ,
c-3*     =   (0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...)   ~   3* ,
... ,
... ,
c-Ω+3   =   (0, 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...)   ~   3* ,
c-Ω+2   =   (0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...)   ~   3* ,
c-Ω+1   =   (0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...)   ~   3* ,
c       =   (0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...)   ~   3* ,
c-Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
... ,
... ,
c-2Ω+3   =   (0, 0, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω+2   =   (0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω+1   =   (0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω       =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
... ,
... .

Hetgeen overeenstemt met:

«+0,333...3...»   =   +0,333...3...;...3...3333000...0... .
                                                                         

(v) Voor «+5,000...0...».«+0,333...3...» vonden we:

«+5,000...0...».«+0,333...3...»   =   (0;   1,5;   1,65;   1,665;  ...  ;   1,666...65 (voor n ≥ 2);  ...) .
                                                                                                                                 -n
Anders geschreven:

{«+5,000...0...».«+0,333...3...»}0   =   + ...0000,000000000... ,
{«+5,000...0...».«+0,333...3...»}1   =   + ...0001,500000000... ,
{«+5,000...0...».«+0,333...3...»}2   =   + ...0001,650000000... ,
{«+5,000...0...».«+0,333...3...»}3   =   + ...0001,665000000... ,
... ,
{«+5,000...0...».«+0,333...3...»}n   =   + ...0001,666...65000... (voor n ≥ 2) ,
... .                                                                                         -n

Dus:

t   =   (+, +, +, +, +, +, +, +, +, +, ...)   ~   +* ,
... ,
c3*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c2*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c1*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c0*      =   (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)   ~   1* ,
c-1*     =   (0, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-2*     =   (0, 0, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-3*     =   (0, 0, 0, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
... ,
... ,
c-Ω+3   =   (0, 0, 0, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-Ω+2   =   (0, 0, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-Ω+1   =   (0, 1, 6, 6, 6, 6 ,6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c       =   (0, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...)   ~   5* ,
c-Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
... ,
... ,
c-2Ω+3   =   (0, 0, 6, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω+2   =   (0, 1, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω+1   =   (0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω       =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
... ,
... .

Hetgeen overeenstemt met:

«+5,000...0...».«+0,333...3...»   =   +1,666...6...;...6...6665000...0... .
                                                                                                     

(vi) Voor «+4,999...9...».«+0,333...3...» vonden we:

{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}0   =   0 ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}1   =   1,47 ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}2   =   1,6467 ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}3   =   1,664667 ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}4   =   1,66646667 ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}5   =   1,6666466667 ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}6   =   1,666664666667 ,
... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}n   =   1,666...6664666...6667 (voor n ≥ 2) ,
... .                                                                                -n              -2n

Anders geschreven:

{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}0   =   + ...0000,00000000000000000000... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}1   =   + ...0001,47000000000000000000... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}2   =   + ...0001,64670000000000000000... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}3   =   + ...0001,66466700000000000000... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}4   =   + ...0001,66646667000000000000... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}5   =   + ...0001,66664666670000000000... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}6   =   + ...0001,66666466666700000000... ,
... ,
{«+4,999...9...».«+0,333...3...»}n   =   + ...0001,666...6664666...6667000... (voor n ≥ 2) ,
... .                                                                                             -n              -2n

Dus:

t   =   (+, +, +, +, +, +, +, +, +, +, ...)   ~   +* ,
... ,
c3*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c2*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c1*      =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c0*      =   (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)   ~   1* ,
c-1*     =   (0, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-2*     =   (0, 7, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-3*     =   (0, 0, 6, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
... ,
... ,
c-Ω+3   =   (0, 0, 0, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-Ω+2   =   (0, 0, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-Ω+1   =   (0, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c       =   (0, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...)   ~   4* ,
c-Ω-1    =   (0, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-Ω-2    =   (0, 0, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-Ω-3    =   (0, 0, 0, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
... ,
... ,
c-2Ω+3   =   (0, 0, 6, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-2Ω+2   =   (0, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-2Ω+1   =   (0, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...)   ~   6* ,
c-2Ω       =   (0, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ...)   ~   7* ,
c-2Ω-1    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-2    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
c-2Ω-3    =   (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)   ~   0* ,
... ,
... .

Hetgeen overeenstemt met:

«+4,999...9...».«+0,333...3...»   =   +1,666...6...;...6...6664666...6...;...6...6667000...0... .
                                                                                                                                    -2Ω

Al met al blijkt de omega-decimale ontwikkeling een keurig gedefinieerde generalisatie van de eerder op heuristische wijze gevonden uitgebreide decimale schrijfwijze voor een aantal eenvoudige omega-getallen.

Escultura's new real numbers en de parareële getallen

In een eerder artikel [3] bespraken we de poging van professor Edgar E. Escultura om een getallensysteem (genaamd de new real numbers ) met 0,999... ≠ 1 te ontwerpen. Het blijkt nu dat reeds het systeem van Schmieden en Laugwitz in deze mogelijkheid voorziet. We vonden immers: «+1,000...0...» = «+0,999...9...» + d*. Daarbij zijn «+1,000...0...» en «+0,999...9...» wat wij parareële getallen genoemd hebben, en is d*  een infinitesimaal omega-getal. Toch heeft onze d*  niet precies de eigenschappen die Escultura aan zijn d* toeschrijft. Zo zou volgens Escultura (zie [4]) voor alle natuurlijke getallen n > 2 moeten gelden dat:

xn + yn = zn .

Wanneer:

x = (0,999...).10T,
y = d*,
z = 10T,

voor alle positieve natuurlijke getallen T.

We bekijken het eenvoudigste geval: n = 3 en T = 1. Voor onze parareële getallen en voor het infinitesimale omega-getal d*  geldt dan:

x = «+0,999...9...».«+10,000...0...»,
y = d*,
z = «+10,000...0...».

Dus:

{x}k = {«+0,999...9...».«+10,000...0...»}k ,
{x}k = {«+0,999...9...»}k . {«+10,000...0...»}k ,
{x}k = (1 - 10-k ) .10 .

{y}k = {d* }k ,
{y}k = 10-k .

{z}k = {«+10,000...0...»}k .
{z}k = 10 .

Zodat:

{x3 + y3 }k = {x3 }k + {y3 }k ,
{x3 + y3 }k = {x}k3 + {y}k3 ,
{x3 + y3 }k = ((1 - 10-k ) .10)3 + (10-k )3 ,
{x3 + y3 }k = (1 - 10-k )3 .1000 + (10-k )3 ,
{x3 + y3 }k = (1 - 3.10-k + 3.(10-k )2 - (10-k )3 ) .1000 + (10-k )3 ,
{x3 + y3 }k = 1000 - 3000.10-k + 3000.(10-k )2 - 999.(10-k )3 .

{z3 }k = {z}k3 ,
{z3 }k = 103 ,
{z3 }k = 1000 .

Men gaat eenvoudig na dat {x3 + y3 }k ≠ {z3 }k voor k = 0. Dus weten we alvast dat:

x3 + y3 ≠ z3 .

Zijn er wellicht toch oneindig veel waarden van k waarvoor geldt dat {x3 + y3 }k = {z3 }k ? Voor dergelijke k zou moeten gelden:

{x3 + y3 }k = {z3 }k ,
1000 - 3000.10-k + 3000.(10-k )2 - 999.(10-k )3 = 1000 ,
-3000.10-k + 3000.(10-k )2 - 999.(10-k )3 = 0 ,
-3000 + 3000.10-k - 999.(10-k )2 = 0 .

Omdat dit een kwadratische vergelijking in 10-k  is en omdat f(k) = 10-k  een strikt dalende functie van k is, kunnen er hoogstens twee waarden van k zijn waarvoor {x3 + y3 }k = {z3 }k . Hieruit volgt dat:

x3  +  y3   ~/~    z3  .

Wel is het duidelijk dat x3 + y3 ≈ z3. Maar omdat ook «+0,999...9...» ≈ 1  en d*0, is dat niets bijzonders.

Varianten

Hierboven zijn we voor het gemak uitgegaan van rijtjes reële getallen. Met als gevolg dat we een getallensysteem kregen dat de omega-kopieën bevat van alle reële getallen met daarnaast alle parareële getallen. We hadden ook uit kunnen gaan van rijtjes rationale getallen. De constructie van de gebruikelijke reële getallen zou daarbij achterwege kunnen blijven (zie [14]). Zo kunnen we een alternatieve uitbreiding van het systeem Q van de rationale getallen verkrijgen. In dat systeem zouden de parareële getallen (als rijtjes van afbrekende decimale en dus van rationale getallen) ook gedefinieerd kunnen worden. Doordat een dergelijk systeem niet op de reële getallen gebaseerd is zou het voor mensen die 0,999... en 1 per se als ongelijk willen beschouwen wellicht aantrekkelijker zijn. We zullen op de voor- en nadelen van een dergelijke aanpak hier verder niet in gaan.

Ten slotte hadden we ook gebruik kunnen maken van de niet-standaard analyse van Abraham Robinson (1918-1974). Deze theorie maakt het, net als de omega-analyse van Schmieden en Laugwitz, mogelijk oneindig kleine en oneindig grote getallen in te voeren [13]. Een van Robinson's medewerkers A. Harold Lightstone heeft zelfs een manier bedacht om oneindig kleine getallen van een decimale representatie te voorzien [10]. Dit lijkt enigszins op onze benadering, maar er zijn ook belangrijke verschillen. Lightstone's benadering heeft een uitgesproken niet-constructief karakter. Een toepassing van Robinsons niet-standaard analyse op het 0,999... probleem wordt gegeven door Karin Usadi Katz en Mikhail G. Katz in hun A Strict Non-standard Inequality .999 . . . < 1 [5]. Omdat de niet-standaard analyse in haar grondslagen buitengewoon abstract is, is het echter de vraag of het 0,999... probleem daarmee te verhelderen valt.

Conclusie

Het bovenstaande bevat een sterk vereenvoudigde, grove schets. Ik heb Schmieden en Laugwitz niet op de voet gevolgd. Mijn bedoeling is vooral geweest de kern van de omega-analyse op zo eenvoudig mogelijke maar toch deugdelijke wijze te presenteren. We hebben de theorie daarom niet rigoureus op basis van definities en bewijzen opgebouwd. Hoewel dat op zich ook een interessante exercitie zou zijn! De bewijzen die hier wel zijn opgenomen geven daarvan een indruk. Hoe de omega-analyse wiskundig verantwoord kan worden opgezet kan men zo nodig nalezen in [8] en [14].

Niettemin meen ik voldoende duidelijk te hebben gemaakt dat het inderdaad mogelijk is een getallensysteem te construeren waarin 0,999... kleiner is dan 1. De intuïtie van velen dat 0,999... 'ietsjes' kleiner dan 1 is, mag dan ook niet zonder meer als onzin worden afgedaan. Los daarvan moet het hier geschetste getallensysteem vooral worden opgevat als bijdrage aan de recreatieve  wiskunde. De overvloedige discussies op het internet over de 0,999... kwestie draaien meestal in cirkeltjes rond waarbij reeds lang bekende argumenten eindeloos worden herhaald. Het zou wel zo interessant zijn - en ook veel leuker! - wanneer men het feitelijke ontwerp en de verdere uitwerking van alternatieve getallensystemen waarin 0,999... en 1 ongelijk zijn, ook daadwerkelijk ter hand zou nemen. Op dit gebied valt voor wiskunde-enthousiasten nog heel veel te ontdekken.
© 2009 - 2018 Bartholomeus, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Omega 3 vetzuren binnenkrijgen zonder vis te etenOmega 3 vetzuren binnenkrijgen zonder vis te etenOmega 3 vetzuren zijn een belangrijk onderdeel van onze dagelijkse voeding. Verschillende voedingsmiddelen bevatten omeg…
Gezonde vetzuren - Omega 3 & 6 - Goede vettenGoede vetten of gezonde vetzuren, welke zijn dit? Omega 3 & 6. Vis uit koud water bevat de meeste Omega-3 vetzuren. Desk…
Omega-3 voor de hond, belangrijk voor de gezondheidOmega-3 voor de hond, belangrijk voor de gezondheidHet is bekend dat omega-vetzuren belangrijk zijn voor de mens, maar minder bekend is dat het ook heel goed is voor honde…
Omega 3, 6 en LinolzuurOmega 3, 6 en LinolzuurHart- en vaatziekten zijn lange tijd nr. 1 in doodsoorzaken geweest en in die tijd hebben wij kunnen lezen en vernemen d…
Hart en omega-3-vetzurenEPA en DHA, de lange keten omega-3-vetzuren uit visolie, gaan hartritmestoornissen waaronder atrium- en ventrikelfibrill…
Bronnen en referenties
  • [1] 0.999... (http://en.wikipedia.org/wiki/0.999). [2] DeSua, F.C. (1960) A System Isomorphic to the Reals. American Mathematical Monthly 67. pp. 900-903 . [3] Donselaar, B. van (2009). Edgar E. Escultura en de ongelijkheid van 1 en 0,999... (http://wetenschap.infonu.nl/wiskunde/32165-edgar-e-escultura-en-de-ongelijkheid-van-1-en-0999.html). [4] Freeman, L. (2006). False Proofs - E.E. Escultura. (http://falseproofs.blogspot.com/). [5] Katz, K. Usadi & Katz, M. G.(2009). A Strict Non-standard Inequality .999 . . . < 1. (http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0811/0811.0164v8.pdf). [6] Laugwitz, D. (1961). Anwendungen unendlich kleiner Zahlen. I. Zur Theorie der Distributionen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 207, pp. 53-60. [7] Laugwitz, D. (1961). Anwendungen unendlich kleiner Zahlen. II. Ein Zugang zur Operatorenrechnung von Mikusiński. Journal für die reine und angewandte Mathematik 208. pp. 22-34. [8] Laugwitz, D. (1973). Ein Weg zur Nonstandard-Analysis. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 75 pp. 66-93. [9] Laugwitz, D. (1984). Rise, Fall and Resurrection of Infinitesimals. Tekst Nr. 88. (http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/pdf/88.pdf). [10] Lightstone, A. H. (1972). Infinitesimals. American Mathematical Monthly 79, 242251. [11] Plutonium, A. (2004). Adics are Riemannian Geometry and Reals are Lobachevsky and Doubly−Infinites are Euclidean Geometry. (http://sci.tech-archive.net/pdf/Archive/sci.logic/2004-09/1103.pdf). [12] Plutonium, A. (2004). Re: evidence Re: Reals form a saddle shape? Re: Adics are Riemannian Geometry and Reals are Lobachevsky and Doubly−Infinites are Euclidean. (http://sci.tech-archive.net/pdf/Archive/sci.math/2004-09/4247.pdf). [13] Robinson, A. (1996). Non-standard Analysis. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. [14] Schmieden, C. & Laugwitz, D. (1958). Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung Mathematische Zeitschrift 69, pp. 1-39. [15] Spalt, D.D. (1981). Vom Mythos der mathematischen Vernunft. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. [16] Vollrath, H.-J. (1968). Grundgedanken der Omega-Analysis und ihrer Anwendung auf die Bestimmung reeller Grenzwerte. Mathematisch Physikalische Semesterberichte 15, pp. 102-111.

Reageer op het artikel "Omega-analyse en 0,999"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Bartholomeus
Laatste update: 16-06-2009
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 1
Schrijf mee!