InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Het bewijzen van de stelling van Pythagoras

Het bewijzen van de stelling van Pythagoras

In dit artikel wordt uitgelegd hoe de stelling van Pythagoras op twee manieren bewezen kan worden. Het is geschreven voor geïnteresseerden die hun inzicht in deze beroemde stelling willen vergroten. Verder is er voor het begrijpen van dit bewijs vrijwel geen wiskundige voorkennis nodig, behalve het bekend zijn met de stelling zelf. Er zijn tegenwoordig ruim driehonderd verschillende bewijzen gevonden voor de stelling van Pythagoras. Veel hiervan vereisen veel wiskundige voorkennis en zullen in dit artikel dus niet aan bod komen.

Bewijs #1

Om te beginnen zal hieronder een algebraïsch bewijs worden geleverd, waarbij gebruik wordt gemaakt van het onderstaande figuur:


Hier is te zien dat de oppervlakte van het gedraaide vierkant gelijk moet zijn aan c2. De lengte van elke zijde van het grote vierkant is a + b, waardoor de oppervlakte ervan gelijk moet zijn aan (a + b)2. Dit kan ook geschreven worden als a2 + 2ab + b2. Verder kan er met twee van de vier driehoeken een rechthoek gevormd worden waarvan één zijde gelijk is aan a, en de ander aan b. De oppervlakte van zo'n rechthoek is dus ab. Omdat er in totaal vier driehoeken zijn, kunnen er twee rechthoeken worden gevormd, met een totale oppervlakte van 2ab.

Met deze drie definities kan nu een bewijs worden opgesteld. In het figuur is te zien dat de oppervlakte van het gedraaide vierkant (c2) gelijk moet zijn aan de oppervlakte van het grote vierkant (a2 + 2ab + b2), min de oppervlakte van de vier driehoeken (2ab). Wanneer dit wordt uitgeschreven ontstaat:

  • (a + b)2 - 2ab = c2
  • a2 + 2ab + b2 - 2ab = c2
  • a2 + b2 = c2

Bewijs #2

Het volgende bewijs is in de twaalfde eeuw gevonden door de hindustaanse wiskundige Bhaskara, en lijkt enigzins op het vorige bewijs. Met vier gelijke driehoeken (met zijden a, b, en c) kan het vierkant dat hier linksonder te zien is worden gevormd:


Net als bij bewijs #1 bevat het grote vierkant vier driehoeken, met een totale oppervlakte van 2ab. Het kleine vierkant in het midden heeft zijden met lengte (a - b), en dus een oppervlakte van (a - b)2. En het grote vierkant heeft weer een oppervlakte van c2.

In het figuur is te zien dat de totale oppervlakte van de vier driehoeken (2ab) samen met het kleine vierkant ((a - b)2), gelijk moet zijn aan de oppervlakte van het grote vierkant (c2). Er ontstaat dan opnieuw een vergelijking, die erg veel op de vorige lijkt:

  • (a - b)2 + 2ab = c2
  • a2 - 2ab + b2 + 2ab = c2
  • a2 + b2 = c2

Bewijs #3

Dit bewijs is in 1876 door President J.A. Garfield ontdekt. Het lijkt opnieuw op de vorige twee bewijzen, maar er wordt hier geen gebruik gemaakt van vierkanten. Dit bewijs maakt gebruik van een trapezium. Het oppervlak van een trapezium wordt gegeven door: h(a + b) ÷ 2, waarin a en b de lengten van respectievelijk de kleine en grote basis zijn, en h de hoogte van het trapezium is. Als het trapezium 90° wordt gedraaid, is te zien dat de hoogte ervan gelijk is aan a + b, en de twee basen gelijk zijn aan a en b. Het oppervlak van het trapezium wordt dan:

(a + b)(a + b) ÷ 2 = (a + b)2 ÷ 2.

De som van de oppervlakten van de losse driehoeken in het trapezium is gelijk aan:

ab ÷ 2 + ab ÷ 2 + c2 ÷ 2 = ab + c2 ÷ 2.

Als deze twee definities worden vergeleken, ontstaat de stelling van Pyhtagoras:

  • (a + b)2 ÷ 2 = ab + c2 ÷ 2
  • (a + b)2 = 2ab + c2
  • a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
  • a2 + b2 = c2
© 2010 - 2019 Machans, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Stelling van PythagorasStelling van PythagorasMet de stelling van Pythagoras kun je de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek berekenen. De stelling is r…
Pythagoras, de wiskundige en filosoofPythagoras, de wiskundige en filosoofPythagoras was een Griekse wiskundige en filosoof die zeer veel verschillende experimenten heeft uitgevoerd. Het grootst…
De Stelling van FermatDe Franse wiskundige Pierre de Fermat leefde in de 17de eeuw. Wiskunde was een hobby voor hem, eigenlijk was hij jurist.…
Filosoof uitgelicht; Pythagoras van SamosFilosoof uitgelicht; Pythagoras van SamosDe stelling van Pythagoras, deze stelling is bekend bij velen. Maar wie was nu Pythagoras. Een educatieve toelichting op…
De vierkleurenstellingDe vierkleurenstellingDe vierkleurenstelling houdt in, dat je een landkaart met oneindig veel landen kunt inkleuren met maar vier kleuren, zon…
Bronnen en referenties
  • http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Pythagoras
  • http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

Reageer op het artikel "Het bewijzen van de stelling van Pythagoras"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Machans
Laatste update: 20-01-2010
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 2
Schrijf mee!