Herleiden zwaartepunt rechthoek, driehoek, halve cirkel

Ronde vormen, driehoeken en vierkanten, we komen ze overal en altijd tegen. In bepaalde omstandigheden kan het nuttig of noodzakelijk zijn, om daarvan het oppervlak in combinatie met de neutrale lijn te bepalen. In principe is die lijn voor iedere standaardvorm in een tabellenboek snel na te zoeken, zodat het simpelweg kan worden bepaald. Hoe kan men het zwaartepunt herleiden voor een rechthoek, driehoek of halve cirkel?

Wat houdt het zwaartepunt in?

Een neutrale lijn over een oppervlak betekent dat aan weerszijden van die lijn evenveel oppervlak aanwezig is. Wordt dit berekent voor de x-as als de y-as dan is er sprake van twee kruisende neutrale lijnen. Het kruispunt wordt het zwaartepunt van het oppervlak genoemd. Steunt men het oppervlak op slechts dat punt dan zal het geheel zichzelf in evenwicht blijven houden, waarbij het theoretisch gezien niet omvalt. Hoe kun je het bepalen voor een aantal standaardvormen?

Integreren voor statisch moment

Om de neutrale lijn van een oppervlak te kunnen bepalen dient de lijn waarbinnen het oppervlak valt via integratie omgezet te worden. Integreren van een formule betekent het bepalen van het oppervlak onder die lijn binnen een gegeven interval. In volgende voorbeelden zal dat interval tussen 0 tot b, h of R zijn, afhankelijk van de vorm van het oppervlak. Om echter de neutrale lijn te kunnen berekenen dient het statisch moment over dat oppervlak te worden bepaald. Dat is als het ware het oppervlak maal een arm. De waarde daarvan gedeeld door het oppervlak vormt de eigenlijke afstand tot de gevraagde neutrale lijn. Er dient daartoe aanvullende de y- en x-factor binnen de integraal te worden geïntroduceerd. Hoe reken je dit uit voor verschillende standaard vormen?

Vierkant of rechthoek

Een rechthoek heeft een basis b op de x-as en hoogt h op de y-as. Het oppervlak bedraagt uiteraard b*h en de neutrale lijn ligt op de helft in twee richtingen. Hoe wordt dit bepaald?:

O = ∫h*dx = h*x (0-b) = h*b-0;
Si;y statisch moment tov y-as = ∫x*h dx = 1/2*x^2*h (0-b) = 1/2*b^2*h;
x;neutrale lijn rechthoek = 1/2*b^2*h / b*h = 1/2*b;
Si;x statisch moment tov x-as= ∫y*b*dy = 1/2*y^2*b (0-h) = 1/2*b*h^2;
y;neutrale lijn rechthoek = 1/2*b*h^2 / b*h = 1/2*h.

Driehoek

Stel je hebt een driehoek waarbij de basis de x-as en y-as is. Het heeft een hoogt h op de y-as en breedte b op x-as. Waar ligt dan de neutrale lijn ten opzichte van x-as en y-as? De formule van de schuine is:

y = h- h/b*x;
O = ∫h-h/b*x dx = h*x – 1/2*h/b*x^2 (0-b) = h*b – 1/2*h/b*b^2 = h*b – 1/2*h*b = 1/2*h*b;
Si;y statisch moment tov y-as= ∫x*( h-h/b*x) dx = ∫h*x-h/b*x^2 dx = 1/2*h*x^2 – 1/3*h/b*x^3 (0-b) = 3/6*h*b^2 – 2/6*h/b*b^3 = 1/6*h*b^2;
x;neutrale lijn driehoek = 1/6*h*b^2 / 1/2*h*b = 1/3*b;
omgebouwde formule naar x = -b/h *(y-h) = -b/h*y + b;
Si;x statisch moment tov x-as = ∫y*(b-b/h*y) dy = ∫b*y-b/h*y^2 dy = 1/2*b*y^2 – 1/3*b/h*y^3 (0-h) = 3/6*b*h^2-2/6*b/h*h^3 = 1/6*b*h^2;
y;neutrale lijn driehoek = 1/6*b*h^2 / 1/2*b*h = 1/3*h.

Halve cirkel

We weten allemaal dat het oppervlak van een cirkel π*r^2 bedraagt en dus is dat voor een halve cirkel 1/2*π*r^2. Maar hoe wordt hierbij het neutrale punt bepaald? De lijn welke de kromming van een cirkel beschrijft wordt bepaald middels √(R^2-x^2). Bedraagt x=0 dan is y=R en x=R dan is y=0. Er geldt:

∫x*(√(R^2-x^2)+√(R^2-x^2) dx) (gelijkvormigheid kwart cirkel binnen halve cirkel);
∫2*x*√(R^2-x^2) dx = ∫2*x*(R^2-x^2)^(1/2) dx -> vervangen R^2-x^2 = u;
-dx^2 = du -> -2xdx = du -> dx = du/-2x;
∫2*x/(-2*x)*u^(1/2) du = ∫-u^(1/2) du = -2/3*u^(3/2) = -2/3*(R^2-x^2)^(3/2) (0-R);
Si;y = statisch moment halve cirkel tov y-as = ingevuld = 0 - -2/3*(R^2)^(3/2) = 2/3*R^3.
neutrale lijn: x = Si;y / O = 2/3*R^3 / (1/2*πR^2) = 4/3*R/π;
neutrale lijn: y = 0.

Zwaartepunt herleiden en evenwichtspunt

Middels voorgaande methode kun je voor iedere rechthoek, halve cirkel of driehoek bepalen alwaar het evenwichtspunt bevindt. Wil je echter dit neutrale punt voor complexe samengestelde figuren bepalen lees dan onderstaand artikel “Bepalen zwaartepunt complexe figuren: statisch moment”.