InfoNu.nl > Wetenschap > Wiskunde > Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen

Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen

Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen Twee lijnen in een vlak hebben op de x- en y-as een onderlinge relatie, waarbij de formules elkaar kunnen kruisen. Het kan daarbij interessant zijn, hoeveel oppervlak de afzonderlijke of beide formules hebben. Zeker voor de bepaling van bedrijfsresultaten kan het zeer nuttig zijn. Hoe kun je middels integraalrekenen bepalen wat de oppervlakte is tussen de lijnen en op welke afstand ligt de neutrale lijn?

Oppervlak en evenwichtslijn bepalen


Oppervlak onder een lijn

Stel er zijn twee lijnen welke elkaar kruisen. De ene lijn is vastgelegd met y1 = f1(x) = 1/2*x^2+3 en de andere middels y2 = f2(x) = 3*x. Hoe wordt het oppervlak van de afzonderlijke lijnen bepaald binnen een bepaald bereik? We gaan ervan uit dat het bereik tussen 1,5 en 3 ligt:
  • ∫ 1/2*x^2+3 dx = 1/6*x^3+3*x -> ingevuld levert het 1/6*3^3 + 3*3 1/6*1,5^3 - 3*1,5 = 8,44;
  • ∫ 3*x dx = 3/2*x^2 = 1,5*x^2 -> ingevuld levert het 1,5*3^2 1,5*1,5^2 = 10,13.

Waar kruisen de lijnen zich?

Om het snijpunt van twee lijnen te bepalen kan gebruik worden gemaakt van de wortelformule. Dit wordt toegepast indien er sprake is van a*x^2+b*x+c = 0. Met deze voorwaarde kan de ABC-formule worden toegepast. Daarbij geldt dat: x1,2 = [-b ± √{b^2-4*a*c}]/(2*a). Daarbij geldt als b^2-4*a*c > 0 dan zijn er twee snijpunten. Is b^2-4*a*c = 0 dan is er één snijpunt. In het geval van b^2-4*a*c < 0 dan is er een complexe oplossing, waarvoor geldt: x1,2 = 2*c / [-b ± √(b^2-4*a*c)]. In voorgaande geval van f1(x) = 1/2*x^2+3 en f2(x) = 3*x geldt:
  • 1/2*x^2+3 = 3*x;
  • 1/2*x^2-3*x+3 = 0;
  • x1 = 3 - √(9-4*1/2*3) = 3-√3 -> y1 = 9-3√3;
  • x2 = 3 +√(9-4*1/2*3) = 3+√3 -> y2 = 9+3√3.

Bepalen van het oppervlak

Bron: Http://geinformeerd.infoteur.nlBron: Http://geinformeerd.infoteur.nl
Standaard integraalrekenen betekent dat het oppervlak onder een lijn tot de basis wordt genomen binnen een bepaald bereik. Indien er sprake is van twee lijnen welke elkaar kruisen dan kan handig het oppervlak van die twee worden bepaald middels de integraal te nemen: ∫(f1(x)dx - ∫(f2(x)dx:
  • ∫(f1(x)-f2(x)dx = ∫(1/2*x^2-3*x+3)dx = 1/6*x^3 - 3/2*x^2 + 3*x.

Het oppervlak kan over twee trajecten worden bekeken, zijnde van 0 tot 3-√3 (oppervlak A) en van 3-√3 tot 3+√3 (oppervlak B):
  • oppervlak A = 1/6*(3-√3)^3 - 3/2*(3-√3)^2 + 3*(3-√3) 0 = 1,73;
  • oppervlak B = 1/6*(3+√3)^3 - 3/2*(3+√3)^2 + 3*(3+√3) (1/6*(3-√3)^3 - 3/2*(3-√3)^2 + 3*(3-√3)) = -1,73-1,73 = -2,54 (negatief antwoord omdat het oppervlak aan de ander kant van de basislijn ligt). Daarom moet de absolute waarde van de uitkomst worden genomen oftewel |-2,54| = 2,54.

Berekenen van statisch oppervlaktemoment en evenwichtslijn

Voor de bepaling van het statisch oppervlaktemoment wordt kracht maal arm gedaan. Oftewel in combinatie met het oppervlak wordt er een arm geïntroduceerd ter grootte van x. Stel we willen het bepalen voor oppervlak A dan geldt:
  • ∫x*|(f1(x)-f2(x)|dx = ∫x*(1/2*x^2-3*x+3)dx = ∫1/2*x^3-3*x^2+3*x dx = 1/8*x^4-x^3+3/2*x^2;
  • Sy van 0 tot 3-√3 geldt: 1/8*(3-√3)^4-(3-√3)^3+3/2*(3-√3)^2 = 0,70;
  • evenwichtslijn ten opzichte van de y-as bevindt zich op x = Sy/O = 0,70/1,73 = 0,40.

Op basis van voorgaande uitgangspunten voor integraalrekenen kan voor iedere figuur worden bepaald wat het oppervlak tussen twee lijnen is. Daarnaast kan de evenwichtslijn van dat oppervlak worden bepaald.

Lees verder

© 2013 - 2019 Geinformeerd, het auteursrecht (tenzij anders vermeld) van dit artikel ligt bij de infoteur. Zonder toestemming van de infoteur is vermenigvuldiging verboden.
Gerelateerde artikelen
Hoe kun je een ligger op drie steunpunten doorrekenen?Hoe kun je een ligger op drie steunpunten doorrekenen?Heb je een ligger op twee steunpunten dan kun je het vrij simpel en rechtlijnig uitrekenen, echter bij een ligger op dri…
Excel formules: AANTAL.ALS en SOM.ALSExcel formules: AANTAL.ALS en SOM.ALSDe formules AANTAL.ALS en SOM.ALS zijn eenvoudiger te maken dan je denkt. De AANTAL.ALS formule wordt gebruikt om het to…
Excel formules: ALS combineren met AANTAL.ALS en SOM.ALSExcel formules: ALS combineren met AANTAL.ALS en SOM.ALSFormules nesten, oftewel met elkaar combineren, is één van de meest ingewikkelde onderdelen van Excel. In dit voorbeeld…
Integraal management in de overheid (publieke sector)In de publieke sector is integraal management een managementprincipe dat veelvuldig wordt toegepast. Verantwoordelijkhed…
Hoe reken je het weerstandsmoment uit?Hoe reken je het weerstandsmoment uit?Om de sterkte van een balk te kunnen uitrekenen moet worden gecheckt in hoeverre het weerstandsmoment voldoet. Ieder vor…
Bronnen en referenties
  • http://nl.wikipedia.org/wiki/Wortelformule
  • Wiskunde voor het Hoger Onderwijs deel I, R. van Asselt, C.A.G Kooten, ed, Groningen, 2002
  • Afbeelding bron 1: http://geinformeerd.infoteur.nl

Reageer op het artikel "Oppervlak en evenwichtslijn tussen twee formules bepalen"

Plaats als eerste een reactie, vraag of opmerking bij dit artikel. Reacties moeten voldoen aan de huisregels van InfoNu.
Meld mij aan voor de tweewekelijkse InfoNu nieuwsbrief
Ik ga akkoord met de privacyverklaring en ben bekend met de inhoud hiervan
Infoteur: Geinformeerd
Laatste update: 28-11-2016
Rubriek: Wetenschap
Subrubriek: Wiskunde
Special: Zwaartepunt
Bronnen en referenties: 3
Schrijf mee!