Het Monty Hall probleem
Het Monty Hall probleem werd bekend door de Amerikaanse spelshow Let’s make a Deal’ met presentator Monty Hall, en is een probleem uit de kansberekening en speltheorie die velen niet kunnen begrijpen. Het druist tegen ieders intuïtie in, maar toch is het mogelijk om de kansen in een spelquiz in jouw voordeel te beslissen. Hoe? Dat lees je hieronder.Uitleg van de spelsituatie
Het Monty Hall probleem, ook wel driedeurenprobleem genoemd, werkt als volgt:In de Amerikaanse spelshow ‘Let’s make a Deal’ wordt een deelnemer geconfronteerd met drie gesloten deuren. Achter één van de deuren staat een auto, en achter de andere twee deuren een geit. Iedereen wil natuurlijk de auto winnen, maar alleen de spelpresentator weet achter welke deur die te vinden is. De deelnemer moet één deur aanwijzen en krijgt als prijs datgene wat zich achter die deur bevindt. Als de deelnemer een deur heeft gekozen, opent de spelleider één van de andere twee deuren waarachter een geit staat. Daarna krijgt de deelnemer de mogelijkheid om te wisselen van gesloten deur, dat betekent dat hij mag wisselen van zijn eerder gekozen gesloten deur naar de andere nog gesloten deur. De vraag is wat de deelnemer moet doen? Moet hij bij zijn eerste ingeving blijven, of moet hij van deur veranderen? Of maakt het niets uit, en is de kans dat de auto achter één van de twee deuren zit bij allebei even groot? Dat lijkt misschien wel zo, maar is niet zo…
Waarom je altijd van deur moet veranderen
Er zijn drie deuren waartussen de deelnemer kan kiezen, wat betekent dat de kans dat de auto achter de kozen deur van de deelnemer zit 33.3 procent is, en de kans dat er een geit achter zijn gekozen deur zit precies 66.7 procent is.De presentator, die wel weet achter welke deur de auto verstopt zit, maakt nadat de deelnemer een deur heeft gekozen een deur open waar een geit achter zit, en stelt vervolgens de magische vraag: ‘Wilt u uw keuze herzien en de andere deur kiezen?’ De bedoeling is om vertwijfeling en verwarring te veroorzaken, want het is beredeneerbaar dat de deelnemer altijd van deur moet wisselen om zijn kansen te doen toenemen op het winnen van de auto.
Bron: Cepheus, Wikimedia Commons (Publiek domein)Volgens de regels van kansberekening en statistiek kan de kans dat de auto achter deur 2 of deur 3 zit niet veranderen, die blijft 66.7 procent. Op het moment dat de presenator deur 3 open maakt en de geit zichtbaar wordt die achter de deur staat, weet men dat de kans dat de auto achter deur 3 zit precies 0 is: er staat immers een geit. Omdat de kans dat de auto achter deur 2 of deur 3 stond gelijk blijft aan 66.7 procent en we nu weten dat de kans dat de auto achter deur 3 staat gelijk is aan 0, betekent dit dat de kans dat de auto achter deur 2 zit precies (66.7 – 0 =) 66.7 procent is, precies twee keer zo groot als de kans dat de auto achter deur 1 zit. Van deur wisselen betekent dus dat de deelnemer zijn kans om de auto te winnen precies verdubbelt.
Een waarschijnlijk nog duidelijker voorbeeld is wanneer er een miljoen deuren zouden zijn, en Monty nadat de deelnemer 1 deur heeft gekozen, 999.998 deuren zou openen waarachter een geit zit. De kans dat jouw gekozen deur de auto bevat is 1 op een miljoen, terwijl de kans dat hij achter de enige nog andere gesloten deur zit precies 999.999 op een miljoen is.
Conclusie
We kunnen concluderen dat de eerste keuze van de deelnemer om een deur te kiezen puur willekeurig is, een gevoel. De kans dat de auto achter deur 1, deur 2 of deur 3 zit is voor elke deur precies even groot. Op het moment dat de spelleider echter één deur met een geit openmaakt, verandert de kansverdeling.Geloof je het nog niet? Dan kun je deze spelsituatie heel simpel nabootsen, en kom je er achter dat het echt zo werkt. Je kunt dit thuis met allerlei voorwerpen doen, bijvoorbeeld met drie bekers die je ondersteboven op tafel zet, en waaronder één beker een klein voorwerp verstopt ligt. Laat iemand anders de spelleider zijn, die weet onder welke beker iets verstopt ligt. Boots de spelsituatie van de drie deuren na, en herhaal het experiment meerdere keren. De kans dat je de beker met het kleine voorwerp uiteindelijk hebt door van beker te veranderen nadat de spelleider één van de twee niet door jou gekozen bekers heeft omgedraaid, is voor elk experiment 66.7 procent. Succes is dus niet gegarandeerd, maar de kans dat je wint is wel onmiskenbaar groter dan wanneer je bij je eerste keuze blijft!
Gerelateerde artikelen
recensieHet geheim van Montague van Santa MontefioreSanta Montefiore schrijft met de regelmaat van de klok schitterende romans. Ze hanteert een herkenbare stijl en zet lief…
recensieMonty Python and the Holy Grail (1975) - een topper"Monty Python's Flying Circus" geniet als televisiebegrip uit de jaren 1969-1974 nog altijd een grote mate van bekendhei…
Lengtematen omrekenenMeter, inch, foot, mijl, zeemijl en yard zijn allemaal lengtematen. Hoeveel is dat eigenlijk? Dit kun je omrekenen met e…Bronnen en referenties
- http://nl.wikipedia.org
- http://www.montyhallproblem.org
- Afbeelding bron 1: Cepheus, Wikimedia Commons (Publiek domein)
Reacties
Arnoldkurver, 09-12-2011
Als er keus is uit a, b en c heeft ieder daarvan 1/3 kans de juiste keus te zijn - combinaties a/b, a/c en b/c hebben allen 2/3 kans - als a wegvalt resteert alleen nog b en c met ieder afzonderlijk 1/2 kans - als gesteld wordt dat b de beste keus is omdat b in de combinatie a 2/3 kans bood staat daartegenover dat c in combinatie met a ook 2/3 kans bood - wijziging van keus tussen b en c verandert daar niets aan en is dus een denkfout!
Reactie infoteur, 09-12-2011
Helaas, maar zo werkt het Monty Hall dilemma toch niet.
We gaan weer van dezelfde situatie uit, waarbij ik als deelnemer deur 1 kies. De spelleider weet achter welke deur de auto zit, en maakt altijd één van de twee overgebleven deuren waar dus een geit achter zit.
Er zijn zoals gezegd drie mogelijkheden. De auto kan achter deur 1, deur 2 of deur 3 zitten. Nu ga ik eens kijken wat er gebeurt met alle mogelijke uitkomsten als ik deur 1 kies.
De auto zit achter deur 1: Ik heb deur 1 gekozen, de spelleider maakt deur 2 of deur 3 open waar de auto niet achter zit (maakt dus niet uit welke, want de auto zit achter deur 1), en ruil van deur. Uitkomst: Ik heb een geit.
De auto zit achter deur 2: Ik heb deur 1 gekozen, de spelleider maakt deur 3 open. Dat moet hij wel, omdat de auto achter deur 2 zit. Als ik nu van deur ruil eindig ik met deur 2, en win ik de auto.
De auto zit achter deur 3: Ik heb deur 1 gekozen, de spelleider maatk deur 2 open. Dat moet hij wel, omdat de auto achter deur 3 zit. Als ik nu van deur ruil eindig ik met deur 3, en win ik de auto.
Zoals je kan zien win je in 2 van de 3 gevallen de auto als je van deur ruilt. ;)
Ik hoop dat dit het nog iets duidelijker voor je maakt.
Ledje (infoteur), 18-10-2011 #4
Ik heb nog nooit van het monty hall probleem gehoord, en ik heb het artikel dan ook aandachtig gelezen. Het is vrij ingewikkeld, maar vooral dat voorbeeld van een miljoen deuren maakt het voor mij duidelijk. Eigenlijk is het heel simpel. Het is logisch dat als ik van te voren 1 deur uit 1 miljoen deuren kies, de kans dat de auto achter die deur zit 1 op 1 miljoen is. Maar als 999.998 deuren worden opengemaakt waarachter de geit zit… en mijn gekozen deur + nog een willekeurige deur overblijft… dan is het logisch dat ik voor die andere deur moet kiezen! Want dan heb ik 999.999 op 1 miljoen kans dat daarachter de auto zit. Zo begrijp ik het toch goed?
Reactie infoteur, 18-10-2011
Dat klopt helemaal inderdaad. Er zijn verschillende 'manieren' om het proberen uit te leggen, waarvan ik de meest ingewikkelde denk ik nog weg heb gelaten, dat is namelijk de wiskunde oplossing. Maar duidelijker dan met het voorbeeld van 100, 1000 of zelfs een miljoen deuren kun je het niet maken denk ik. ;)
Ik ben in ieder geval blij dat het artikel aan je duidelijk heeft gemaakt hoe het Monty Hall probleem werkt, en bedankt voor je reactie!
Dirkpostma (infoteur), 10-10-2011 #3
"Volgens de regels van kansberekening en statistiek kan de kans dat de auto achter deur 2 of deur 3 zit niet veranderen, die blijft 66.7 procent."
Deze zin is niet waar. Op het moment dat je extra informatie krijgt, veranderen de kansen. Nadat de spelleider we deur heeft geopend, veranderen de kansen. Het wordt dan als het ware het spel: "we hebben twee deuren. Achter 1 deur zit een geit, achter de ander een auto." Het feit dat er toevallig nog een derde deur is waar toevallig een geit in staat te mekkeren, verandert niets aan dat (nieuwe) spel. Net zo min maakt het uit dat er deur is met een groen bordje erboven (uitgang).
Het is erg vermakelijk, maar het artikel is totale onzin, kans wordt 50% nadat quizmaster een deur met geit heeft geopend.
Reactie infoteur, 11-10-2011
Ik waardeer je reactie, laat ik dat voorop stellen. Maar zeggen dat het artikel totale onzin is, is ten eerste niet waar, en ten tweede niet echt respectvol tegenover iemand die zoiets schrijft. ;)
Laat ik eerst zeggen dat het niet voor iedereen mogelijk is om iets als het Monty Hall probleem te begrijpen. Een vriend van me kon tijdens het college waarin ik in aanraking kwam met dit probleem ook niet geloven dat de kansen niet 50 procent zijn voor allebei de deuren, en hij is allesbehalve dom (lees: haalt al zijn vakken op de universiteit). Ik wil hier niemand mee beledigen, maar als je na een uitvoerige uitleg niet begrijpt waarom de kansen niet gelijk zijn voor allebei de deuren, ben ik bang dat je het niet begrijpt en niet zal begrijpen.
Ik zal in het volgende voorbeeld proberen het nog duidelijker te maken, in toevoeging op mijn artikel:
We gaan uit van precies dezelfde situatie, zodat ik niet alles opnieuw hoef te typen. De deelnemer kiest dus een deur die we deur 1 noemen, en de spelleider maakt vervolgens deur 2 of deur 3 open. Nu gaan we kijken wat er gebeurt als de deelnemer altijd van deur zou veranderen:
[B]Als de auto achter deur 1 blijkt te zitten:[/B]
De deelnemer heeft deur 1 aanvankelijk gekozen, en de spelleider maakt één van de andere twee deuren open. Het maakt niet uit welke van de twee, want de auto zit achter deur 1. De deelnemer switch daarna van deur, en eindigt dus met een deur waar een geit achter zit. De kans dat dit gebeurt is 1/3e.
[B]Als de auto achter deur 2 blijkt te zitten:[/B]
De deelnemer heeft deur 1 aanvankelijk gekozen, en de spelleider moet nu deur 3 openmaken, omdat achter deur 2 de auto zit. De kans dat dit gebeurt is 1/3e. De deelnemer eindigt dus met de deur waar de auto achter zit.
[B]Als de auto achter deur 3 blijkt te zitten:[/B]
De deelnemer heeft deur 1 aanvankelijk gekozen, en de spelleider moet nu deur 2 openmaken, omdat achter deur 3 de auto zit. De kans dat dit gebeurt is 1/3e. De deelnemer eindigt dus met de deur waar de auto achter zit.
Zoals je ziet is de kans 2/3e om de auto te winnen wanneer de deelnemer van deur zou wisselen. Mocht je dit nu nog niet begrijpen, dan wil je graag aanraden om op verschillende internetsites wat meer over het Monty Hall probleem te lezen. Het bestaat namelijk echt, en wat ik schrijf klopt ook echt. Hopelijk zie je dan in dat dit artikel allesbehalve onzin is. ;)
Infoteuryannick (infoteur), 04-10-2011 #2
Op het moment dat 1 deur wegvalt blijven er 2 deuren over en is voor beide deuren de kans op 50% lijkt me…
Reactie infoteur, 04-10-2011
Stel dat er 100 deuren zouden zijn, en jij zou één deur mogen kiezen als deelnemer. Ik zou als spelleider weten achter welke deur de auto zit, en vervolgens 98 deuren open maken waar een geit achter verborgen zit. Dat betekent dat ik één andere deur dicht laat, en jou de kans geef om te ruilen van deur.
De kans dat de auto achter de door jouw gekozen deur zit is 1/100e. De kans dat hij achter de andere dichte deur zit is echter 99/100e, en niet 50 / 50. Dat heeft te maken met kansberekening, en het feit dat je in de uitgangssituatie maar 1/100e kans hebt op de auto. ;)
Laatste update: 26-03-2012
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 3