Wiskundige raadsels: Magische vierkanten

Het magisch vierkant (tovervierkant) is een vierkant van getallen die op een zodanige manier zijn ingevuld dat de kolommen, rijen en de diagonalen allen dezelfde som opleveren. Vaak is de eis dat het vierkant alleen mag bestaan uit natuurlijke getallen tot en met N². Ook de regel dat alle getallen verschillend moeten zijn wordt vaak als eis gebruikt. Het Franklin-magisch vierkant van order 12x12 is tot op heden nooit ontdekt.

Voorbeeld van een magisch vierkant

8	3	4
1	5	9
6	7	2

Hier geldt dat:

1. Alle kolommen eenzelfde uitkomst hebben (8 + 3 + 4 = 15)
2. Alle rijen eenzelfde uitkomst hebben (8 + 1 + 6 = 15)
3. Alle diagonalen eenzelfde uitkomst hebben (8 + 5 + 2 = 15)

Typen magische vierkanten

Er zijn verschillende soorten magische vierkanten waarbij extra eisen gelden.

Pandiagonaal (panmagisch) vierkant
Ook de uitkomst van de subdiagonalen zijn gelijk aan het magisch getal.

Voorbeeld van een pandiagonaal vierkant

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

Hier geldt dat:

1. Alle hoeken de magische som hebben (1 + 12 + 15 + 6 = 34)
2. Elk 2x2 vierkant heeft het magische getal (1 + 8 + 14 + 11 = 34)
3. Elke hoeken van het 3x3 vierkant heeft het magische getal (1 + 13 + 4 + 16 = 34)

Perfect magisch vierkant
Aan dit vierkant wordt nog een extra eis gesteld. De som moet gelijk zijn bij elk deelvariant van √N bij √N.

Franklin magisch vierkant
Dit is een magisch vierkant dat door Benjamin Franklin is gemaakt. De eisen voor dit magisch vierkant zijn.

1. De som van de rijen en kolommen zijn gelijk aan het magische getal.
2. De som van de halve rijen en kolommen zijn gelijk aan het magische getal.
3. Gebogen diagonalen zijn gelijk aan het magische getal.
4. Elk 2x2 vierkant heeft een som gelijk aan 4x het magische getal.
5. De sommen van de diagonalen zijn ongelijk aan elkaar en ongelijk aan het magische getal. Hierdoor is het Franklin magisch vierkant officieel geen magisch vierkant.

Benjamin Franklin maakte één 8x8 en één 16x16 vierkant.

Multimagisch vierkant
Franklin magisch vierkant dat ook de eis heeft dat de sommen van alle diagonalen ook gelijk aan elkaar en het magische getal zijn.

12x12 Franklin-magisch vierkant

In de loop der jaren hebben verscheidende wiskundigen zich gebogen over het 12x12 Franklin magisch vierkant. Cor Hurkens van de TU Eindhoven deed dit met succes. Hij voerde eerst enkele vereenvoudigingen uit waardoor hij minder rekentijd nodig had en getallenreeksen kon uitsluiten. Uiteindelijk bleven er zo’n 70 mogelijkheden over. Enkelen waren eenvoudig op te lossen maar andere gevallen moesten via een computer worden opgelost. Resultaat van het onderzoek: een Franklin-magisch vierkant van order 12x12 is onmogelijk!

Om dit op een eenvoudige manier aan te tonen heb ik zelf een bijna Franklin-magisch vierkant gemaakt van order 12x12. In onderstaande tabel wordt duidelijk dat wiskundigen voor niets uren naar een Franklin-magisch vierkant hebben gezocht.

1	142	143	4	80	65	66	79	9	134	135	12
76	71	70	73	7	138	137	8	84	63	62	81
72	75	74	69	139	6	5	140	64	83	82	61
141	2	3	144	68	77	78	67	133	10	11	136
88	59	58	85	17	128	23	122	127	121	22	20
57	86	87	60	124	21	126	19	18	24	123	125
16	131	130	13	49	96	55	90	50	56	91	93
129	14	15	132	92	53	94	51	95	89	54	52
100	47	46	97	104	41	42	103	108	39	38	105
25	118	119	28	31	114	113	32	33	110	111	36
117	26	27	120	115	30	29	116	109	34	35	112
48	99	98	45	44	101	102	43	40	107	106	37

In dit 'magisch vierkant' zijn de volgende eisen van het Franklin-magisch vierkant uitgevoerd:

• Het heeft de getallen 1 t/m N². In dit geval de getallen 1 t/m 144.
• Elk getal komt slechts één keer voor.
• Elke som van de kolommen en rijen zijn gelijk aan het magische getal, 870.
• Elke som van de halve kolommen en rijen zijn gelijk aan de helft van het magische getal; 435.

Een volgende eis is dat elk 2x2 vierkant binnen het vierkant gelijk is aan viermaal het magische getal gedeeld door het aantal kolommen; 290. Deze eis vormt het knelpunt van een 12x12 Franklin-magisch vierkant. Elk 2x2 vierkant zal 290 moeten zijn en omdat een rij of kolom van 6 samen 435 moet zijn zal er in het midden (blok van 4x4) extra veel overlappende eisen zijn. Dit betekent dat elk 2x1 blok samen 145, de helft van 290, moet zijn. Omdat getallen niet vaker dan 1 keer mogen voorkomen kan er in een blok van 2x2 nooit aan beide kanten 145 uitkomen (horizontaal en verticaal). Dat maakt het maken van een Franklin-magisch vierkant van order 12x12 onmogelijk.