Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen

Twee lijnen in een vlak hebben op de x- en y-as een onderlinge relatie, waarbij de formules elkaar kunnen kruisen. Het kan daarbij interessant zijn, hoeveel oppervlak de afzonderlijke of beide formules hebben. Zeker voor de bepaling van bedrijfsresultaten kan het zeer nuttig zijn. Hoe kun je middels integraalrekenen bepalen wat de oppervlakte is tussen de lijnen en op welke afstand ligt de neutrale lijn?

Oppervlak en evenwichtslijn bepalen

• Oppervlak onder een lijn
• Waar kruisen de lijnen zich?
• Bepalen van het oppervlak
• Berekenen van statisch oppervlaktemoment en evenwichtslijn

Oppervlak onder een lijn

Stel er zijn twee lijnen welke elkaar kruisen. De ene lijn is vastgelegd met y1 = f1(x) = 1/2*x^2+3 en de andere middels y2 = f2(x) = 3*x. Hoe wordt het oppervlak van de afzonderlijke lijnen bepaald binnen een bepaald bereik? We gaan ervan uit dat het bereik tussen 1,5 en 3 ligt:

• ∫ 1/2*x^2+3 dx = 1/6*x^3+3*x -> ingevuld levert het 1/6*3^3 + 3*3 – 1/6*1,5^3 - 3*1,5 = 8,44;
• ∫ 3*x dx = 3/2*x^2 = 1,5*x^2 -> ingevuld levert het 1,5*3^2 – 1,5*1,5^2 = 10,13.

Waar kruisen de lijnen zich?

Om het snijpunt van twee lijnen te bepalen kan gebruik worden gemaakt van de wortelformule. Dit wordt toegepast indien er sprake is van a*x^2+b*x+c = 0. Met deze voorwaarde kan de ABC-formule worden toegepast. Daarbij geldt dat: x1,2 = [-b ± √{b^2-4*a*c}]/(2*a). Daarbij geldt als b^2-4*a*c > 0 dan zijn er twee snijpunten. Is b^2-4*a*c = 0 dan is er één snijpunt. In het geval van b^2-4*a*c < 0 dan is er een complexe oplossing, waarvoor geldt: x1,2 = 2*c / [-b ± √(b^2-4*a*c)]. In voorgaande geval van f1(x) = 1/2*x^2+3 en f2(x) = 3*x geldt:

• 1/2*x^2+3 = 3*x;
• 1/2*x^2-3*x+3 = 0;
• x1 = 3 - √(9-4*1/2*3) = 3-√3 -> y1 = 9-3√3;
• x2 = 3 +√(9-4*1/2*3) = 3+√3 -> y2 = 9+3√3.

Bepalen van het oppervlak

Standaard integraalrekenen betekent dat het oppervlak onder een lijn tot de basis wordt genomen binnen een bepaald bereik. Indien er sprake is van twee lijnen welke elkaar kruisen dan kan handig het oppervlak van die twee worden bepaald middels de integraal te nemen: ∫(f1(x)dx - ∫(f2(x)dx:

• ∫(f1(x)-f2(x)dx = ∫(1/2*x^2-3*x+3)dx = 1/6*x^3 - 3/2*x^2 + 3*x.

Het oppervlak kan over twee trajecten worden bekeken, zijnde van 0 tot 3-√3 (oppervlak A) en van 3-√3 tot 3+√3 (oppervlak B):

• oppervlak A = 1/6*(3-√3)^3 - 3/2*(3-√3)^2 + 3*(3-√3) – 0 = 1,73;
• oppervlak B = 1/6*(3+√3)^3 - 3/2*(3+√3)^2 + 3*(3+√3) – (1/6*(3-√3)^3 - 3/2*(3-√3)^2 + 3*(3-√3)) = -1,73-1,73 = -2,54 (negatief antwoord omdat het oppervlak aan de ander kant van de basislijn ligt). Daarom moet de absolute waarde van de uitkomst worden genomen oftewel |-2,54| = 2,54.

Berekenen van statisch oppervlaktemoment en evenwichtslijn

Voor de bepaling van het statisch oppervlaktemoment wordt kracht maal arm gedaan. Oftewel in combinatie met het oppervlak wordt er een arm geïntroduceerd ter grootte van x. Stel we willen het bepalen voor oppervlak A dan geldt:

• ∫x*|(f1(x)-f2(x)|dx = ∫x*(1/2*x^2-3*x+3)dx = ∫1/2*x^3-3*x^2+3*x dx = 1/8*x^4-x^3+3/2*x^2;
• Sy van 0 tot 3-√3 geldt: 1/8*(3-√3)^4-(3-√3)^3+3/2*(3-√3)^2 = 0,70;
• evenwichtslijn ten opzichte van de y-as bevindt zich op x = Sy/O = 0,70/1,73 = 0,40.

Op basis van voorgaande uitgangspunten voor integraalrekenen kan voor iedere figuur worden bepaald wat het oppervlak tussen twee lijnen is. Daarnaast kan de evenwichtslijn van dat oppervlak worden bepaald.

Lees verder

• Ligging van neutrale lijn samengestelde ligger of oppervlak
• Herleiden zwaartepunt rechthoek, driehoek, halve cirkel
• Bepalen zwaartepunt complexe figuren: statisch moment