Omtrek berekenen van een wiskundig figuur

Het komt regelmatig voor dat je moet weten wat de omtrek van iets is. Het is daarom handig om te weten hoe je de omtrek van iets kan berekenen. Het makkelijkst is natuurlijk om de lengte van de zijdes bij elkaar op te tellen, maar soms is het niet zo eenvoudig, bijvoorbeeld wanneer niet alle lengtes bekend zijn of wanneer je de omtrek van een cirkel wilt berekenen.

Wat is een omtrek?

De omtrek van een wiskundig figuur is de totale lengte van de lengte van de randen van dat figuur. De omtrek is dus de afstand die je aflegt als je over de rand van het figuur zou lopen. Het woord omtrek komt dan ook van de omtrekkende beweging en is waarschijnlijk voor het eerst gebruikt door Simon Stevin. Een ander synoniem voor het woord omtrek is het Griekse woord perimeter. Het woord perimeter betekent letterlijk ‘eromheen meten’.

Omtrek van een rechthoek

Je berekent de omtrek van een figuur door alle lengtes van het figuur op te tellen. De omtrek van een rechthoek is dan ook de lengte + breedte + lengte + breedte van de rechthoek. Anders gezegd is dit dus 2 x lengte + 2 breedte of 2 x (lengte + breedte)

Omtrek van een vierkant

Een vierkant is een bijzondere rechthoek. Het is namelijk een rechthoek met vier gelijke zijden. De omtrek van een vierkant is daarom: lengte + lengte + lengte + lengte. Anders gezegd is de omtrek van een vierkant 4 x lengte.

Omtrek van een driehoek

Ook bij een driehoek geldt dat de omtrek van de driehoek gelijk is aan de lengte van de zijdes. Simpel gezegd is de lengte van de driehoek dan ook lengte zijde 1 + lengte zijde 2 + lengte zijde 3.

Gelijkzijdige driehoek

Een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke zijdes, wat betekent dat de omtrek van een gelijkzijdige driehoek 3 x de lengte van de zijdes is.

Rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarbij één van de hoeken een rechte hoek (90 graden) is. De omtrek van een rechthoekige driehoek is, net als bij alle driehoeken, de optelling van de drie zijden. Alleen is soms de lengte van een zijde niet bekend. Deze zijde is echter wel te berekenen met de stelling van Pythagoras: a² + b² = c², waarbij c de lengte van de hypotenusa, de langste zijde van de driehoek is. Deze hypotenusa staat altijd recht tegenover de rechte hoek.

Dus als de hypotenusa de ontbrekende lengte is en de andere twee zijdes zijn respectievelijk 3 en 4 dan wordt de berekening:

• C2 = a2 + b2
• C² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
• C = √ 25 = 5

De omtrek is dan 3 + 4 + 5 = 12

Algemene driehoek

Niet elke driehoek is natuurlijk een gelijkzijdige of een rechthoekige driehoek. Gelukkig is er ook voor andere driehoeken een manier om de ontbrekende zijde te kunnen berekenen, zodat ook de omtrek uit te rekenen valt. Dit is mogelijk met de cosinusregel.

De cosinusregel zegt dat voor elke driehoek met zijden a, b en c en tegenoverliggende hoeken A, B en C geldt dat: c² = a² + b² - 2ab cos(C). De uit te rekenen lengte van de zijde wordt dan c genoemd. De omtrek van de driehoek wordt dan uitgerekend door de lengte van de drie zijdes bij elkaar op te tellen.

Een voorbeeld:
Je hebt een driehoek waarvan de lengte twee zijdes en een hoek bekend zijn. Noem de lengte van de eerste zijde a, de lengte van de tweede zijde b en de hoek C. Dus: a = 5, b = 9 en C = 85.
Dan wordt de formule:

• c² = a² + b² - 2ab cos(C)
• c² = 5² + 9² – 2*5*9*cos(85)
• c² = 25 + 81 – 90 * 0,087 = 113,84
• c = 10,67

De omtrek van de driehoek is dan gelijk aan: 5 + 9 + 10,67 = 24,67

Omtrek van een cirkel

De omtrek van een cirkel is eenvoudig te berekenen met de volgende formule: omtrek = 2πr, waarbij r de straal van de cirkel is.

Dit betekent dat de omtrek van een cirkel gelijk is aan 2 keer de straal van de cirkel, vermenigvuldigd met π (spreek uit pi). Het getal pi is een bijzonder getal, het getal heeft namelijk oneindig veel cijfers achter de komma. Voor het gemak wordt het getal afgerond op twee cijfers achter de komma: 3,14.

De straal van een cirkel is de helft van de diameter van de cirkel. De formule kan dan ook worden geschreven als: π * diameter

Een voorbeeld:
We willen de omtrek weten van een cirkel met straal 10. De omtrek van de cirkel is dan 2*10* π = 20 * 3,14 = 62,8