InfoNu.nl > Wetenschap > Techniek > Hoe herleid je momenten bij een ligger op twee steunpunten?

Hoe herleid je momenten bij een ligger op twee steunpunten?

Hoe herleid je momenten bij een ligger op twee steunpunten? De bepaling van het representatieve of reken moment - maximale belastingstoestand voor een ligger uitgedrukt in kNm uitgerekend door belasting maal arm - is van belang om sterkte en stijfheid van materialen bij bepaalde belastingen en overspanningen te kunnen controleren. Hoe kun je momenten herleiden zonder daartoe programmatuur toe te gebruiken?

Momenten herleiden


Mechanica en noodzaak momenten herleiden

Uitgangspunt binnen de mechanica is dat er een balans moet zijn tussen de horizontale en verticale belastingen. Komt er een belasting van boven dan moet de opgetelde waarde daarvan gelijk zijn aan de opgetelde waarde van de reacties. Dit geldt voor belastingen in beide richtingen. Dat houdt in dat de constructie niet in beweging komt bij H=0 en V=0. Voor de herleiding van een oplegreactie is het van belang om kracht maal arm te nemen van de belastingen ten opzichte van de afstand tot het volgende steunpunt. Zodoende kan die reactiekracht worden bepaald en verder de momentenlijn alsmede dwarskrachtenlijn.

Gehanteerde uitdrukkingen voor belastingen

Normaal drukken we een belasting uit in kilo’s en tonnen. Binnen de mechanica wordt deze waarde vermenigvuldigd met 9,81 m/s^2 (veelal wordt hiervoor 10 m/s^2 genomen voor het gemak) voor de gravitatie aantrekkingskracht om zo de waarde Newton oftewel kN (1000 N) te verkrijgen. De belasting kan per strekkende meter oftewel kN/m of als puntlast oftewel kN worden aangegeven. Die belasting komt op een ligger met lengte x te staan.

Gelijkmatig verdeelde belasting (1)

Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nlBron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
Bij een gelijkmatig verdeelde belasting is de belasting uiteraard constant over de ligger. Gevoelsmatig weten we dat reacties in beide steunpunten even groot zijn echter hoe herleiden we dat? Stel de ligger is belast met Q over de volledige lengte x hoe groot is dan de reactiekracht? Vanuit punt A bekeken grijpt de belasting op 0,5*x aan en is Q*x groot. Punt B ligt op afstand x en daaruit het volgende voort:
  • M = 0 in punt A en dus geldt 0,5*Q*x^2 – B*x =0;
  • oftewel reactiekracht in B= 0,5*Q*x^2/x = 0,5*Q*x en dat is exact de helft van de totale gelijkmatig verdeelde belasting.
Op basis van deze gegevens kan zowel in het midden van de ligger (maximaal moment) als op andere willekeurige plekken het moment worden uitgerekend. Stel een punt op de ligger met xi van steunpunt B:
  • in dat punt op afstand xi is het moment xi*0,5*Q*x-xi*Q*0,5*xi = 0,5*Q*xi*(x-xi). Het antwoord in deze bedraagt nul indien xi = 0 of als xi = x. Het maximaliseert als xi de halve afstand van x heeft bereikt oftewel 0,5*Q*0,5*x*(x-0,5*x)= 0,125*Q*x^2.

Oplopende belasting (2)

Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nlBron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
Indien in punt B de Q last 0 bedraagt en naar A oploopt naar Q dan is er sprake van een driehoeksbelasting. De belasting 0,5*Q*x grijpt aan op een afstand van 1/3*x terwijl B op x ligt. Dat houdt in dat er vanuit A geldt:
  • M = 0 in punt A en dus geldt 1/3*x*0,5*Q*x – B*x = 0;
  • daarmee is de reactiekracht in B = 1/3*x*0,5*Q*x/x = 1/3*0,5*Q*x = 1/6*Q*x;
  • oftewel de reactiekracht in A bedraagt (3/6-1/6)*Q*x = 1/3*Q*x.
Het moment in punt xi gedraagt zich dus anders als bij een gelijkmatig verdeelde belasting, omdat het totaal aan belastingen en reacties minder is. Er geldt het volgende:
  • in xi bedraagt het moment xi*1/6*Q*x – 1/3*xi*0,5*Q*xi^2/x = 1/6*xi*Q*(x-xi^2/x). Vullen we het aangrijppunt in op 2/3*x van steunpunt B resulteert de formule in Q*(1/9*x^2-4/81*x^2) = 1/9*Q*x^2*(1-4/9) = 5/81*Q*x^2 als maximum moment.

Puntlast in het midden (3)

Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nlBron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
Met een puntlast in het midden van een ligger is het maximale moment eveneens in het midden van de ligger. De oplegreactie bedraagt de halve puntlast (0,5*F) en daarmee wordt de ontwikkeling van de momentenlijn bepaald. Het moment bedraagt op afstand xi:
  • Moment op xi = xi*0,5*F en maximaliseert op een halve afstand = 0,5*x*0,5*F = 0,25*x*F.

Gecombineerde lasten

Bij gecombineerde lasten is het minder eenduidig te zeggen hoe het momentenverloop zal zijn. Daartoe dient iedere omstandigheid aanvullend te worden onderzocht. Met een ligger op twee steunpunten kan alles compleet veranderen en wordt het meer complex. Bij liggers op twee steunpunten kan een en ander eenvoudig handmatig worden doorgerekend. Zijn er meerdere steunpunten van toepassing waardoor het statisch onbepaald raakt dan kan een rekenprogramma uitkomst bieden.

Lees verder

© 2012 - 2017 Geinformeerd, het auteursrecht van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Herleiden zwaartepunt rechthoek, driehoek, halve cirkelHerleiden zwaartepunt rechthoek, driehoek, halve cirkelRonde vormen, driehoeken en vierkanten, we komen ze overal en altijd tegen. In bepaalde omstandigheden kan het nuttig of…
Belasting op een ligger naar dwarskracht en moment herleidenBelasting op een ligger naar dwarskracht en moment herleidenLiggers dienen ervoor om een belasting op te nemen. Het hangt echter van de mate van de belasting af in combinatie met d…
Moment, kracht maal arm: het belang binnen de techniekMoment, kracht maal arm: het belang binnen de techniekDe appel valt nooit ver van de boom, omdat de afstand door de doorsnede van de boomtak wordt bepaald. Hoeveel belasting…
Buiging betonvloer: hoeveel buigt een gewapende vloer door?Buiging betonvloer: hoeveel buigt een gewapende vloer door?Vloeren worden belast met eigengewicht, rustende belasting en variabel lasten. Standaard wordt de vloer afgewapend op ba…
Algemene termen gebruikt bij constructieberekeningenAlgemene termen gebruikt bij constructieberekeningenBij de berekening van constructies kom je een aantal noodzakelijke termen tegen, waarmee de mate van constructieve veili…
Bronnen en referenties
  • Inleidingsfoto: http://geinformeerd.infoteur.nl
  • Afbeelding bron 1: http://geinformeerd.infoteur.nl
  • Afbeelding bron 2: http://geinformeerd.infoteur.nl
  • Afbeelding bron 3: http://geinformeerd.infoteur.nl

Reageer op het artikel "Hoe herleid je momenten bij een ligger op twee steunpunten?"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Infoteur: Geinformeerd
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Techniek
Special: Liggerberekening
Bronnen en referenties: 4
Schrijf mee!