Speel een verrassend wiskundig spel: Game of life

Met wiskunde kun je leuke dingen doen. Het bekende Game of Life, dat in 1970 door de wiskundige John Conway werd bedacht fascineerde de wereld. Talloze patronen bleken mogelijk, die in een simpel tweedimensionaal rooster geboren werden, leefden en dood gingen. Zelfs bewegende voorwerpen zag je in opvolgende generaties door je rooster schuiven. Game of Life houdt nog steeds heel wat mensen bezig!

John Conway

De Britse wiskundige John Conway werd op 26 december 1937 in Liverpool geboren. Conway studeerde aan de Universiteit van Cambridge (Engeland) en is later zelf ook wiskunde gaan doceren als professor aan de Universiteit van Princeton (Verenigde Staten). Conway is actief op verschillende gebieden binnen de wiskunde en heeft een groot aantal werken gepubliceerd. Eén van zijn werkterreinen is het onderzoek naar cellulaire automata, waaronder de Game of Life.

Een cellulaire automaat

Een cellulaire automaat, dat klinkt ingewikkelder dan het in feite is. Een cellulaire automaat is een model uit de automatentheorie dat in de berekenbaarheidstheorie in de wiskunde en in de theoretische biologie wordt gebruikt. In een dergelijk model wordt gebruik gemaakt van een één- of meerdimensionaal raster van cellen, met een oneindig aantal toestanden, ook wel generaties genoemd. De eigenschappen van elke cel zijn bepalend voor de eigenschappen van die cel in de volgende generatie. Als je generaties elkaar laat opvolgen, dan zie je processen en patronen ontstaan die regelmatig lijken op wat je in de natuur ook kunt vinden, zoals groeiprocessen van kristallen of koralen. En natuurlijk speelt dit alles ook een rol in de digitale wereld. Laten we eens kijken hoe dat voor de Game of Life uitpakt.

Game of Life

Laten we het allemaal maar eens concreter maken. Stel je voor, je hebt een tweedimensionaal rooster, zoals een stuk ruitjespapier, of een dambord. Elk hokje of vakje noemen we een cel. Een cel kan twee toestanden hebben: hij is dood of levend. Een dode cel ziet er uit als een leeg vakje, een levende cel is een gevuld, dus ingekleurd vakje. De Game of Life komt letterlijk tot leven als er meerdere generaties zijn. De toestand van de cellen (dood of levend) is bepalend voor de toestand van de cellen in de volgende generatie. Er zitten natuurlijk wel een paar regels aan vast.

De regels

Regels zijn in de Game of Life nodig, om te voorkomen dat het hele speelveld levend (gevuld) raakt, of helemaal dood (alles leeg). Conway bedacht de volgende afspraken en regels:

• Een cel kan levend of dood zijn. Een dode cel is leeg, een levende cel is gevuld.
• Een cel heeft acht buurcellen, die allemaal aan deze cel raken. Dat is ofwel aan één van de vier zijden, ofwel aan één van de vier hoekpunten.
• Als twee of drie buurcellen van een bepaalde cel gevuld (levend) zijn, dan blijft deze cel in de volgende generatie bestaan, blijft dus leven en ingekleurd.
• Als vier of meer buurcellen van een bepaalde cel gevuld zijn (levend), dan is er sprake van overbevolking en gaat deze cel dood (wordt leeg)
• Als een lege (dode) cel drie gekleurde (levende) buurcellen heeft, niet meer of minder, dan wordt in deze cel leven geboren: in de volgende generatie is deze cel ingekleurd.
• Als een cel géén of maar één levende buurcel heeft, dan gaat deze cel in de volgende generatie dood.

De regels in de praktijk

Laten we de regels eens in praktijk gaan brengen. Je ziet hier een stukje van het grid, waarin enkele cellen zijn ingekleurd. Wat gaat er met al deze cellen gebeuren?

• Cel 1. Deze levende cel heeft één levende buurcel. Dat is te weinig, deze cel gaat in de volgende generatie dood.
• Cel 2. Deze dode cel heeft twee levende buurcellen. Dat is niet genoeg voor nieuw leven, de cel blijft in de volgende generatie leeg.
• Cel 3. Deze dode cel heeft één levende buurcel, en blijft dus leeg in de volgende generatie.
• Cel 4. Deze dode cel heeft drie levende buurcellen, in de volgende generatie is deze cel gekleurd.
• Cel 5. Deze levende cel heeft twee levende buurcellen en blijft in de volgende generatie bestaan.
• Cel 6. Deze dode cel heeft één levende buurcel en blijft dus leeg in de volgende generatie.
• Cel 7. Deze levende cel heeft één levende buurcel. In de volgende generatie is deze cel leeg.
• Cel 8. Deze dode cel heeft twee levende buurcellen. In de volgende generatie blijft deze cel leeg.
• Cel 9. Deze dode cel heeft één levende buurcel en blijft in de volgende generatie leeg.

Na toepassing van al deze regels ziet de volgende generatie er dus zo uit:

Bijzondere patronen in verschillende generaties

Door vele generaties te laten doorlopen worden soms bijzondere figuren en patronen ontdekt. Sommige daarvan zien er uit als een bloem, ruimteschip en hebben dan ook namen die hieraan refereren. Inmiddels zijn er bijna 800 verschillende figuren ontdekt, waarvan een aantal bijzonder stabiel zijn of zich over het rooster lijken te bewegen. Een bijzonder stabiel patroon is bijvoorbeeld een blokje van 4 gevulde cellen. Als je de regels toepast zie je dat dit blokje er in elke generatie precies hetzelfde uitziet. Dan zijn er nog figuren, die nieuwe patronen laten ontstaan.

Ook bijzonder zijn de bewegende patronen, zoals de glider. Pas je de regels toe op dit figuur, dan zie je het patroon zich na een paar generaties exact herhalen, maar dan schuin onder zijn voorganger. Laat je de generaties doorlopen, dan zie je dit figuur uiteindelijk van het rooster afschuiven.

Game of Life zit vol verrassingen

Met zoveel verschillende figuren is er in Game of Life altijd wel iets te beleven, er ontstaan verrassende patronen die zichzelf creëren, vernietigen of een bijzonder interactie met elkaar aangaan. Het is altijd de moeite waard om hiermee te experimenteren. Wie weet ontdek je nieuwe figuren, patronen of bewegingen.

Hoe speel je Game of Life?

Je kunt game of Life spelen met een flinke stapel ruitjespapier. Het is lastig dat je voor elke generatie weer een heleboel moet inkleuren. Je kunt ook gebruik maken van een dambord (of een reeks damborden), waar je levend of dood kunt aangeven door een damsteen wel of juist niet te plaatsen. Maar natuurlijk wordt tegenwoordig bijna altijd een computer gebruikt om de Animaties van game of Life tot leven te wekken. Dat voorkomt een heleboel tekenwerk en zorgt voor aanmerkelijk minder fouten. Je kunt Game of Life in allerlei vormen op verschillende plaatsen op het internet aantreffen. Soms betreft het downloadbare varianten, soms online versies. Een voorbeeld van zo'n online versie vind je hier.