Trucjes om snel te kunnen hoofdrekenen

Kun jij 12 × 13 uit je hoofd berekenen binnen 5 seconden? Of 97 × 85? Daar hoef je namelijk geen rekenwonder voor te zijn! Er bestaan vele trucs om erg snel bepaalde berekenen uit het hoofd te doen. In dit artikel leer je hoe je gemakkelijk bepaalde sommen kunt oplossen, terwijl je daar nu misschien minuten mee bezig zou zijn.

Inhoud



Kwadrateren


Vermenigvuldigen


Delen



Een getal kwadrateren (met zichzelf vermenigvuldigen)


Als een getal wordt gekwadrateerd, dan wordt dat getal vermenigvuldigd met zichzelf. De uitkomst van deze vemenigvuldiging wordt het kwadraat van dat getal genoemd. Bijvoorbeeld 3-kwadraat wordt geschreven als 32 en is dus (3 × 3) 9. Hieronder staan enkele methoden om snel het kwadraat van bepaalde getallen te berekenen.

Getallen die eindigen met het cijfer 5

Deze methode gaat in drie stappen:

  1. Neem de cijfers die voor de 5 staan en onthoud dit getal.
  2. Vermenigvuldig dit getal met: (zichzelf + 1).
  3. Schrijf achter dit product '25'.

  • Voorbeeld #1: 952
    1. Het getal voor de 5 is 9.
    2. Vermenigvuldig 9 met (9 + 1), dat is 9 × 10 = 90.
    3. Schrijf er '25' achter, je krijgt dan 9025. Dus 952 = 9025.
  • Voorbeeld #2: 1152
    1. Het getal voor de 5 is 11.
    2. Vermenigvuldig 11 met (11 + 1), dat is 11 × 12 = 132.
    3. Schrijf er '25' achter, je krijgt dan 13225. Dus 1152 = 13225.

Getallen dicht bij de 50

Deze methode gaat in drie stappen:

  1. Kijk hoeveel het getal van 50 afwijkt en onthoudt dit getal.
  2. Tel dit getal op bij 25 als het begingetal groter is dan 50 en trek dit getal af van 25 als het begingetal kleiner is dan 50, en onthoud dit getal.
  3. Schrijf achter dit getal het kwadraat van het getal van stap 1.

  • Voorbeeld #1: 542
    1. Dit getal is 4 groter dan 50.
    2. Omdat het begingetal groter is dan 50 tellen we 4 op bij 25. Dus 25 + 4 = 29.
    3. Schrijf hier 42, dus 16, achter: 2916. Dus 542 = 2916.
  • Voorbeeld #2: 432
    1. Dit getal is 7 kleiner dan 50.
    2. Omdat het begingetal kleiner is dan 50 trekken we 7 af van 25. Dus 25 - 7 = 18.
    3. Schrijf hier 72, dus 49, achter: 1849. Dus 432 = 1849.

Getallen dicht bij de 100

Deze methode gaat in drie stappen, en lijkt sterk op de vorige methode:

  1. Kijk hoeveel het getal van 100 afwijkt en onthoudt dit getal.
  2. Tel dit getal op bij het begingetal als het begingetal groter is dan 100 en trek dit getal af van het begingetal als het begingetal kleiner is dan 100, en onthoud dit getal.
  3. Schrijf achter dit getal het kwadraat van het getal van stap 1.

  • Voorbeeld #1: 1062
    1. Dit getal is 6 groter dan 100.
    2. Omdat het begingetal groter is dan 100 tellen we 6 op bij 106. Dus 106 + 6 = 112.
    3. Schrijf hier 62, dus 36, achter: 11236. Dus 1062 = 11236.
  • Voorbeeld #2: 972
    1. Dit getal is 3 kleiner dan 100.
    2. Omdat het begingetal kleiner is dan 100 trekken we 3 af van 97. Dus 97 - 3 = 94.
    3. Schrijf hier 32, dus 9, achter: 9409 (zet er 09 achter en niet 9! Je moet er namelijk altijd twee cijfers achter schrijven). Dus 972 = 9409.

Twee getallen met elkaar vermenigvuldigen


Met het product van twee getallen wordt het getal bedoeld dat ontstaat wanneer je die twee getallen met elkaar vermenigvuldigd. Zo is het product van 3 en 4 gelijk aan 12, want 3 × 4 = 12. Bij een vermenigvuldiging worden de getallen die worden vermenigvuldigd (in dit geval 3 en 4) de factoren genoemd, en de uitkomst het product. Hieronder staan enkele methoden om snel het product van bepaalde factoren te berekenen.

Een willekeurig getal met 11 vermenigvuldigen

Deze methode gaat in drie stappen:

  1. Schrijf het eerste cijfer van het getal op.
  2. Zet hierachter de som van het eerste en het tweede cijfer, en daarachter de som van het tweede en het derde cijfer, daarachter de som van het derde en het vierde cijfer... Tot dat je bij het laatste cijfer bent.
  3. Schrijf het laatse cijfer hierachter.

  • Voorbeeld #1: 362441 × 11
    1. Schrijf het eerste cijfer over: 3.
    2. Zet daarachter de som van 3 en 6: 3 + 6 = 9 Zet daarachter de som van 6 en 2: 6 + 2 = 8 Zet daarachter de som van 2 en 4: 2 + 4 = 6 Zet daarachter de som van 4 en 4: 4 + 4 = 8 Zet daarachter de som van 4 en 1: 4 + 1 = 5
    3. Schrijf het laatste cijfer over: 1. 362441 × 11 is dus 3986851.
Om deze stappen makkelijker te begrijpen zal voorbeeld #1 worden herhaald, maar dan op een visuele manier:

362441 × 11 = 3

362441 × 11 = 39
362441 × 11 = 398
362441 × 11 = 3986
362441 × 11 = 39868
362441 × 11 = 398685
362441 × 11 = 3986851


Getallen dicht bij (en hoger dan) de 10

Deze methode gaat in twee stappen:

  1. Neem van een van de twee getallen het laatste cijfer en tel dit op bij het andere getal.
  2. Schrijf achter dit getal het product van de laatste cijfers van de twee getallen.

  • Voorbeeld #1: 12 × 13
    1. 12 eindigt op 2, dus tel 2 op bij 13: 13 + 2 = 15 (of 12 + 3 = 15).
    2. Schrijf hier 2 × 3, dus 6, achter: 156. Dus 12 × 13 = 156.
  • Voorbeeld #2: 14 × 13
    1. 14 eindigt op 4, dus tel 4 op bij 13: 13 + 4 = 17 (of 14 + 3 = 17).
    2. Schrijf hier NIET 4 × 3, dus 12, achter. Er mag maar één cijfer achter komen te staan, in dit geval tel je de 1 op bij het getal: 17 + 1 = 18. Daarna schrijf je de 2 pas erachter: 182. Dus 14 × 13 = 182.
  • Voorbeeld #3: 15 × 17
    1. 15 eindigt op 5, dus tel 5 op bij 17: 17 + 5 = 22 (of 15 + 7 = 22).
    2. 5 × 7 = 35. Tel dus eerst 3 op bij 22: 22 + 3 = 25. Schrijf dan pas de 5 erachter: 255 Dus 15 × 17 = 255.

Getallen dicht bij de 100

*Werkt alleen als beide getallen groter of kleiner zijn dan 100! Dus niet gebruiken voor bijvoorbeeld 97 × 105.
Deze methode gaat in twee stappen:

  1. Kijk hoeveel een van de getallen afwijkt van 100. Tel dit op bij het andere getal als de getallen groter zijn dan 100, of trek het van het andere getal af als de getallen kleiner zijn dan 100.
  2. Schrijf hierachter het product van de getallen die de twee begingetallen afwijken van 100.

  • Voorbeeld #1: 104 × 109
    1. 104 is 4 groter dan 100, dus tel 4 op bij 109: 109 + 4 = 113 (of 104 + 9 = 113).
    2. Schrijf hier 4 × 9, dus 36, achter: 11336. Dus 104 × 109 = 11336.
  • Voorbeeld #2: 97 × 85
    1. 97 is 3 kleiner dan 100, dus trek 3 af van 85: 85 - 3 = 82 (of 97 - 15 = 82).
    2. Schrijf hier 3 × 15, dus 45, achter: 8245. Dus 97 × 85 = 8245.

Willekeurige getallen van twee cijfers vermenigvuldigen

*Dit is tot nu toe de moeilijkste methode, maar is zeker de moeite waard om te leren!
Deze methode gaat in drie stappen:

  1. Vermenigvuldig de laatste cijfers van de twee getallen met elkaar. Dit is het laatste cijfer van je antwoord.
  2. Vermenigvuldig het eerste cijfer van een van de getallen met het laatste cijfer van de ander, en het laatste cijfer ervan met het eerste cijfer van de ander. Tel de twee getallen die bij de vermenigvuldiging ontstaan bij elkaar op. Dit getal is het een-na-laatste getal van je antwoord. Als dit getal twee cijfers lang is, moet je alleen het laatste cijfer ervan nemen en het eerste cijfer onthouden.
  3. Vermenigvuldig de eerste cijfers van de twee getallen met elkaar. In het geval dat het getal van de vorige stap twee cijfers had (wat vaak voorkomt), moet je dit eerste cijfer hier nog bij optellen. Je hebt nu de eerste cijfer(s) van je antwoord.

  • Voorbeeld #1: 31 × 41
    1. Het laatste cijfer van je antwoord is het product van 1 en 1: 1 × 1 = 1.
    2. Vermenigvuldig het eerste cijfer van een van 31 met het laatste cijfer van 41, en het laatste cijfer van 31 met het eerste cijfer van 41 en tel de uitkomsten bij elkaar op: (3 × 1) + (1 × 4) = 3 + 4 = 7.
    3. Vermenigvuldig het eerste vijfer van 31 met het eerste cijfer van 41: 3 × 4 = 12. Omdat het getal van de vorige stap maar één cijfer heeft, hoeft er niets bij 12 opgeteld te worden en ben je klaar: 31 × 41 = 1271
  • Voorbeeld #2: 62 × 53
    1. Het laatste cijfer van je antwoord is het product van 2 en 3: 2 × 3 = 6.
    2. Vermenigvuldig het eerste cijfer van een van 62 met het laatste cijfer van 53, en het laatste cijfer van 62 met het eerste cijfer van 53 en tel de uitkomsten bij elkaar op: (6 × 3) + (2 × 5) = 18 + 10 = 28. Dit getal bestaat uit twee cijfers, 8 is het een-na-laatste cijfer van je antwoord en 2 onthoud je.
    3. Vermenigvuldig het eerste cijfer van 62 met het eerste cijfer van 53: 6 × 5 = 30. Omdat het getal van de vorige stap twee cijfers heeft, moet je het eerste cijfer bij 30 optellen: 30 + 2 = 32. Dus 62 × 53 = 3286

Deelbaarheid van getallen


Een getal is deelbaar door een ander getal als de uitkomst van het delen een geheel getal is. 6 is bijvoorbeeld deelbaar door 2, want 6 ÷ 2 = 3, en 3 is een geheel getal. Verder is 6 niet deelbaar door 4, want 6 ÷ 4 = 1.5, en dat is geen geheel getal. Er zijn een aantal trucjes om erachter te komen of een getal deelbaar is door bijvoorbeeld 3, of 4. Hieronder is een overzicht van methoden waarmee je erachter kunt komen of een getal deelbaar is door een bepaald getal. Een getal is:

Deelbaar door 2

Als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 2.

Voorbeeld #1: 1234 is deelbaar door 2 omdat het laatste cijfer (4) deelbaar is door 2.
Voorbeeld #2: 4321 is niet deelbaar door 2 omdat het laatste cijfer (1) niet deelbaar is door 2.

Deelbaar door 3

Als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3.

Voorbeeld #1: 123 is deelbaar door 3 omdat de som van de cijfers (1 + 2 + 3 = 6) deelbaar is door 3.
Voorbeeld #2: 4321 is niet deelbaar door 3 omdat de som (1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 0 = 1) niet deelbaar is door 3.

Deelbaar door 4

Als de laatste twee cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 4.

Voorbeeld #1: 123216 is deelbaar door 4 omdat de laatste twee cijfers een getal vormen (16) dat deelbaar is door 4.
Voorbeeld #2: 321 is niet deelbaar door 4 omdat de laatste 2 cijfers een getal vormen (21) dat niet deelbaar is door 4.

Deelbaar door 5

Als het laatste cijfer van het getal een 0 of een 5 is.

Voorbeeld #1: 12345 is deelbaar door 5 omdat het laatste cijfer een 5 is.
Voorbeeld #2: 54321 is niet deelbaar door 5 omdat het laatste cijfer geen 5 of een 0 is.

Deelbaar door 6

Als het getal deelbaar is door zowel 2 als 3.

Voorbeeld #1: 312 is deelbaar door 6 omdat het deelbaar is door 2 en door 3.
Voorbeeld #2: 123 is niet deelbaar door 6, omdat het niet deelbaar is door 2.

Deelbaar door 7

Dit is een wat moeilijkere methode. Het checken of een getal deelbaar is door 7 gaat in drie stappen:

  1. Neem het laatste cijfer van het getal, en verdubbel het.
  2. Trek dit af van het getal (zonder het laatste cijfer).
  3. Als de uitkomst deelbaar is door 7, dan is het begingetal ook deelbaar door 7.

Bij grote getallen is het handig deze methode meerdere keren uit te voeren.

  • Voorbeeld #1: 357
    1. Het laatste cijfer is 7, als je dit verdubbeld krijg je 14.
    2. Trek 14 af van het getal (zonder het laatste cijfer): 35 - 14 = 21.
    3. 21 is deelbaar door 7, dus 357 is deelbaar door 7.
  • Voorbeeld #2: 123
    1. Het laatste cijfer is 3, als je dit verdubbeld krijg je 6.
    2. Trek 6 af van het getal (zonder het laatste cijfer): 12 - 6 = 6.
    3. 6 is niet deelbaar door 7, dus 123 is niet deelbaar door 7.

Deelbaar door 8

Als de laatste drie cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 8.

Voorbeeld #1: 12008 is deelbaar door 8 omdat de laatste drie cijfers een getal vormen (008) dat deelbaar is door 8.
Voorbeeld #2: 1321 is niet deelbaar door 8 omdat de laatste 3 cijfers een getal vormen (321) dat niet deelbaar is door 8.

Deelbaar door 9

Als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 9.

Voorbeeld #1: 3123 is deelbaar door 9 omdat de som van de cijfers (3 + 1 + 2 + 3 = 9) deelbaar is door 9.
Voorbeeld #2: 4321 is niet deelbaar door 9 omdat de som (1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 0 = 1) niet deelbaar is door 9.

Deelbaar door 10

Als het laatste cijfer van het getal een 0 is.

Voorbeeld #1: 12340 is deelbaar door 10 omdat het laatste cijfer een 0 is.
Voorbeeld #2: 54321 is niet deelbaar door 10 omdat het laatste cijfer geen 0 is.
© 2010 - 2024 Machans, het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming is vermenigvuldiging verboden. Per 2021 gaat InfoNu verder als archief, artikelen worden nog maar beperkt geactualiseerd.
Gerelateerde artikelen
Scheikunde - rekenen met molScheikunde - rekenen met molMol is een rekenhulp die vaak gebruikt wordt in de scheikunde. Het geeft eigenlijk aan hoeveel er van een bepaalde stof…
Wie mag incassokosten rekenen?Wie mag incassokosten rekenen?Je kan je afvragen of een bedrijf zomaar incassokosten mag rekenen bij een achterstallige betaling. Het overkomt ons all…
Leren rekenen in groep vijfLeren rekenen in groep vijfEen van de vakken die op de basisschool wordt onderwezen is rekenen. Niet elke school gebruikt dezelfde methode om de ki…
Vergelijkingen oplossen met algebraIn de moderne wiskunde is oplossen met algebra steeds belangrijker aan het worden. In iedere lesmethode is hier iets ove…
Priemgetallen begrijpenPriemgetallen zijn waarschijnlijk de meest bekende getallen binnen de wiskunde, en dan met name getaltheorie. Maar wat z…
Het bewijzen van de stelling van PythagorasIn dit artikel wordt uitgelegd hoe de stelling van Pythagoras op twee manieren bewezen kan worden. Het is geschreven voo…
Bronnen en referenties
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Mental_calculation http://www.youtube.com/user/glad2teach
Machans (31 artikelen)
Laatste update: 27-01-2010
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Bronnen en referenties: 1
Per 2021 gaat InfoNu verder als archief. Het grote aanbod van artikelen blijft beschikbaar maar er worden geen nieuwe artikelen meer gepubliceerd en nog maar beperkt geactualiseerd, daardoor kunnen artikelen op bepaalde punten verouderd zijn. Reacties plaatsen bij artikelen is niet meer mogelijk.