De wiskunde achter zeepbellen

Zeepvliezen (waaronder bellen) zijn een interessant fenomeen, dat de aandacht van verscheidene wetenschappers in de geschiedenis heeft weten te trekken. De zeepbel is niet alleen mooi om te zien, zij verenigt ook een boel fysische en mathematische principes. Het onderzoek naar zeepvliezen heeft geleid tot enkele doorbraken in de vloeistofysica is onder anderen uitgevoerd door natuurkundigen als Newton, Gauss en Laplace. De wiskundige relevantie van zeepvliezen wordt duidelijk wanneer we ons bezig gaan houden met het vinden van minimumoppervlakten. Ver voordat er analytische oplossingen waren voor minimalisatieproblemen vond Plateau
de -soms verrassende- oplossingen met behulp van metaaldraden en een zeepoplossing. Een zeepvlies die begrensd is door een fysieke omheining, zoals een bellenblaas-ring kan varieren in oppervlakte en vorm. Een zeepvlies neemt dan
vanwege de oppervlaktespanning een minimale oppervlakte aan. Bovendien voldoen zeepvlies-configuraties aan bepaalde geometrische regels, wat de mogelijkheden reduceert.

Zeepwetten

Door veelvuldig experimenteren en observeren kwam de Belg Joseph Plateau tot de volgende 'zeepwetten'.

1. Drie gladde zeepvliezen snijden elkaar in een lijn
2. De hoek tussen de raakvlakken van de snijdende oppervlakten is overal langs de snijlijn 120°
3. De snijlijnen zelf komen samen in viertallen en maken een hoek van 109.28° met elkaar

Elke stabiele configuratie van zeepvliezen en bellen voldoet aan deze regels, die onlangs wiskundig zijn bewezen door Taylor. Plateau formuleerde in die tijd ook een probleem dat uiteindelijk een Fields Medaille opleverde voor de wiskundige die het vraagstuk wist te kraken. Plateaus probleem is te formuleren als volgt: "Gegeven een begrenzing, bewijs dat er een minimumoppervlakte is met de gegeven begrenzing". Jesse Douglas publiceerde de oplossing van dit
probleem in 1931.

Kortste wegen

Een zeepvlies met een omheining, bijvoorbeeld een plastic ring, kan variëren in vorm en grootte. Wanneer we de oppervlakte van de vlies A noemen en de oppervlaktespanning σ dan is er en vrije energie beschikbaar voor het beïnvloeden van de vorm en grootte gelijk aan: E = σA.

Wanneer de vlies in een evenwichtssituatie verkeert, zal de vrije energie minimaal zijn. Aangezien σ, de oppervlaktespanning slechts afhankelijk is van de temperatuur, heeft de vlies een minimumoppervlakte wanneer zij in evenwicht is. Nu kunnen we de resultaten van minimumoppervlakten bij de zeepoplossing gebruiken om wiskundige minimalisatieproblemen aan te pakken. Hiervoor gebruikte Plateau bijvoorbeeld een ijzerdraad en een zeepoplossing. Het minimumoppervlakte dat bijvoorbeeld onstaat in een ring, is zoals we uit de praktijk wel weten een platte schijf.

Stedenprobleem

Een vrij simpele probleemstelling met een lastige oplossing is het vraagstuk van het vinden van de kortste weg tussen meerdere punten. In het algemeen is er vooralsnog voor een willekeurig aantal punten geen analytische oplossing en moet ze botweg uitgerekend worden.

Zo kijken we nu bijvoorbeeld naar vier punten op de hoeken van een vierkant (met zijde 1). Dopen we de punten respectievelijk stad A, B, C, en D, dan zijn we dus op zoek naar een kortste weg die alle vier de steden met elkaar verbindt. Trekken we een lijnstuk van elke stad naar de drie overgebleven steden, dan levert dit ons natuurlijk niet de kortste weg op, dit pad heeft een totale lengte van 4 + 2√2. Laten we diagonalen weg, krijgen we een weg van lengte 4 en ons pad wordt nog korter als we een van de zijden vervolgens weg laten. Denken we nog verder dan lijkt wellicht de kortste weg het pad te zijn die ontstaat als we slechts de diagonalen AC en BD trekken, dat een lengte van 2√2 heeft. Hoe kunnen we nu weten of er geen kortere weg is, die de vier steden verbindt?

Wellicht bieden zeepvliezen wel een kortere route aan. Om dit (of een gelijksoortig) probleem te vertalen naar een zeepvliesconfiguratie neemt men twee doorzichtige platen met daar tussen pinnen, zo geconfigureerd dat het er recht
van boven zo uit ziet als de tweedimensionale figuur die je aanpakt. Vervolgens dompel je de platen onder in een zeepoplossing om het vervolgens weer boven water te halen. Tussen de platen blijken nu als het goed is zeepvliezen te zijn
ontstaan die (wegens symmetrie) loodrecht op de platen staan en eindigen bij de pinnen. Het bekende resultaat bij de pinnen op de hoekpunten van een vierkant is in het licht van onze zoektocht naar de kortste route wellicht een verrassende.

Deze weg bevat twee punten waarin drie lijnstukken elkaar snijden onder drie gelijke hoeken van 120°. Dit pad heeft een totale lengte van 1 + √3, wat ongeveer gelijk is aan 2.73. Dit pad ligt minder voor de hand maar is wel degelijk korter dan de opties die we gemakkelijk inzagen.

Wiskundige bekeken

Allereerst vinden we een 'reciprocale' regel voor de configuratie van bellen, die heel erg lijkt op bijvoorbeeld de bekende brandpunt-beeldpunt relaties bij lenzen, of verhoudingen tussen transistoren. Enige kennis van integraalrekening is vereist.

Tot slot

Zeepvliezen zijn een dankbaar onderwerp van onderzoek gebleken, niet alleen omdat ze zich zeer netjes gedragen, ook liepen de door hen aangereikte oplossing voor op de analytische aanpak van minimalisatieproblemen en versnelde deze zelfs. De toepassingen van de in deze onderzoekstak gevonden oplossingen zijn wijdverbreid. Denk aan inpakproblemen, logistiek, constructieve chemie en nanotechnologie.